Разностные схемы для уравнений параболического типа
СОДЕРЖАНИЕ: Уравнения параболического типа. Разностные схемы для уравнения теплопроводности, задача Коши. Явная и неявная разностные схемы. Применение двухслойных разностных шаблонов. Устойчивость двухслойных разностных схем. Решение задач методом прогонки.1. Решение задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности
, 
,
, (3.5)
с условием на прямойt = 0
,
. (3.6)
Требуется найти функцию 
, которая при
и
удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при 
выполняла бы условие (3.6).
Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение
, непрерывное вместе со своими производными
, i
=
1, 2 и 
, k
=
1, 2, 3, 4.
Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде 
. Для этого достаточно положить
Будем далее считать, что t
изменяется в пределах 
. В рассматриваемом случае
,
Г объединение прямыхt= 0иt=T .
Выберем прямоугольную сетку и заменим область 
сеточной областью 
. К области
отнесем совокупность узлов 
, где
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Заменим задачу
разностной схемой вида 
. Обозначим через 
точное значение решения задачи
в узле 
, а через 
– соответствующее приближенное решение. Имеем
Для замены выражений 
и 
воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:
, (3.7)
, (3.8)
, (3.9)
(3.10)
Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи
в узле
, разностной схемой
,шаблоном
. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:
Рис. 3. Явный и неявный шаблоны
Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него
(3.11)
Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили
.
Введем обозначение
(3.12)
Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи
:
, (3.13)
где разностный оператор 
определяется по правилу
Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:
, (3.14)
где
На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать
,
где 
Аналогично, используя(3.11),(3.10),(3.14), получим
,
.
Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве
возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций
.
Нормув
определим правилом
Пусть 
, где r
и s
– некоторые положительные числа.
Предположим, что для 
и 
верны оценки
, 
.
Тогда легко получить
, (3.15)
. (3.16)
Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S = 2, а в случае схемы (3.14) можно взятьS = 1.
Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу
с погрешностью порядка S
относительно h
.
Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям 
вычислить значения на первом слое 
. Для этого достаточно в (3.13) положить n
= 0и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям 
можно аналогично при n
=
1 вычислить значения 
и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной
.
Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n
=
0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений 
, в правой части будут значения известной функции 
и 
. Для вычисления значений на первом слое
в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной
.
2. Устойчивость двухслойных разностных схем
Определим норму в пространстве
по правилу
.
Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r
, 
возможна устойчивость этой схемы.
Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых
, 
имеет место оценка 
,
гдеМ
– постоянная, не зависящая от 
и 
и
.
Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.
Перепишем формулу
в виде
, 
, (3.17)
.
Пусть выполнено условие
или 
. (3.18)
Тогда из (3.17) получим:
,
или
. (3.19)
Неравенство (3.19) означает, что при 
, 
не превосходит 
,тоесть
невозрастает с увеличением n
.
Это свойство однородной разностной схемы принято называтьпринципом максимума
. Положим в (3.19) 
. Это даст
,
,
.
Заметим, что 
есть число, независящее от m
и n
. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что
, получим
(3.20)
где обозначено
На основании (3.20) можно записать
или
.
Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на
и h
, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что
. (3.21)
Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени
приходится выбирать очень малым.
Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,
Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон
и перепишем ее в виде
(3.22)
Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения
на первом временном слое со значениями 
на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n
=
0
, получим:
(3.23)
Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных 
.
Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x
, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть 
, а на прямых x
=
a
и x
=
b
дополнительно заданы некоторые ограничения на решение
, то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях 
.
Если, например, на отрезках прямых x
=
a
и x
=
b
, заданы условия 
, 
, то вид системы (3.23) существенно изменится:
(3.24)
Формулы (3.24) представляют собой систему M
+
1 алгебраических уравнений относительно 
. Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение 
. Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения
число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.
Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка 
и устойчива при
. Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка
.