Решение дифференциальных уравнений

СОДЕРЖАНИЕ: Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

1)Дифференциальное уравнение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши

Диф.ур-м наз-ся ур-е , связывающее независим.перем. х сикомую ф-ию у, и ее производные.

. = ОДУ

Общим решением ОДУ первого порядка назся ф-ия , удовл.след.условиям:

1) явл.решением ур-я при

2) такое значение произв.пост. , при котором удовл.данному нач.условию. -общий интеграл

Частн.решением обыкн.диф.ур-я первого порядка наз-ся ф-ия кот.получ.из общего решения ) при конкретном значении с.

Задача Коши - задача нахождения обыкнов. диф.ур-я удовлет. начальному условию

2)Уравнение с разделяющимися переменными.

Наз-ся обыкновенное уравнеие1 порядка, кот.прив.к виду:

К ним относ. диф.ур.вида:

1) 2) умножим на =

.- ур-е с раздел.перем.

3)Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

Ф-ия наз-ся однород.ф-ей порядка или n-ой измерениями относительно переем если при .

. аргументом явл.дробь.

4)Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

.Ур-е наз-ся ур-ем в полных диф.если сущ-ет такоя ф-ия

5)Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

ДУ 1 порядка наз-ся линейным, если его можно записать в виде – заданные ф-ии, в частности – постоянные.

а)Метод Бернулли

Решение ур-яищется в виде произведения двух других ф-ий, т.е. сРер помощью подстановки – неизвестные ф-ии х, причем одна из них произвольна (но 0) – днйствительно любую ф-ию у(х) можно записать как:

, ).Тогда Подставляя выражение у и у’ в получаем: Подберем ф-ю так что бы

. Итак, , интегрируя получаем:

Ввиду свободы выбора ф-ии можно принять с=1= v=

Подставляя найденную ф-ию в ур-е получаем: .

Получено уравнение с раздел.перем.Решаем его:

Возвращаясь к переменной у, получеам решение исходного ДУ

.сходного ДУ переменной у, получаем решение го поля. Нахождение потенциала по заданному примеру.

б)Метод Лагранжа

Рассмотрим однородное уравнение . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение: , получаем: cгде c1 — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки c(x) в решение однородного уравнения: .

6)Уравнение Бернулли

Ур-е вида

Если n=0, то ДУ – линейное, а при n=1 – с раздел.переменными.

Данное ур-е решается двумя способами:

Первый способ

Заменой

, уравнение приводится к линейному и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим .

Тогда .

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.

После этого для определения получаем уравнение

- уравнение с разделяющимися переменными.

7)Уравнение неразрешенное относительно Метод введения параметра

– относительно производной

б)

в)

где и известные ф-ии от наз-ся ур-ем Лагранжа.

Введем вспомогат.параметр, положив у’=p. Тогда ур-е примет вид: у=(p)+(p). Дифференц.по х, получим:

, т.е. или - линейное ур-е относит.неизвестной , решив его найдем: . Исключая параметр р из и получаем общий интеграл ур-я в виде . При делении на могли быть потеря решения, для которых ,т.е. . Это значение явл.корнем ур-я . Решение явл.особым для ур-я

г)Уравнение Клеро

Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при Уравнение принимает вид

и называется урaвнeниeм Клеро. Положив , получаем:

Дифференцируя по х, имеем: или .

Если , то . Поэтому, с учетом , ДУ имеет общее решение .

Если, получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Это решение - особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

8)Особое решение

9)Линейное уравнение n -го порядка. Запись с помощью L . Свойства

Если коэф. непрер.,то т.осущ.и един.доказана.

Линейный диф.оператор(ЛДО): , то

Св-ва:

1); 2); 3) .

10)Линейная независимость функции. Определитель Вронского. Теорема линейной зависимости .

Функции называются линейно независимыми на интервале если равенство , где , выполняется тогда и только тогда,

когда

Средством изучения линейной зависимости сестемы ф-ий явл.так называемый определитель Вронсоко или вронскиан. Для двух диф.ф-ий вронскиан имеет вид:

Теорема лин. зависимости : Если диф.ф-ии лин.зависимы на , то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Так как функции линейно зависимы, то в равенстве значение отлично от нуля. Пусть , тогда поэтому для любого

11)Если линейно независимы Доказательство

Если функции - линейно независимые решения уравнения на то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Из теоремы следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала ( a ; b ) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

12 Фундаментальная система решений. Теорема существования фундаментальной системы решений. Доказательство

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация