Рішення задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8
СОДЕРЖАНИЕ: Алгебраїчні перетворення в Maple за допомогою вбудованих функцій елементарних перетворень. Позбавлення від ірраціональності в знаменнику. Побудування графіку функції в пакеті Maple-8. Пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами.Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни „Інформатика”
Рішення задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8
(варіант №7)
Виконав студент групи____________________
______________________
До захисту__________________200 __року
Викладач_______________________________
Дніпропетровськ
2010
Зміст
Вихідні дані завдань варіанту №7
1. Завдання №1
1.1. Задача 1.1 (вар. №7)
1.2. Задача 1.2 (вар. №7)
2. Завдання №2
2.1. Задача 2.1 (вар. №7)
2.2. Задача 2.2 (вар. №7)
3. Завдання №3
3.1. Задача 3.1 (вар. №7)
3.2. Задача 3.2 (вар. №7)
4. Завдання №4
4.1. Задача 4.1 (вар. №7)
4.2. Задача 4.2 (вар. №7)
5. Завдання №5
5.1. Задача 5.1 (вар. №7)
5.2. Задача 5.2 (вар. №7)
6. Завдання №7
6.1. Задача 6.1 (вар. №7)
6.2. Задача 6.2 (вар. №7)
7. Завдання №7
7.1. Задача 7.1 (вар. №7)
7.2. Задача 7.2 (вар. №7)
8. Завдання №8
8.1. Задача 8.1 (вар. №7)
8.2. Задача 8.2 (вар. №7)
9. Завдання №9
9.1. Задача 9.1 (вар. №7)
9.2. Задача 9.2 (вар. №7)
10. Завдання №10
10.1. Задача 10.1 (вар. №7)
10.2. Задача 10.2 (вар. №7)
11. Завдання №11
Список використаної літератури
Вихідні дані завдань варіанту №7
1. Завдання №1
1.1 Задача 1.1 (вар. №7)
Спростити вираз
Розв’язання.
Алгебраїчні перетворення в Maple проводяться за допомогою вбудованих функцій елементарних перетворень таких як simplify - спростити, expand - розкрити дужки, factor -розкласти на множники, normal - привести до спільного знаменника, combine-перетворення ступеня, collect-привести подібні члени, rationalize – позбавитися від ірраціональності в знаменнику.
(3*x^4-10*a*x^3+22*a^2*x^2-24*a^3+10*a^4)/(x^2-2*a*x+3*a^2);
Позначимо чисельник через u1
u1:=3*x^4-10*a*x^3+22*a^2*x^2-24*a^3+10*a^4;
Позначимо знаменник через u2
u2:=x^2-2*a*x+3*a^2;
Спрощуємо знаменник u2: збираємо повний квадрат
with(student):completesquare(u2,x);
Спрощуємо чисельник u1
simplify(u1);
Розкладаємо чисельник u1 на множники
factor(u1);
Перетворюємо степені в чисельнику u1
combine(u1);
Приводимо подібні члени в чисельнику u1 відносно a
collect(u1,a);
Приводимо подібні члени в чисельнику u1 відносно x
collect(u1,x);
Збираємо повний квадрат в числівнику u1
with(student):completesquare(u1,x);
Відповідь: жодна функція елементарних перетворень simplify, factor, combine, collect, completesquare не працює, тому є всі підстави вважати, що в умову задачі вкралася помилка.
1.2 Задача 1.2 (вар. №7)
Спростити вираз
Розв’язання.
(sqrt(a)+(b-sqrt(a)*sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b)))/(a/ (sqrt(a)* sqrt(b)+b) + b/(sqrt(a)*sqrt(b)-a)-(a+b)/(sqrt(a)*sqrt(b)));
Чисельник дробу позначимо через w1
w1:=sqrt(a)+(b-sqrt(a)*sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b));
Позбавляємося від ірраціональності в чисельнику w1
w1:=rationalize(w1);
Знаменник дробу позначимо через w2
w2:=a/(sqrt(a)*sqrt(b)+b)+b/(sqrt(a)*sqrt(b)-a)-(a+b)/a^(1/2)/ b^(1/2);
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику w2
w2:=rationalize(w2);
Скорочуємо дріб: ділимо чисельник w1 на знаменник w2
w3:=w1/w2;
Спрощуємо останній вираз і дістаємо відповідь
simplify(w3);
Відповідь:
2. Завдання №2
2.1 Задача 2.1 (вар. №7)
Спростити вираз, а потім знайти чисельне значення цього виразу при a=1/16,b=1/81
Розв’язання.
(a-b)/(a^(3/4)+sqrt(a)*b^(1/4))-(a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках
rationalize((-b+a)/(a^(3/4)+sqrt(a)*b^(1/4)))-rationalize((-sqrt(b)+sqrt(a))/(a^(1/4)+b^(1/4))) ;
Приводимо дробі до спільного знаменника (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)
normal(%);
Спрощуємо вираз
simplify(%);
Підставляємо а=1/16, b=1/81 в останній вираз
subs(a=1/16,b=1/81,%);
Спрощуємо вираз
simplify(%);
Відповідь: 2/27.
2.2 Задача 2.2 (вар. №7)
Спростити вираз, а потім знайти чисельне значення цього виразу при x=1/2
Розв’язання.
(sqrt(2)/(1-x^2)^(-1)+2^(3/2)/x^(-2))/(x^(-2)/(1+x^(-2)));
Спрощуємо останній вираз
simplify(%);
Підставляємо x=1/2 в останній вираз
subs(x=1/2,%);
Відповідь: 
3. Завдання №3
3.1 Задача 3.1 (вар. №7)
Скоротити наступну дріб
Розв’язання.
(a^2+6*a-91)/(a^2+8*a-105);
Позначимо чисельник дробу через а1
a1:=a^2+6*a-91;
Розкладаємо чисельник на множники
a1:=factor(a1);
Позначимо знаменник дробу через а2
a2:=a^2+8*a-105;
Розкладаємо знаменник на множники
a2:=factor(a2);
a3:=a1/a2;
Відповідь: 
3.2 Задача 3.2 (вар. №7)
Скоротити наступну дріб
Розв’язання.
(x*sqrt(y)-y*sqrt(x))/(sqrt(x)-sqrt(y))/(sqrt(x)*sqrt(y));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
rationalize(%);
Розкриваємо дужки
expand(%);
Спрощуємо вираз
simplify(%);
Відповідь: 1.
4. Завдання №4
4.1 Задача 4.1 (вар. №7)
Розв’язати рівняння 1-й степені
Вбудована функція, призначена для розвязань рівнянь і нерівностей, має вигляд: solve(рівняння або нерівність, змінна);
Розв’язання.
(7*x+4)/5-x=abs((3*x-5)/2);
Позначимо рівняння через eq
eq:=(7*x+4)/5-x-sqrt(((3*x-5)/2)^2)=0;
Розв’язуємо рівняння відносно змінної x
solve(eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо в рівняння eq розвязок x=3
subs(x=3,eq);
Підставляємо в рівняння eq розвязок x=17/19
subs(x=17/19,eq);
Обчислюємо останній вираз
evalf(%);
Відповідь: 3; 17/19.
4.2 Задача 4.2 (вар. №7)
Розв’язати рівняння 1-й степені
Розв’язання.
1-8/(x-4)-5/(3-x)-(8-x)/(x+2)=0;
Позначимо рівняння через eq
eq:=1-8/(x-4)-5/(3-x)-(8-x)/(x+2)=0;
Розвязуємо рівняння відносно змінної x
solve(eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо розвязок x = 8 в рівняння eq
subs(x=8,eq);
Підставляємо розвязок x = 7/4+1/4*I*sqrt(15) в рівняння eq
subs(x = 7/4+1/4*I*sqrt(15),eq);
Спрощуємо
simplify(%);
Підставляємо розвязок x = 7/4-1/4*I*sqrt(15) в рівняння eq
subs(x = 7/4-1/4*I*sqrt(15),eq);
Спрощуємо
simplify(%);
Відповідь: 8; 7/4+1/4*I*sqrt(15); 7/4-1/4*I*sqrt(15).
5. Завдання №5
5.1 Задача 5.1 (вар. №7)
Розв’язати систему рівнянь з двома невідомими
Розв’язання.
abs(x-1)+abs(y-5)=1;abs(x-1)-abs(y-5)=0;
Позначимо систему рівнянь через sistema
sistema:={sqrt((x-1)^2)+sqrt((y-5)^2)=1,sqrt((x-1)^2)-sqrt((y-5)^2)=0};
Розвязуємо систему відносно змінних x, y
s:=solve(sistema,{x,y});
Для перевірки розвязання можна використати функцію map( ) разом з функцією subs( ), яка за одну операцію виконує перевірку всіх розвязків
map(subs,[s],sistema);
Відповідь: (3/2, 9/2), (1/2, 9/2), (3/2, 11/2), (1/2, 11/2).
5.2 Задача 5.2 (вар. №7)
Розв’язати систему рівнянь з двома невідомими
Розв’язання.
(x^2+y+1)/(y^2+x+1)=3/2;x-y=1;
Позначимо систему рівнянь через sistema
sistema:={(x^2+y+1)/(y^2+x+1)=3/2,x-y=1};
Розвязуємо систему рівнянь відносно x,y
s:=solve(sistema,{x,y});
Зробимо перевірку: підставляємо знайдені розвязки в систему й одержуємо тотожності
subs(s[1],sistema);subs(s[2],sistema);
Відповідь: (2,1), (3,2).
