Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.16

СОДЕРЖАНИЕ: Задача 16 . Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра 16.1. x0= 3a3/8 y0= a/8 x= 3a sin2tcost

Задача 16 . Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

16.1.

x₀ = 3a3/8

y₀ = a/8

x= 3a sin² tcost

y= -3a cos² tsint

y_x = -tgt

y_x0 = -3

Касательная

y – a/8= -3(x-3a3/8)

y+3x – 10a/8=0

Нормаль

y – a/8= 1/3*(x-3a3/8)

3y – x +23a/8=0

16.2.

x₀ = 3/2

y₀ = 3/2

x= -3sint

y= cost

y_x = -3/3*ctgt

y_{x 0} = -1/3

Касательная

y - 3/2= -1/3*(x-3/2)

y+1/3*x - 43/6=0

Нормаль

y - 3/2= 3*(x-3/2)

y-3x+3=0

16.3.

x₀ = a(/3-3/2)

y₀ = a/2

x= a(1-cost)

y= asint

y_x = sint/(1-cost)

y_x0 = 3

Касательная

y-a/2= 3(x-a(/3-3/2))

y-3x-2a+a/3=0

Нормаль

y-a/2= -1/3(x-a(/3-3/2))

y+x/3-a/33=0

16.4.

x₀ = 1

y₀ = 2

x= 2-2t

y= 3-3t²

y_x = 3/2*(1+t)

y_{x 0} = 3

Касательная

y-2=3(x-1)

y-3x+1=0

Нормаль

y-2=-1/3(x-1)

y+x/3-7/3=0

16.5.

x₀ = 3/2

y₀ = 1/2

x= (2+2t)(1+t³ )-3t² (2t+t³ ) = 2+2t-4t³ -t⁴

(1+t³ )² (1+t³ )²

y= (2-2t)(1+t³ )-3t² (2t-t³ ) = 2-2t-4t³ +t⁴

(1+t³ )² (1+t³ )²

y_x = 2-2t-4t³ +t⁴

2+2t-4t³ -t⁴

y_x0 = 3

Касательная

y-1/2=3(x-3/2)

y-3x+4=0

Нормаль

y-1/2=-1/3(x-3/2)

y+x/3-1=0

16.6.

x₀ = 5/4

y₀ = /4

x= (1+t² )-t² /(1+t² ) = 1/(1+t² )

(1-t² /(1+t² ))(1+t² )

y= -t = -1/(1+t² )

(1-1/(1+t² ))(1+t² )³

y_x = -1

y_x0 = -1

Касательная

y-/4=-(x-5/4)

y+x-6/4=0

Нормаль

y-/4=x-5/4

y-x+=0

16.7.

x₀ = 2(-8)/32

y₀ = 2(+8)/32

x= -2sint-t² sint

y= 2cost+t² cost

y_x = -ctgt

y_x0 = -1

Касательная

y-2(+8)/32= -(x-2(-8)/32)

y+x-² 2/16 = 0

Нормаль

y-2(+8)/32= x-2(-8)/32

y+x+² 2/2 = 0

16.8.

x₀ = 6a/5

y₀ = 12a/5

x= 3a-3at²

y= 6at

y_x = 2t/(1-t² )

y_{x 0} = -4/3

Касательная

y-12a/5 = -4/3(x-6a/5)

y+4x/3-4a=0

Нормаль

y-12a/5 = 3/4(x-6a/5)

y-0.75x-1.5a=0

16.9.

x₀ = 1

y₀ = 2

x= -(2tgt+1)/sin² t

y= 1/cos² t-1/sin² t

y_x = cos2t _

cos² t(2tgt+1)

y_x0 = 0

Касательная

y=2

Нормаль

x=1

16.10.

x₀ = 0

y₀ = 0

x= t-t³

y= t+t²

y_x = 1/(1-t)

y_{x 0} = 1

Касательная

y= x

Нормаль

y= -x

16.11.

x₀ = 0

y₀ = a/2

x= acost-atsint

y= asint+atcost

y_x = sint+tcost

cost-tsint

y_{x 0} = -2/

Касательная

y-a/2+2x/=0

Нормаль

y-a/2-x/2=0

16.12.

x₀ = 1/2

y₀ = 3/2

x= cost

y= -sint

y_x = -tgt

y_x0 = -3/3

Касательная

y-3/2= -3/3(x-1/2)

y+x3/3-23/3=0

Нормаль

y-3/2= 3(x-1/2)

y=x3

16.13.

x₀ = /4

y₀ = /4

x= (1+t² )-t² /(1+t² ) = 1/(1+t² )

(1-t² /(1+t² ))(1+t² )

y= -t = -1/(1+t² )

(1-1/(1+t² ))(1+t² )³

y_x = -1

y_x0 = -1

Касательная

y-/4=-(x-/4)

y+x-/2=0

Нормаль

y-/4=x-/4

y=x

16.14.

x₀ = 1

y₀ = 3

x= (-1-2lnt)/t³

y= (-1-2lnt)/t²

y_x = t

y_x0 = 1

Касательная

y-3=x-1

y-x-2=0

Нормаль

y-3=-x+1

y+x-4=0

16.15.

