Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.2

СОДЕРЖАНИЕ: Задача 2 . Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой 2.1.

Задача 2 . Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой .

2.1.

Уравнение нормали: .

y₀ = (4*2-2² )/4=1

y= 1-2x/4

y₀ = 1-4/4=0

Уравнение нормали имеет вид:

х=х₀

х=2

2.2.

Уравнение нормали: .

y₀ = 2*4-2*3-1=1

y= 4х+3

y₀ = -4*2+3=-5

Уравнение нормали имеет вид:

у-1=1/5(х+2)

у=1/5х+7/5

2.3.

Уравнение нормали: .

y₀ = -1-(-1)³ =0

y=1-3х²

y₀ = 1-3*(-1)² =-2

Уравнение нормали имеет вид:

у=1/2(х+1)

у=1/2х+1/2

2.4.

Уравнение нормали: .

y₀ = 4² +84-32=0

y= 2х+4/х

y₀ = 2*4+4/4=10

Уравнение нормали имеет вид:

у=-1/10(х-4)

у=-1/10+2/5

2.5.

Уравнение нормали: .

y₀ = 1+1³ =2

y= 1+3х² /2х³

y₀ = 1+3/2=5/2

Уравнение нормали имеет вид:

у-2=-2/5(х-1)

у=-2/5х+12/5

2.6.

Уравнение нормали: .

y₀ = ³ 64-20=4-20=-16

y= 2/(3³ х)

y₀ = 2/3³ (-8)=-1/3

Уравнение нормали имеет вид:

у+16=3(х+8)

у=3х+8

2.7.

Уравнение нормали: .

y₀ = (1+4)/(1-4)=-3

y= ((1/(2х))*(1-х)+(1+х)*1/(2х))/(1-х)² =1/((х)*(1-х)² )

y₀ = 1/(4*(1-4))=-1/2

Уравнение нормали имеет вид:

у+3=2(х-4)

у=2х-11

2.8.

Уравнение нормали: .

y₀ = 8⁴ 16-70=-54

y= 8/(4⁴ х³ )=2/⁴ х³

y₀ = 2/⁴ 16³ =1/4

Уравнение нормали имеет вид:

у+54=-4(х-16)

у=-4х+10

2.9.

Уравнение нормали: .

y₀ = 2-3+1=0

y= 4х-3

y₀ = 4-3=1

Уравнение нормали имеет вид:

у=-х+1

2.10.

Уравнение нормали: .

y₀ = (3² -3*3+6)/3² =2/3

y= ((2х-3)х² -(х² -3х+6)2х)/х⁴ =(2х³ -3х² -2х³ +6х² -12х)/х⁴ =(3х-12)/х³

y₀ = (3*3-12)/3³ =-1/9

Уравнение нормали имеет вид:

у-2/3=9(х-3)

у=9х-79/3

2.11.

Уравнение нормали: .

y₀ = 64-3³ 64=-4

y= 1/(2х)-1/(3³ х² )

y₀ = 1/264-1/3³ 64² =1/16-1/48=1/24

Уравнение нормали имеет вид:

у+4=-24(х-64)

у=-24х+1532

2.12.

Уравнение нормали: .

y₀ = (2³ +2)/(2³ -2)=5/3

y= (3х² (х³ -2)-3х² (х³ +2))/(х³ -2)² =(3х² (-4))/(х³ -2)² =(-12х² )/(х³ -2)²

y₀ = (-12*2² )/(2³ -2)² =-48/36=-4/3

Уравнение нормали имеет вид:

у-5/3=3/4*(х-2)

у=3/4*х+1/6

2.13.

Уравнение касательной: .

y₀ = 2+3=5

y= 4х

y₀ = -4

Уравнение касательной имеет вид:

у-5=-4(х+1)

2.14.

Уравнение касательной: .

y₀ = (1+6)/(1+1)=7/2

y= (29х²⁸ (х⁴ +1)-4х³ (х²⁹ +6))/(х⁴ +1)² =(29х³² +29х²⁸ -4х³² -24х³ )/(х⁴ +1)² =(25х³² +29х²⁸ -24х³ )/(х⁴ +1)²

y₀ = (25+29-24)/4=15/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-7/2=15/2*(х-1)

у=7,5х-4

2.15.

Уравнение касательной: .

y₀ = 2+1=3

y= 2-1/х²

y₀ = 2-1=1

Уравнение касательной имеет вид:

у-3=х-1

у=х+2

2.16.

Уравнение касательной: .

y₀ = -2(1+2)/(3(1+1))=-1

y= -2/3*(8х⁷ (х⁴ +1)-4х³ (х⁸ +2))/(х⁴ +1)² =-2/3*(4х¹¹ +8х⁷ -8х³ )/(х⁴ +1)²

y₀ = -2/3*(4+8-8)/(1+1)² =-2/3

Уравнение касательной имеет вид:

у+1=-2/3*(х-1)

у=-2/3*х-1/3

2.17.

Уравнение касательной: .

y₀ = (1+1)/(1+1)=1

y= (5х⁴ (х⁴ +1)-4х³ (х⁵ +1))/(х⁴ +1)² =(х⁸ +5х⁴ -4х³ )/(х⁴ +1)²

y₀ = (1+5-4)/(1+1)² =1/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-1=1/2*(х-1)

у=1/2*х+1/2

2.18.

Уравнение касательной: .

y₀ =(1+9)/(1-5)=-5/2

y= (16х¹⁵ (1-5х² )+10х(х¹⁶ +9))/(1-5х² )² =(16х¹⁵ -70х¹⁷ +90х)/(1-5х² )²

y₀ = (16-70+90)/(1-5)² =9/4

Уравнение касательной имеет вид:

у+5/2=9/4*(х-1)

у=9/4*х-19/4

2.19.

Уравнение касательной: .

y₀ =3(1-2)=-3

y= 1/(³ х² )-3/х

y₀ = 1-3=-2

Уравнение касательной имеет вид:

у+3=-2(х-1)

у=-2х-1

2.20.

Уравнение касательной: .

y₀ = 1/(3*2+2)=1/8

y= -3/(3х+2)²

y₀ = -3/(3*2+2)² = -3/64

Уравнение касательной имеет вид:

у-1/8= -3/64*(х-2)

у= -3/64*х+7/32

2.21.

Уравнение касательной: .

y₀ = -2/(4+1)= -2/5

y= (х² +1-2х² )/(х² +1)² = (1-х² )/(х² +1)²

y₀ = (1-4)/(4+1)² = -3/25

Уравнение касательной имеет вид:

у+2/5= -3/25*(х+2)

у= -3/25*х-16/25

2.22.

Уравнение касательной: .

y₀ = 1/3*(9-9+3)=1

y= 2/3*х-1

y₀ = 2-1=1

Уравнение касательной имеет вид:

у-1= х-3

у= х-2

2.23.

Уравнение касательной: .

y₀ = 2/(1+1)=1

y= (2х² +2-4х² )/(х² +1)² =(2-2х² )/(х² +1)²

y₀ = (2-2)/(1+1)² = 0

Уравнение касательной имеет вид:

у= -1

2.24.

Уравнение касательной: .

y₀ = -2(1+3)= -8

y= -2/(3³ х² )-3/(х)

y₀ = -2/3-3= -11/3

Уравнение касательной имеет вид:

у+8= -11/3*(х-1)

у= -11/3*х-13/3

2.25.

Уравнение касательной: .

y₀ = (1+3)/(3+1)= 1

y= (6х(3+х² )-2х(1+3х² ))/(3+х² )² = 16х/(3+х² )²

y₀ = 16/(3+1)² = 1

Уравнение касательной имеет вид:

у-1= х-1

у=х

2.26.

Уравнение касательной: .

y₀ = 14-15+2=1

y= 7/х-5/³ х²

y₀ = 7-5= 2

Уравнение касательной имеет вид:

у-1= 2(х-1)

у= 2х-1

2.27.

Уравнение касательной: .

y₀ = 3-1= 2

y= 3/(4⁴ х³ )-1/(2х)

y₀ = 3/4-1/2= 1/4

Уравнение касательной имеет вид:

у-2= 1/4*(х-1)

у= 1/4*х+7/4

2.28.

Уравнение касательной: .

y₀ = (3-2)/3= 1/3

y= 1-2х²

y₀ = 1-2= -1

Уравнение касательной имеет вид:

у-1/3= -х+1

у= -х+4/3

2.29.

Уравнение касательной: .

y₀ = 4/10+3= 17/5

y= 1/5*х

y₀ = 2/5

Уравнение касательной имеет вид:

у-17/5= 2/5*(х-2)

у=2/5*х+13/5

2.30.

Уравнение касательной: .

y₀ = (16-8-3)/4= 5/4

y= *х-1/2

y₀ = 4/2-1/2= 3/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-5/4= 3/2*(х-4)

у= 3/2*х-19/4

2.31.

Уравнение касательной: .

y₀ = 6-16/3= 2/3

y= 2/³ х² -4/(3⁴ х³ )

y₀ = 2-4/3= 2/3

Уравнение касательной имеет вид:

у-2/3= 2/3*(х-1)

у= 2/3*х

Скачать архив с текстом документа