6. Завдання №7
6.1 Задача 6.1 (вар. №7)
Побудувати графік наступної функції
Розв’язання.
f:=1/(x^2-2*x+2);
Будуємо графік функції f: обираємо проміжок для змінної x від -1 до 2, колір - синій, товщина лінії - 3
plot(f,x=-1..2,color=blue,thickness=3);
6.2 Задача 6.2 (вар. №7)
Побудувати графік наступної функції
Розв’язання.
5-x^2-y^2-x*y+abs(3-x^2-y^2+x*y)=0;
Будуємо графік неявно заданої функції за допомогою пакету plots
with(plots):implicitplot(5-x^2-y^2-x*y+sqrt((3-x^2-y^2+x*y)^2)=0,x=-2..2,y=-2..2, color= brown, thickness=2);
implicitplot(5-x^2-y^2-x*y+sqrt((3-x^2-y^2+x*y)^2)=0,x=-2..2,y=-10..10, color=brown, thickness=2);
7. Завдання №7
7.1 Задача 7.1 (вар. №7)
Зобразити наступну геометричну фігуру. Використаємо пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами. Команда curve([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn],options) задає криву координатами своїх точок. Крива відображається лінійними сегментами, що з’єднують сусідні точки. Команда display відображає вивід графічних команд на екран.
with(plottools): w:=curve([[1,0],[1,1/2],[1/2,1],[0,1],[-1/2,1],[-1,1/2],[-1,0],[-1,-1/2 ], [-1/2,-1], [0,-1],[1/2,-1],[1,-1/2],[1,0]],color=black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);
7.2 Задача 7.2 (вар. №7)
Зобразити наступну геометричну фігуру
with(plottools): w:=curve([[0,2],[-2,2],[-1,1],[-2,0],[-1,-1],[-2,-2],[0,-2]], color= black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);
8. Завдання №8
8.1 Задача 8.1 (вар. №7)
Розв’язати рівняння 2-ї степені
Розв’язання.
(3*x-1)*(x+2)=20;
Задаємо рівняння eq
eq:=(3*x-1)*(x+2)-20=0;
Розвязуємо рівняння відносно змінної x
solve(eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо розвязок x=2 в рівняння eq
subs(x=2,eq);
Підставляємо розвязок x=-11/3 в рівняння eq
subs(x=-11/3,eq);
Відповідь: 2; -11/3.
8.2 Задача 8.2 (вар. №7)
Розв’язати рівняння 2-ї степені
Розв’язання.
30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)=(7+18*x)/(x^3-1);
Задаємо рівняння eq
eq:=30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)-(7+18*x)/(x^3-1)=0;
Розвязуємо рівняння відносно змінної x
solve(eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо розвязок x=-4 в рівняння eq
subs(x=-4,eq);
Підставляємо розвязок x=9 в рівняння eq
subs(x=9,eq);
Відповідь: -4; 9.
9. Завдання №9
9.1 Задача 9.1 (вар. №7)
Привести наступний вираз до найпростішого виду
Розв’язання.
sqrt(a)/(sqrt(a)-sqrt(b))-sqrt(b)/(sqrt(a)+sqrt(b));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках
rationalize(a^(1/2)/(sqrt(a)-sqrt(b)))-rationalize(b^(1/2)/(sqrt(a)+sqrt(b)));
Розкриваємо дужки
expand(%);
Спрощуємо
simplify(%);
Відповідь:
9.2 Задача 9.2 (вар. №7)
Привести наступний вираз до найпростішого виду
Розв’язання.
1/(a+sqrt(a^2-b^2))+1/(a-sqrt(a^2-b^2));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках
rationalize(1/(a+sqrt(a^2-b^2)))+rationalize(1/(a-sqrt(a^2-b^2)));
Спрощуємо вираз
simplify(%);
Відповідь: 
10. Завдання №10
10.1 Задача 10.1 (вар. №7)
Привести до раціональному виду наступний вираз
Розв’язання.
n/(a^(1/3)-b^(1/3));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
rationalize(%);
Відповідь: 
.
10.2 Задача 10.2 (вар. №7)
Привести до раціональному виду наступний вираз
Розв’язання.
a/(2+sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
rationalize(%);
Розкладаємо на множники
factor(%);
Відповідь: 
11. Завдання №11
Скласти програму, яка видає на печать таблицю значень 
для 
Розв’язання.
for n from 1 to 50 do n^3 end do;
Список використаної літератури
1. Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Решение физико-технических и математических задач с пакетом Maple V. В.:Техника, 1999. – 686 с.
2. Васильев А.Н. Maple 8. СПб.:Диалектика, 2003. – 352 с.
3. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2004. – 688 с.
4. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2003. – 656 с.
5. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.
6. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176с.