Розв’язання лінійних задач методами лінійного програмування

СОДЕРЖАНИЕ: Методи зведення до канонічної форми задач лінійного програмування. Визначення шляхів знаходження екстремумів функцій графічним способом. Побудова початкового опорного плану методом північно-західного напрямку. Складання двоїстої системи матриць.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Чернігівський державний технологічний університет

Кафедра вищої математики

Контрольна робота

з дисципліни: Математичне програмування

Варіант 06

Чернігів 2009


Зміст

Завдання №1

Завдання №2

Завдання №3

Завдання №4

Завдання №5

Список використаних джерел


Завдання №1

Звести до канонічної форми задачу лінійного програмування:

Дана задача лінійного програмування задана в симетричній формі запису: умови, при яких функція F буде максимальною, задані у вигляді нерівностей. Для того, щоб отримати канонічну форму задачі лінійного програмування необхідно нерівності перетворити у рівності, використовуючи теорему, за якою нерівність

еквівалентна рівнянню

і нерівності

а нерівність вигляду

еквівалентна рівнянню

, в якому


Враховуючи наведене вище дану задачу запишемо у наступній канонічній формі:

Завдання №2

Визначити оптимальний план задачі лінійного програмування графічним методом (знайти максимум і мінімум функції):

Для задач з двома змінними можна використовувати графічний спосіб розв’язку задач лінійного програмування. Побудуємо область допустимих розв’язків системи лінійних нерівностей. Для цього будуємо відповідні даним нерівностям граничні прямі:

Потім знаходимо напівплощини, в яких виконуються задані нерівності (рисунок1).


Рисунок1– Графічне визначення максимального і мінімального значення функції

Область допустимих рішень визначається як загальна частина напівплощин, відповідних даним нерівностям, які при цьому знаходяться в першій четвертині, тобто обмежуються прямими і . З малюнку 1 видно, що функція не має рішення, оскільки напівплощина, утворена прямими

не співпадає з площиною, утвореною обмеженнями

.

Завдання №3

Побудувати двоїсту задачу. Симплексним методом знайти оптимальний план початкової задачі. Використовуючи першу теорему двоїстості, визначити план другої задачі.


Для перетворення нерівностей в рівності вводимо змінні одиничні матриці х3 , х4 і х5 . Для розв’язку задачі симплексним методом необхідно мати три одиничних матриці при невід’ємних правих частинах рівнянь. Для отримання одиничної матриці в першій і третій нерівностях вводимо введемо штучні змінну х6 і х7 та отримаємо одиничні матриці А6 і А7 . Де

і

В результаті наведених перетворень отримаємо наступну задачу:

У виразі функції величину М вважаємо достатньо великим додатнім числом, оскільки задача розв’язується на знаходження мінімального значення функції.

Запишемо задачу у векторній формі:


де

В якості базису вибираємо одиничні вектори А6 , А4 , А7 . Вільні невідомі прирівнюємо нулю . В результаті отримаємо початковий опорний план розширеної задачі

,

якому відповідає розкладення

Для перевірки початкового опорного плану складаємо першу симплексну таблицю (таблиця1) і підраховуємо значення функції і оцінок Маємо:

тобто оскільки М попередньо не фіксовано, то оцінки є лінійними функціями величини М, причому функція складається з двох доданків, одне з яких залежить від М, інше не залежить. Для зручності розрахунків в (F-C) рядок запишемо доданок, незалежний від М, а в (М) рядок – тільки коефіцієнти при М, які і дозволяють порівняти оцінки між собою. Для векторів базису оцінки дорівнюють нулю.

Таблиця1– Перша симплексна таблиця

Базис С базису А0
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
х6 М 8 1 -1 0 0 1 0
х4 0 20 3 4 0 1 0 0 0
х7 М 6 3 1 0 0 -1 0 1
F-C 0 -5 -2 0 0 0 0 0
М 14 4 4 -1 0 -1 0 0

В (М) рядку є додатні оцінки, тому опорний план Х0 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Оскільки у нас максимальне значення 4 належить двом векторам, то в базис включаємо вектор, якому відповідає мінімальне Сj . Розв’язувальним рядком вибирається той, в якому найменше відношення Серед коефіцієнтів розкладання векторів А1 і А2 по базису є додатні, тому хоча б один з векторів існує.. Знайдемо ці значення:

;

Таким чином підтвердилося, що розв’язувальним стовпчиком буде другий, і визначилося, що розв’язувальним рядком буде перший. Тобто розв’язувальний елемент – число 3. Тоді вектор А2 включаємо в базис, а вектор А6 виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця2). При цьому елементи першого (розв’язувального) рядка ділимо на 3. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.

Таблиця2– Друга симплексна таблиця

Базис С базису А0
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
х2 2 2,67 0,33 1 -0,33 0 0 0,33 0
х4 0 9,33 1,67 0 1,33 1 0 -1,33 0
х7 М 3,33 0 0,33 0 -1 -0,33 1
F-C 5,33 -4,33 0 -0,67 0 0 0,67 0
М 3,33 2,67 0 0,33 0 -1 -1,33 0

В (М) рядку є додатні оцінки, тому план, зображений в таблиці2 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Тобто за розв’язувальний стовпчик вибираємо перший. Мінімальне відношення

тому розв’язувальним рядком є третій. Таким чином розв’язувальний елемент – число 2,67. Тоді вектор А1 включаємо в базис, а вектор А7 виключаємо з нього.

Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця3). При цьому елементи третього (розв’язувального) рядка ділимо на 2,67. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.


Таблиця3– Третя симплексна таблиця

Базис С базису А0
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
х2 2 2,25 0 1 -0,375 0 0,125 0,375 -0,125
х4 0 7,25 0 0 1,125 1 0,625 -1,125 -0,625
х1 5 1,25 1 0 0,125 0 -0,375 -0,125 0,375
F-C 10,75 0 0 -0,125 0 -1,625 0,125 1,625
М 0 0 0 0 0 0 -1 -1

В результаті проведеної ітерації з базису виключено штучні елементи, тому в рядку (М)всі оцінки, крім оцінки штучного вектору, перетворилися на нуль. Оскільки в рядках (F-C) і (М) не має додатних значень, то знайдене рішення

()

є оптимальним. Функція при цьому

Перевірка

Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність двоїсту задачу. Для цього першим кроком необхідно впорядкувати запис вихідної задачі. Оскільки у нас функція мінімізується, то всі умови-нерівності повинні бути вигляду . Виконання цієї умови досягаємо множенням відповідних умов на (1-). В результаті система обмежень матиме наступний вигляд:

Оскільки вихідна задача є задачею мінімізації, то двоїста буде задачею максимізації. Двоїста задача буде мати три змінні , оскільки вихідна задача має три обмеження. При цьому вектор, отриманий із коефіцієнтів при невідомих цільової функції вихідної задачі , співпадає з вектором констант у правих частинах обмежень двоїстої задачі. Аналогічно пов’язані між собою вектори, утворені з коефіцієнтів при невідомих цільової функції двоїстої задачі , і константи в правих частинах обмежень вихідної задачі. Кожній змінній двоїстої задачі відповідає і-те обмеження вихідної задачі, і, навпаки, кожній змінній прямої задачі відповідає j-те обмеження двоїстої задачі. Матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі утворюється транспортуванням матриці А, складеної з коефіцієнтів при невідомих вихідної задачі. Якщо на j-ту змінну вихідної задачі накладена умова невід’ємності, то j-те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, в іншому випадку j-те обмеження буде рівністю; аналогічно пов’язані між собою обмеження вихідної задачі і змінні двоїстої.

Складаємо матрицю при невідомих вихідної задачі:

,


тоді матриця при невідомих двоїстої задачі матиме наступний вигляд:

На накладено умову невід’ємності, тому обмеження двоїстої задачі матимуть вигляд нерівності, а не рівності. Оскільки в початковій задачі всі обмеження мають вигляд нерівності, то накладаємо умови

Враховуючи все наведене, двоїста задача матиме наступний вигляд:

Якщо розглянути першу симплексну таблицю з одиничним додатковим базисом, то можна помітити, що в стовбцях записана вихідна задача, а в рядках – двоїста. Причому оцінками плану вихідної задачі є , а оцінками плану двоїстої задачі – З таблиці3, отриманої в результаті рішення вихідної задачі знаходимо:

Завдання №4

Визначити оптимальний план транспортної задачі:

а) побудувати початковий опорний план методом північно-західного напрямку;

б) побудувати оптимальний план методом потенціалів:

Нехай в матриці А міститься інформація про кількість продукту в кожному місці виробництва, який необхідно доставити споживачам в кількості записаній в матриці В. Транспортні витрати, пов’язані з перевезенням одиниці продукту із одного місця виробництва одному споживачеві, записані в матриці С. Задані матриці і сказане вище для спрощення сприйняття узагальнимо в таблиці4.

Таблиця4–Поставка продукту із різних місць виробництва різним споживачам і пов’язані з цим витрати

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 60
5 2 7 5 20
5 4 8 2 30
7 1 5 7 20
Потреба в продукті 40 30 30 15

130

115

З таблиці4 видно, що запаси продукту у виробника на складах на 15 одиниць більші ніж необхідно споживачу, тобто маємо транспортну задачу з відкритою моделлю. Для розв’язку такої задачі введемо фіктивного споживача, якому необхідно отримати одиниць продукту. Всі тарифи на доставку продукту цьому споживачеві будемо вважати рівними нулю, і весь продукт потрібний цьому споживачеві залишаємо у місці виробництва. Для побудови початкового плану перевезень (таблиця5) використаємо метод північно-західного напрямку: заповнювати таблицю починаємо з лівого верхнього кута, рухаючись вниз по стовбцю або вправо по рядку (тарифи перевезень напишемо в правому верхньому куту кожної клітини, кількість продукту – в нижньому лівому). В першу клітину заносимо менше з чисел (min(40;60): 40. Тобто потреба в продукті першого споживача повністю задовільнено і інші клітини першого стовпця заповнювати не будемо. Рухаємося далі по першому рядку в другий стовпчик. В цю клітину записуємо менше з 30 і (60-40), тобто пишемо 20. Таким чином перший рядок заповнювати далі не будемо, оскільки запаси першого місця виробництва остаточно вичерпано: з нього ми повністю задовольняємо потребу у продукті першого споживача і частково (20 одиниць, а не 30) другого. Рухаємося по другому стовпчику на другий рядок. Сюди записуємо менше з (30-20) або 20: маємо 10, тобто другому споживачеві ми веземо 20одиниць продукту з першого місця виробництва і 10– з другого. Аналогічно заповнюємо інші клітини.

Таблиця5– Розподіл продукту по споживачам

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60
40 20
5 2 7 5 0 20
10 10
5 4 8 2 0 30
20 10
7 1 5 7 0 20
5 15
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130

Таким чином, в таблиці5 отримали початковий опорний план, транспортні витрати за яким складають:

Недоліком використаного методу знаходження опорного плану є ігнорування величини тарифів на перевезення продукту.

Для визначення оптимального плану перевезень використаємо метод потенціалів. Для цього кожному виробнику Аі (кожному рядку) ставимо у відповідність деяке число а кожному споживачу Ві (кожному стовпчику)– деяке число На основі таблиці5 складемо таблицю6, в якій додамо один стовпчик і один рядок для написання величини параметрів і . Їх знаходимо використовуючи першу умову оптимальності транспортної задачі: (для кожної зайнятої клітини сума потенціалів повинна дорівнювати вартості одиниці перевезення, що записана в цій клітині).

Таблиця6– Перевірка оптимальності опорного плану

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
40 20
5 2 7 5 0 20 -1
10 10
5 4 8 2 0 30 0
20 10
7 1 5 7 0 20 5
5 15
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 3 8 2 -5

Систему потенціалів можна побудувати лише для невирожденого опорного плану. Такий план містить m+n-1 лінійно незалежних рівнянь виду з m+n невідомими (де m– кількість постачальників, n– кількість споживачів). Рівнянь на одне менше, ніж невідомих, тому система є невизначеною і для її розв’язку одному невідомому (нехай ним буде u1 ) придамо нульове значення.

Для того, щоб план був оптимальним, повинна виконуватись умова: для кожної незайнятої клітини сума потенціалів повинна бути менша або дорівнювати вартості одиниці перевезення, що стоїть в цій клітині: тобто Робимо перевірку для всіх вільних клітин:

З розрахунків бачимо, що умова оптимальності не виконується для клітин, А1 В3 , А2 В1 , А3 В1 , А4 В1 , А4 В2 , і А4 В3 . Клітину, в якій додатне число отримали максимальним (А2 В3 , оскільки max(5;2;3;6;7;8)=8) зробимо зайнятою, для цього побудуємо цикл і отримуємо таблицю7.

Таблиця7– Другий крок пошуку оптимального рішення

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
40 20
5 2 7 5 0 20 -1
10 10
5 4 8 2 0 30 0
15 15
7 1 5 7 0 20 -3
5 15
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 3 8 2 3

Транспортні витрати при такому плані перевезення складають:

Перевірка всіх вільних клітин:

Отримали від’ємні значення у всіх клітинах окрім А1 В3 (5), А1 В5 (3), А2 В1 (2), А2 В5 (2), А3 В1 (3) і А3 В5 (3). Максимальне значення max(5;3;2;2;3;3)=5в клітині А1 В3 , тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці7, результат дій в таблиці8).

Таблиця8– Третій крок пошуку оптимального рішення

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 -
40 10 10
5 2 7 5 0 20 -1
20
5 4 8 2 0 30 5
15 15
7 1 5 7 0 20 2
5 15
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 3 3 -3 -2

Транспортні витрати:

тобто при такому плані перевезення товару транспортні витрати знизилися на 50грн. в порівнянні з попереднім планом перевезення. Але, щоб визначити є отриманий план оптимальним чи ні, виконаємо перевірку.

Перевірку всіх вільних клітин зобразимо в таблиці9, в якій для всіх вільних клітин запишемо різницю між сумою потенціалів і транспортними витратами в клітині.

Таблиця9– Перевірка плану отриманого в результаті третього кроку пошуку оптимального рішення задачі

- - - -7 -2
2 - -5 -9 -3
8 4 - - 3
3 4 - -8 -

З таблиці9 видно, що додатне значення отримали для клітин А2 В1 (2), А3 В1 (8), А3 В2 (4), А3 В5 (3), А4 В1 (3) і А4 В2 (4). Максимальне значення max(2;8;4;3;3;4)=8в клітині А3 В1 , тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці8, результат дій в таблиці10).


Таблиця1– Четвертий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
25 10 25
5 2 7 5 0 20 -1
20
5 4 8 2 0 30 -3
15 15
7 1 5 7 0 20 2
5 15
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 3 3 5 -2

Транспортні витрати:

що на 120грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці11.

Таблиця11– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

- - - 1 -2
2 - -5 -1 -3
- -4 -8 - -5
3 4 - 0 -

План, зображений в таблиці10 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А1 В4 (1), А2 В1 (2), А4 В1 (3), А4 В2 (4). Заповнюємо клітину А4 В2 і будуємо опорний план (таблиця12).

Таблиця12– П’ятий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
25 5 30
5 2 7 5 0 20 -1
20
5 4 8 2 0 30 -3
15 15
7 1 5 7 0 20 -2
5 15
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 3 3 5 2

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

що на 20грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин здійснена в таблиці 13.

Таблиця13– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

- - - 1 2
2 - -5 -1 1
- -4 -8 - -1
-1 - -4 -4 -

Оскільки в результаті розрахунків отримали додатні значення, то знову будуємо цикл і заповнюємо необхідну клітину. В даному випадку це буде або клітина А2 В1 або клітина А1 В5 . Вибираємо останню, оскільки транспортні витрати на перевезення в ній менші. На від’ємних кутах циклу об’єм перевезень становить 10 і 0. Оскільки min(10;0)=0, то всі клітини залишаються незмінними і лише клітина з нульовим перевезенням переходить з А4 В5 на А1 В5 .

Новий план зображено в таблиці14.

Таблиця14– Шостий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
25 30 5
5 2 7 5 0 20 -1
20
5 4 8 2 0 30 -3
15 15
7 1 5 7 0 20 0
10 10
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 1 3 5 0

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 15:


Таблиця15– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

- -2 - 1 -
4 - -3 1 1
- -6 -8 - -3
1 - -2 -2 -

З таблиці15 видно, що максимальне додатне значення отримали для клітини А2 В1 , тому заповнюємо її будуючи для неї цикл, який показано в таблиці14. Результат дій в таблиці16.

Таблиця16– Сьомий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
15 30 15
5 2 7 5 0 20 -3
10 10
5 4 8 2 0 30 -3
15 15
7 1 5 7 0 20 -4
20
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 5 3 5 0

Транспортні витрати:


що на 40грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.

Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці17.

Таблиця17– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

- 2 - 1 -
- - -7 -3 -3
- -2 -8 - -3
-3 - -6 -6 -4

План, зображений в таблиці8 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А1 В2 (2) і А1 В4 (1). Заповнюємо клітину А1 В2 і будуємо опорний план (таблиця18).

Таблиця18– Восьмий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
5 10 30 15
5 2 7 5 0 20 -3
20
5 4 8 2 0 30 -3
15 15
7 1 5 7 0 20 -2
20
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
8 3 3 5 0

Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:

що на 20грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів. Перевірка всіх вільних клітин здійснена в таблиці 19.

Таблиця19– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

- - - 1 -
- -2 -7 -3 -3
- -4 -8 - -3
-1 - -4 -4 -2

Оскільки в результаті розрахунків отримали додатне значення в єдиній клітині А1 В4 , то будуємо цикл і заповнюємо її. Новий план зображено в таблиці20.

Таблиця20– Дев’ятий крок пошуку оптимального рішення задачі

Виробник Споживач Запаси продукту
8 3 3 4 0 60 0
10 30 5 15
5 2 7 5 0 20 -2
20
5 4 8 2 0 30 -2
20 10
7 1 5 7 0 20 -2
20
Потреба в продукті 40 30 30 15 15 130
7 3 3 4 0

Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 21:

Таблиця21– Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин

-1 - - - -
- -1 -6 -3 -2
- -3 -7 - -2
-2 - -4 -5 -2

Рішення, зображене в таблиці20 є оптимальним, оскільки для кожної незайнятої клітини сума потенціалів менша вартості перевезень, що знаходиться у відповідній клітинці. Транспортні витрати по оптимальному плану перевезень становлять:

Знайдений оптимальний план покращив результат діяльності у порівнянні з початковим (зменшив транспортні витрати) на 685-380=305гривень.


Список використаних джерел

1. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование. Учебное пособие для вузов– М.: Высшая школа, 1976.– 352с.

2. Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию.– Мн.: Высш. школа, 1978.– 256с.

Скачать архив с текстом документа