Разработка математической модели на основе описанных методов
СОДЕРЖАНИЕ: Метод решения математической модели на примере решения задач аналитической геометрии. Описание согласно заданному варианту методов решения задачи. Разработка математической модели на основе описанных методов. Параметры окружности минимального радиуса.Цель работы: Получить навыки описания метода решения математической модели на примере решения задач аналитической геометрии.
Задание: 1) Согласно заданному варианту описать методы решения задачи.
2) На основе описанных методов разработать математическую модель.
Задача: Задано множество точек, найти параметры окружности минимального радиуса, проходящие через три точки множества.
Ход работы
І)Математическая постановка задачи:
1) Найти наименьший радиус окружности по формуле: i : = 1…n
D=, где ;
j : = 1… 2)D1,D2,D3- радиусы окружности;
3) XY, XY, XY, XY- координаты точек множества;
4) D=-формула нахождения расстояния между двумя точками;
5)
-система уравнения или неравенства;
6)
-совокупность уравнения или неравенства;
7) -знак больше
-знак меньше
=-знак равно;
8) A, B, C, E- некоторые точки с определенными координатами
ІІ) Описание методов решения:
Метод 1. Метод заключается в том , что бы найти наименьший радиус окружности с помощью последовательного соединения точек с одной, а затем проделывания этого с каждой из точек множества. Затем, с помощью формулы нахождения расстояния между двумя точками
(D=),необходимо вычислить длины получившихся отрезков. После вычисления отрезки необходимо сравнить между собой. В результате если два отрезка, выходящие из одной точки, равны - это и есть радиусы окружности. Но из условия, поставленные задачей, необходимо найти минимальный радиус окружности проходящей через три точки множества. Если при сравнении несколько пар одинаковых отрезков - необходимо найти наименьшую пару – это и будет минимальный радиус окружности. (Рис.№1)
Рис.№1
Метод 2.Второй метод заключается в том, что бы искать минимальный радиус окружности при помощи соединения множество точек между собой, и в результате получение множество геометрических фигур ( в данном случае геометрические фигуры – треугольники). Затем необходимо найти расстояние сторон треугольника. Для этого возьмем формулу нахождения расстояния между двумя точками (D=). В случаи, если стороны выходящие из одной точки равны – это и есть радиусы окружности, так как через равные отрезки, выходящие из одной точки можно провести окружность с центром точки соединения этих отрезков. В случае, если в конечном результате вычисления несколько равных сторон, выходящих из одной точки, необходимо найти минимальный радиус окружности. Минимальным радиусом будут стороны с наименьшей длиной (рис.№ 2).
ІІІ) Анализ метода решения:
Первый метод более эффективен, чем второй, так как требует меньшее количество арифметических расчетов, и в памяти будет занимать меньшее количество ресурсов.
ІY) Формализация выбранного метода:
1) D1=
D2=
D3=;
2) Если D1=D3, то выполняется пункт 3, иначе пункт 4;
3) D1, D3 - радиусы окружности;
4) Если D2=D3, то выполняется пункт 5, иначе пункт 6;
5) D2, D3 – радиусы окружности;
6) Если D1=D2 , то выполняется пункт 7, иначе пункт 8;
7) D1, D2 – радиусы окружности;
8) Если D1=D2 , и/или D2=D3, и/или D1=D3, то выполняется пункт 9;
9) В случаи пункта 8 необходимо сравнить на меньший радиус:
D1=D2 D1=D3 D2=D3
D1D3 D1D2 D2D1
D1D3 D1D2 D2D1
D2D3 D3D2 D3D1
D2D3 D3D2D1 D3D1
10) Затем необходимо повторить это с оставшимися точками пока не перегенирируются все точки.
YІ. Геометрическое решение задачи
A= (-5;0);
B= (-3;2);
E= (0;1);
C= (-3;-2), так как D=, отсюда
1) AB=
AE=
AC=
Так как AB=AC, ABAE, ACAE, значит АВ и АС- радиусы окружности с центром в точке А.
2) АВ=
ЕВ=
СВ=
Так как АВЕВ, ЕВСВ, АВСВ, значит АВ, ЕВ, СВ- не являются радиусами окружности и точка В- не является центром окружности.
3) АЕ=
СЕ=
ВЕ=
Так как АЕСЕ, СЕВЕ, АЕВЕ, значит АЕ, СЕ, ВЕ- не являются радиусами окружности и точка Е- не является центром окружности.
4) АС=
ЕС=
СВ=
Так как АСЕС, ЕССВ, АССВ, значит АС, ЕС, СВ- не являются радиусами окружности и точка С- не является центром окружности.
Из данного множества точек можно провести только одну окружность с минимальным радиусом, проходящей через три точки множества. Отсюда следует, что минимальным радиусом являются отрезки АВ и АС.
Алгоритм реализации:
выполнять
ввод
n
пока ((n3) и (n20))
для i:=1..m
Вывод
‘Введите координаты’,I,’-ой точки.’
Ввод
D[i].x, D[i].y
Вывод
‘D[‘,i,’].x =’,D[i].x;
‘D[‘,i,’].y =’,D[i].y;
для i:=1..(n-3)
для k:=i+1..(n-2)
для l:=j+1..(n-1)
для j:=l+1...n
dk:= (D [i].x-D [k].x)+(D [i].y-D [k].y);
dl:= (D [i].x-D [l].x)+( D[i].y-D [l].y) ;
dj= (D [j].x-D [j].x)+(D [j].y-D [j].y) ;
Если (dk=dl) или (dk=dj) тогда
Вывод
‘Точка ,i,- является центром окружности!
Иначе
Вывод
Точка ,i, не является центром окружности!
Если (dk=dl) или (dj=dl) тогда
Вывод
dl- возможный радиус окружности!
Иначе
Вывод
dl-не образует радиус..
Если (dk=dj) или (dk=dl) тогда
Вывод
dk- возможный радиус окружности!
Иначе
Вывод
dk-не образует радиус..
Если (dj=dl) или (dj=dk) тогда
Вывод
dj- возможный радиус окружности!’
Иначе
Вывод
dj-не образует радиус’
если (dkdj) и (dk=dl) то
Вывод
dk- Наименьший радиус окружности!
Если (dkdl) и (dk=dj) то
Вывод
dl- Наименьший радиус окружности!
Если (dk=dj) и (dl=dk) тогда
Вывод
dk и dj и dl- Наименьший радиус окружности!
Листинг программы:
Program alex;
uses crt;
Type Point = Record
x,y : real;
End;
pnt = Array [1..20] Of Point;
var
q, nstr,cstr:string;
c:char;
D:pnt;
l,n,i,k,j,code:integer;
di,dj,dk,dl,Dmin:real;
begin
clrscr;
writeln( Донецкий государственный институт искусственного интеллекта);
writeln;
writeln;
gotoxy(40,6);
write(Кафедра програмного обеспечения);
gotoxy(40,7);
writeln( интеллектуальных систем);
gotoxy(19,10);
writeln( Лабораторная работа #2);
writeln( по курсу:Алгоритмизация вычислительных процессов);
writeln( тема:Разработка алгоритмов и программы);
gotoxy(60,20);
write(Выполнил:);
gotoxy(60,21);
write(‘);
gotoxy(60,22);
write();
writeln;
writeln;
writeln;
write(Нажмите любую клавишу);
readkey;
clrscr;
writeln( Задание: Задано множество точек. Найти параметры окружности);
writeln(минимального радиуса проходящей через три точки множества.);
gotoxy(1,25);
write(Нажмите любую клавишу...);
readkey;
clrscr;
repeat
Writeln(Введите количество точек);
readln(nstr);
writeln;
val(nstr,n,code);
if (code0) then
begin
clrscr;
writeln(Это не число! Попробуйте еще раз.);
n:=5;
end;
if not( n in[3..20]) then
begin
clrscr;
code:=1;
writeln(Число не находится в заданном диапазоне! Попробуйте еще раз)
end;
until (code=0);
clrscr;
for i:=1 to n do
begin
repeat
write(Введите координату Х ,i,-ой точки: );
readln(cstr);
val(cstr,D[i].x,code);
if (code0) then
begin
writeln(Это не число! Попробуйте еще раз.);
continue
end;
clrscr;
if ((D[i].x100) or (D[i].x-100)) then
begin
clrscr;
writeln(Диапазон координат точек от -100 до 100!);
code:=1;
continue
end;
until (code=0);
repeat
write(Введите координату Y ,i,-ой точки: );
readln readln val(cstr,D[i].y,code);
if (code0) then
begin
clrscr;
writeln(Это не число! Попробуйте еще раз.);
code:=1;
continue
end;
clrscr;
if ((D[i].y100) or (D[i].y-100)) then
begin
clrscr;
writeln(Диапазон координат точек от -100 до 100!);
code:=1;
continue
end;
until (code=0);
end;
for i:=1 to n do
begin
writeln(D[,i,].x=,D[i].x);
writeln(D[,i,].y=,D[i].y);
end;
for i:= 1 to (n-3) do
for k:= i+1 to (n-2) do
for l:= k+1 to (n-1) do
for j:= l+1 to n do
begin
begin
begin
begin
dk:=Sqrt(Sqr(D[i].x-D[k].x)+Sqr(D[i].y-D[k].y));
dl:=Sqrt(Sqr(D[i].x-D[l].x)+Sqr(D[i].y-D[l].y));
dj:=Sqrt(Sqr(D[i].x-D[j].x)+Sqr(D[i].y-D[j].y));
Dmin:=dk;
begin
if (dk=dl) or (dj=dl) then
writeln (,dl:7:2, dl-возможный радиус окружноости)
else
writeln (dl-не образует радиус);
if (dk=dj) or (dk=dl) then
writeln (,dk:7:2, dk-возможный радиус окружности)
else
writeln (dk-не образует радиус);
if (dj=dl) or (dj=dk) then
writeln (,dj:7:2, dj-возможный радиус окружности)
else
writeln (dj-не образует радиус);
if (dk=dl) or (dk=dj) then
writeln (Точка ,i, является центром окружности)
else
writeln (Точка ,i, не является центром окружности!);
end;
begin
if (dkdj) and (dk=dl) then
writeln (dk i dl-наименьший радиус окружности) ;
if (dkdl) and (dk=dj) then
writeln (dk i dj-наименьший радиус окружности);
if (dk=dj) and (dk=dl) then
writeln (dk i dj i dl-наименьший радиус окружности);
end;
end;
end;
end;
end;
readLn;
end.
Экранные формы:
Вывод:
В ходе лабораторной работы я изучил навыки описания метода решения математической модели на примере решения задач аналитической геометрии.