Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

СОДЕРЖАНИЕ: Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.

Вариант 1

№ 1

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р₁ = 0,9, р₂ = 0,8, р₃ = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q₁ = 0,1, q₂ = 0,2, q₃ = 0,3.

а) Р(А) = р₁ р₂ р₃ = 0,90,80,7 = 0,504.

б) Р(В) = p₁ q₂ q₃ + q₁ p₂ q₃ + q₁ q₂ p₃ = 0,90,20,3 + 0,10,80,3 + 0,10,20,7 = 0,092.

в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда

Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,10,20,3 = 1 – 0,006 = 0,994.

№ 11

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас nдостаточно велик, р мал, = np = 150 0,02 = 3 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,

№ 21

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х).

х_і	1	2	3	4	5
р_і	0,05	0,18	0,23	0,41	0,13

Последовательно получаем:

₅

М(Х) = х_і р_і = 0,05 + 20,18 + 30,23 + 40,41 + 50,13 = 3,39.

i=1

₅

D(X) = x_i p_i – M = 0,05 + 20,18 + 30,23 + 40,41 + 50,13 – 3,39 = i=1

1,1579.

(Х) = D(X) = 1,1579 = 1,076.

№ 31

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a x b) = F(b) – F(a) P= F(1) – F= – 0 = .

Графики функций поданы далее.

№ 41

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (; ) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение . Данные: = 2; = 13; а = 10; = 4.

Используем формулу Р( x ) =

Имеем: Р(2 x 13) == Ф– Ф(–2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.

№ 51

Поданному статистическому распределению выборки

х_і	4	5,8	7,6	9,4	11,2	13	14,8	16,6
m_і	5	8	12	25	30	20	18	6

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию;в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

, где С – одно из значений х_і , как правило, соответствующее наибольшему значению m_і , а h– это шаг (у нас h = 1,8).

Пусть С = 11,2. Тогда .

Заполним таблицу:

x_i	m_i	x_i	x_i m_i	(x_i )m_i
4	5	– 4	– 20	80
5,8	8	– 3	– 24	72
7,6	12	– 2	– 24	48
9,4	25	– 1	– 25	25
11,2	30	0	0	0
13	20	1	20	20
14,8	18	2	36	72
16,6	6	3	18	54
= 124	= – 19	= 371

Используя таблицу, найдём ;

D(x) = (x_i )m_i – (x_i ) = – (– 0,1532) = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

x = xh + C = – 0,15321,8 + 11,2 = 10,9242;D(x) =D(x)h = 2,96851,8 = 9,6178;

(x) = D(x) = 9,6178 = 3,1013.

№ 61

По данной корреляционной таблиценайти выборочное уравнение регрессии.

у х	6	9	12	15	18	21	n_y
5	4	2	6
15	5	23	28
25	18	44	5	67
35	1	8	4	13
45	4	2	6
n_x	4	7	42	52	13	2	n= 120

Для упрощения расчетов введем условные переменные

u = , v = .Составим таблицу:

vu	– 3	– 2	– 1	0	1	2	n_v	n_uv uv
– 2	4 ⁶	2 ⁴	6	32
– 1	5 ²	23 ¹	28	33
0	18 ⁰	44 ⁰	5 ⁰	67	0
1	1^–1	8 ⁰	4 ¹	13	3
2	4 ²	2 ⁴	6	16
n_u	4	7	42	52	13	2	n = 120	= 84

Последовательно получаем:

;

_u = – (u) = 1,058 – (– 0,425) = 0,878; _u = 0,878= 0,937;

_v = – (v) = 0,742 – (– 0,125) = 0,726; _v = 0,726 = 0,8521;

По таблице, приведённой выше, получаем n_uv uv = 84.

Находим выборочный коэффициент корреляции:

Далее последовательно находим:

x= uh₁ + C₁ = – 0,4253 + 15 = 13,725; y = vh₂ + C₂ = – 0,12510 + 25 = 23,75;

_x = _u h₁ = 0,9373 = 2,811; _y = _v h₂ = 0,852110 = 8,521.

Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем

по уравнению:

у_х=12 = 2,45712 – 9,968 = 19,516; ₁ = 19,762 – 19,516 = 0,246;

2) при х = 18 по таблице имеем

по уравнению:

у_х=18 = 2,45718 – 9,968 = 34,258; ₂ = 34,258 – 34,231 = 0,027.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

Вариант 2

№ 2

Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р₁ = 0,9, р₂ = 0,95, р₃ = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.

Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q₁ = 0,1, q₂ = 0,05, q₃ = 0,15. Тогда

а) Р(А) = p₁ q₂ q₃ + q₁ p₂ q₃ + q₁ q₂ p₃ = 0,90,05 0,15 + 0,10,950,15 + 0,10,050,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p₁ p₂ q₃ + p₁ q₂ p₃ + q₁ p₂ p₃ = 0,90,950,15 + 0,90,050,85 + 0,10,950,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р₁ р₂ р₃ = 0,90,950,85 = 0,72675.

№ 12

В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию n = 50, k = 3. Поскольку р мал, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 9, справедлива формула Пуассона:.

Таким образом,

№ 22

х_і	2	3	4	5	8
р_і	0,25	0,15	0,27	0,08	0,25

Последовательно получаем:

М(Х) = х_і р_і = 20,25 + 30,15 + 40,27 + 50,08 + 80,25 = 4,43.

i=1

D(X) = x_i p_i – M = 20,25 + 30,15 + 40,27 +50,08 + 80,25 – 4,43 і=1

= 5,0451.

(Х) = D(X) = 5,0451= 2,246.

№ 32

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a x b) = F(b) – F(a) P= F(1) – F=

Графики функций приводятся далее.

№ 42

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (;) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение . Данные: = 5; = 14; а = 9; = 5.

Используя формулу имеем

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

№ 52

По данному статистическому распределению выборки

х_і	7,6	8	8,4	8,8	9,2	9,6	10	10,4
m_і	6	8	16	50	30	15	7	5

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию;в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

где С – одно из значений х_і , как правило, соответствующее наибольшему значению m_і , а h – это шаг (у нас h = 0,4).

Пусть С = 8,8. Тогда

Заполним таблицу:

x_i	m_i	x_i	x_i m_i	(x_i )m_i
7,6	6	– 3	– 18	54
8	8	– 2	– 16	32
8,4	16	– 1	– 16	16
8,8	50	0	0	0
9,2	30	1	30	30
9,6	15	2	30	60
10	7	3	21	63
10,4	5	4	20	80
= 137	= 51	= 335

Используя таблицу, найдём

;

D(x) = (x_i )m_i – (x_i ) = – 0,3723 = 2,3067.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

x = xh + C = 0,37230,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x)h = 2,30670,4 = 0,3961;

(x) = D(x) = 0,3961 = 0,6075.

№ 62

По данной корреляционной таблице

у х	4	8	12	16	20	24	n_y
10	2	5	7
20	6	8	4	18
30	8	46	10	64
40	5	20	4	29
50	3	14	2	5	22
n_x	2	19	62	48	6	3	n = 140

найти выборочное уравнение регрессии.

Для упрощения расчетов введём условные переменные

Составим таблицу.

vu	– 2	– 1	0	1	2	3	n_v	n_uv uv
– 2	2 ⁴	5 ²	7	18
– 1	6 ¹	8 ⁰	4 ^–1	18	2
0	8 ⁰	46 ⁰	10 ⁰	64	0
1	5 ⁰	20 ¹	4 ²	29	28
2	3 ⁰	14 ²	2 ⁴	5 ⁶	22	66
n_u	2	19	62	48	6	3	n = 140	= 114