x₀ = 3/4

y₀ = 11/8

x= (-t-2)/t³

y= (-3-2t)/t³

y_x = (3+2t)/(t+2)

y_{x 0} = 7/4

Касательная

y-11/8=7/4(x-3/4)

y-7/4x-1/16=0

Нормаль

y-11/8= -4/7(x-3/4)

y+4/7x-53/56=0

16.16.

x₀ = a/8

y₀ = a33/8

x= 3asin² tcost

y= -3acos² tsint

y_x = -ctgt

y_x0 = -3

Касательная

y-a33/8= -3(x-a/8)

y+x3-a3/2=0

Нормаль

y-a33/8= 3/3(x-a/8)

y-x3/3-a3/3=0

16.17.

x₀ = a2(+4)/8

y₀ = a2(8-)/8

x= atcost

y= atsint

y_x = tgt

y_{x 0} = 1

Касательная

y-a2(8-)/8=x-a2(+4)/8

y-x+a2(-2)/4=0

Нормаль

y-a2(8-)/8= -x+a2(+4)/8

y+x+a32/2=0

16.18.

x₀ = 0

y₀ = 2

x= -1/t²

y= 1/t²

y_x = -1

y_{x 0} = -1

Касательная

y+x-2= 0

Нормаль

y-x-2=0

16.19.

x₀ = -3

y₀ = -6

x= -2t

y= 1-3t²

y_x = (3t² -1)/2t

y_x0 = 11/4

Касательная

y+6= 11/4(x+3)

y-11/4x +13/4=0

Нормаль

y+6= -4/11(x+3)

y+4/11x+78/11=0

16.20.

x₀ = ln2

y₀ = 1-/4

x= 2t/(1+t² )

y=1-1/(1+t² )=t² /(1+t² )

y_x = t/2

y_{x 0} = 1/2

Касательная

y-1+/4= 1/2(x-ln2)

y-1/2x+1/2ln2+/4=0

Нормаль

y-1+/4= -2(x-ln2)

y+2x-2ln2+/4=0

16.21.

x₀ = 0

y₀ = 0

x= 1-sint-tcost

y= cost-tsint

y_x = (cost-tsint)/(1-sint-tcost)

y_x0 = 1

Касательная

y=x

Нормаль

y=-x

16.22.

x₀ = 3

y₀ = 2/3

x= t⁴ -2t² -2t

(t² -1)²

y= (-t² -1)/(t² -1)²

y_x = (-t² -1)/(t⁴ -2t² -2t)

y_x0 = -5/4

Касательная

y-2/3= -5/4(x-3)

y+5/4x-53/12=0

Нормаль

y-2/3= 4/5(x-3)

y-4/5x+26/15=0

16.23.

x₀ = 32/2

y₀ = 22

x= -3sint

y= 4cost

y_x = -4/3*tgt

y_{x 0} = -4/3

Касательная

y-22= -4/3(x-32/2)

y+4/3x-42=0

Нормаль

y-22= 3/4(x-32/2)

y-3/4x-72/8=0

16.24.

x₀ = 0

y₀ = 0

x= 1-4t³

y= 2t-3t²

y_x = (2t-3t² )/(1-4t³ )

y_x0 = 1/3

Касательная

y=1/3x

Нормаль

y= -3x

16.25.

x₀ = 2

y₀ = 3

x= 3t²

y= 2t+1

y_x = (2t+1)/(3t² )

y_{x 0} = 1

Касательная

y-3=x-2

y-x-1=0

Нормаль

y-3= -x+2

y+x-5=0

16.26.

x₀ = 1

y₀ = -3/2

x= -2sint

y= cost

y_x = -1/2*ctgt

y_x0 = 3/6

Касательная

y+3/2= 3/6(x-1)

y-x3/6+23/3=0

Нормаль

y+3/2= -23(x-1)

y+2x3-23+3/2=0

16.27.

x₀ = 2

y₀ = 2

x= 2/cos² t

y= 2sin2t+2cos2t

y_x = (sin2t+cos2t)/cos² t

y_{x 0} = 2

Касательная

y-2= 2(x-2)

y-2x+2=0

Нормаль

y-2= -1/2(x-2)

y+x/2-3=0

16.28.

x₀ = -7

y₀ = 4

x= 3t²

y= 2t

y_x = 2/(3t)

y_x0 = -1/3

Касательная

y-4= -1/3(x+7)

y+x/3-5/3=0

Нормаль

y-4= 3(x+7)

y-3x-25=0

16.29.

x₀ = 0

y₀ = 1

x= cost

y= a^t lna

y_x = a^t lna/cost

y_{x 0} = lna

Касательная

y-1-xlna=0

Нормаль

y-1+x/lna=0

16.30.

x₀ = 1/2

y₀ = 1/2

x= cost

y= -2sin2t

y_x = -4sint

y_x0 = -2

Касательная

y-1/2= -2(x-1/2)

y+2x-3/2=0

Нормаль

y-1/2= 1/2(x-1/2)

y-x/2-1/4=0

16.31.

x₀ = 2

y₀ = 2

x= 2e^t

y= -e^-t

y_x = -1/(2e^2t )

y_x0 = -1/2

Касательная

y-2= -1/2(x-2)

y+x/2-3=0

Нормаль

y-2= 2(x-2)

y-2x+2=0

Скачать архив с текстом документа