Принципи побудови формальних теорій
СОДЕРЖАНИЕ: Реферат на тему: Принципи побудови формальних теорій Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.
Реферат на тему:
Принципи побудови формальних теорій
Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.
Головним предметом у дослідженнях, присвячених «ліквідуванню» кризи і «рятуванню» математики, стали принципи або правила побудови математичних тверджень і математичних теорій, зокрема, пошук відповіді на питання типу: «як повинна бути побудована теорія, щоб у ній не виникало суперечностей або антиномій?», «які властивості повинні мати методи доведення, щоб їх можна було вважати строгими?» тощо.
У математиці з античних часів існував зразок систематичної і строгої побудови теорії - геометрія Евкліда , в якій усі вихідні положення формулюються явно, у вигляді аксіом, а всі твердження, істинні в цій теорії, - теореми - виводяться з цих аксіом за допомогою послідовностей логічних міркувань, що називаються доведеннями.
Однак при побудові більшості наступних математичних теорій математики, як правило, не вважали за потрібне явно виділяти всі вихідні принципи і чітко формулювати методи конструювання доведень; критерії строгості доведень та очевидності тверджень у математиці в різні часи були різними. Відтак, це призводило час від часу до виникнення криз і необхідності перегляду основ тієї чи іншої теорії.
У кінці ХIХ століття в зв’язку з виникненням кризи в канторівській теорії множин виникла потреба перегляду загальних принципів організації математичних теорій. Це привело до створення нової галузі математики - засад математики .
Однією з фундаментальних ідей, на які спираються дослідження із засад математики, є ідея формалізації теорій , тобто послідовного проведення аксіоматичного методу побудови теорії. При цьому не припускається використовувати будь-які припущення про об’єкти теорії, окрім тих, що виражені явно у вигляді аксіом. Аксіоми розглядають як формальні послідовності символів (вирази, формули або слова), а методи доведення - як методи одержання одних виразів з інших за допомогою операцій над символами.
Такий формальний алгебраїчний підхід гарантує чіткість і однозначність вихідних (початкових) тверджень та коректність і однозначність виводу. Однак може скластися враження, що осмисленність (зміст, інтерпретація або семантика) понять і тверджень у формалізованій теорії не відіграють жодної ролі. Зовні це так і є; однак, насправді, і аксіоми, і правила виводу прагнуть означати так, щоб побудована за їхнью допомогою формальна теорія мала б змістовний сенс.
У найзагальнішому вигляді формальну теорію T (інший термін - числення ) будують таким чином.
1. Означають набір основних символів - алфавіт теорії.
2. Конструктивно (як правило, індуктивно) означають множину формул , або правильно побудованих виразів, яка утворює мову теорії.
3. Виокремлюють підмножину формул, які називають аксіомами теорії.
4. Задають правила виводу (виведення ) теорії.
Правило виводу R (F 1 ,F 2 ,...,Fm ,G ) - це відношення (або операція) на множині формул.
Якщо формули F 1 ,F 2 ,...,Fm ,G знаходяться у відношенні R , то формула G називається безпосередньо вивідною з формул F 1 ,F 2 ,...,Fm за правилом R .
Часто правило виводу R (F 1 ,F 2 ,...,Fm ,G ) записують у вигляді
F 1 ,F 2 ,...,Fm .
G
Формули F 1 ,F 2 ,...,Fm називають припущеннями , посилками або гіпотезами правила R , а формулу G - висновком , наслідком або вислідом .
Виведенням (виводом , вивідністю ) формули B з формул A 1 ,A 2 ,...,An називають послідовність формул F 1 ,F 2 ,...,Fm таку, що Fm =B , а будь-яка формула Fi , i =1,2,...,m є:
1) або аксіомою;
2) або однією з початкових формул A 1 ,A 2 ,...,An ;
3) або безпосередньо вивідною з формул F 1 ,F 2 ,...,Fi -1 (або будь-якої їх підмножини) за одним з правил виведення.
Якщо існує виведення формули B з формул A 1 ,A 2 ,...,An , то кажуть, що B є вивідною з A 1 ,A 2 ,...,An і позначають цей факт так: A 1 ,A 2 ,...,An |-B . Формули A 1 ,A 2 ,...,An називають посилками або гіпотезами виведення. Перехід у виведенні від формули Fi -1 до Fi називають i -м кроком виведення.
Доведенням формули B у теорії T називають виведення B з порожньої множини формул, тобто виведення, в якому як початкові формули використовують тільки аксіоми теорії.
Формула B , для якої існує доведення, називається формулою довідною (вивідною ) у теорії T , або теоремою теорії T ; факт довідності формули B позначають |-B .
При вивченні формальних теорій існує два типи тверджень:
1) твердження самої теорії або її теореми;
2) твердження про теорію (про властивості її теорем, властивості доведень тощо).
Перші є елементами (словами, виразами, формулами) внутрішньої мови теорії, а другі - зовнішніми і формулюються у термінах мови, зовнішньої по відношенню до теорії і званої метамовою теорії; самі ці твердження називають метатеоремами .
Наприклад, якщо побудовано виведення формули B з A 1 ,A 2 ,...,An , то твердження «A 1 ,A 2 ,...,An |-B » є метатеоремою; це твердження можна розглядати, як додаткове правило виводу, яке можна додати до початкових правил і використовувати у подальших конструюваннях доведень.