Шпаргалка по Математике 4

1. ЧР наз. сходящимся , если

КК сходимости ЧР:

// Если ряд сходится, то

3. Интегральный ПК сх.Р:

5. Признак Коши:

7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР:

Признак Абеля:

Признак Дирихле:

Ряд a_n b_n сходится, если:

9. Действия над рядами.

По определению полагают:

Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов схо­дится абсолютно.

11. КК РС функ. ряда:

13. Признаки РС ф. рядов.

Признак Абеля: Ряд

сходится равномерно на X , если: 1) Ряд a_n сх. равн. на X ; 2) функции b_n ( x ) ограничены в совокупности и x образуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множествеX , если: 1) Част. суммы a_n ( x ) ( n =1,…, N ) в совокупности ограничены; 2) посл-ть b_n ( x ) ( n =1,2,…) монотонна x и равномерно на X стре­мится к нулю при n ® µ .

15. Непрерывность и lim пер.

Th : {f_t ; t T }, f_t : X ® C ; B - база в T . Если f_t сх.равн. к f на X при базе B и функции f_t непрерывны в точке x ₀ X , то функция f :X ® C тоже непрерывна в этой точке.

Следствие 1 : Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.

Следствие 2 : Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равно­мерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.

17. Интегрирование и lim .

Th : {f_t , t T }, f_t :[a ,b ]®C ; B - база T ; Если функции семейства интегрируемы на [a ,b ] и f_t сх. равн. к f на [a ,b ] при базе B , то предельная функция f :[a ,b ]®C тоже интегрируема на отрезке [a ,b ] и

Следствие : Если ряд из интегрируемых на [a ,b ] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a ,b ],

19. Характер сх. ст. ряда.

Th : Степенной ряд

сходится в круге K = {z C | | z – z₀ | R }, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:

Вне этого круга ряд расходится. На любом замк­нутом круге, лежащем строго внутри круга K схо­димости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.

21. Дифф. и ст. рядов:

Th : Если круг K C сходимости ст. ряда

не сводится к единственной точке z = z ₀ , то внутри K сумма f ( z ) этого ряда дифференцируема, причем

Кроме того, f ( z ) :K ®C можно интегрировать по любому гладкому пути g:[0,1]®K , и если

то

23. Ряд Тейлора.

Аналитическая в точке a ф-я f (x ) в некоторой окр­естности этой точки разлагается в степенной ряд

Остаточный член в форме Лагранжа :

в форме Коши :

Основные разложения:

25. Алгебры функций.

Совокупность A вещественно (комплексно)-знач­ных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной ) алгеброй функций на X , если из f ,g A и a R ( C ) следует, что

27. Теорема Стоуна:

Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K , то A является всюду плотным подмножеством простанства C (K ,R ).

29 . Теорема Вейерштрасса:

Если f C ([a , b ],C ), то $ {P_n ; n N } многочленов P_n :[a , b ]®C , что P_n сх. равн. к f на [a , b ]. При этом, если f C ([a , b ],R ), то и многочлены P_n можно выбрать из C ([a . b ],R ).

31. Дифф. и непр. собств. (пар) .

Непрерывность : P = {(x , y )R ² | x [a , b ], y [c , d ]}. Если функция f :P ®R непрерывна, то ф-я

непрерывна в любой точке y [c , d ].

Дифференцирование : Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y , то интеграл ­ принад­лежит к классу C ⁽¹⁾ ([c , d ], R ), причем

33. Пр. Вейерш.РС несоб. ( пар ).

Пусть f ( x , y ), g ( x , y ) интегрируемы по x на любом отрезке [a , b ][a , w ] y Y .

Если x [a , w ], y Y | f ( x , y ) | g ( x , y ) , а интеграл

сходится равномерно на Y , то интеграл

сходится абсолютно y и равномерно на мн-ве Y .

35. lim перех. под. знаком.н. .

Th : Пустьf ( x , y ) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x [a , w ), и пусть B_Y -база в Y .

Следствие : Пусть y Y R вещ. ф-я f ( x , y ) неотри­цательна и непрерывна на x [a , w ). Если с ростом y ф-ции f ( x , y ) , монотонно возрастая, стр. к j (x ), jC ([a , w ],R ) и

то справедливо равенство (*).

37. Дифф. н. (пар).

Th : Если

а) ф-ции f ( x , y ) , f ’ _y ( x , y ) непрерывны на {(x,y)R ² | x [a , w ),y [c , d ]},

b) интеграл

c) интеграл

то он сх. равн. на Y ; при этом ф-я F ( y ) оказывается дифференцируемой и

39. Интегрирование н. (пар):

Если f ( x , y ) непрерывна на {(x , y )R ² | x [a , w ),y [c , d ]} и интеграл

то ф-я F интегрируема на [c , d ] и

43. Ряды Фурье.

Если X – Л.П. со скал. пр-ем , , а {l_k }–ортог. система ненулевых векторов в X , то любому в. x можно сопоставить ряд Фурье :

Экстремальное свойство : y L ||x – x_l ||||x – y ||. Раве­нство возможно только при y =x_l .

Неравенство Бесселя :

Равенство Парсеваля :

45. Гильбертово пр-во.

Линейное нормированное пр-во наз. гильберто­вым , если оно полно и имеет бесконечную размер­ность.

47. Тригонометр. ряд Фурье.

Систему экспонент {e^inx ;n N } называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R ([-p ,p ], C ) отн. скал. пр-ния в-в.

Сопоставляемый ф. f триг.ряд

наз. триг.рядом Фурье ф-ции f .

Th : (ТРФ )f R ([-p ,p ],C )сх.к f в средн.,т.е.f =ТРФ,

49. Лемма Римана.

Если локально интегрируемая ф-я f :[w ₁ ,w ₂ ]®R аб­солютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [w ₁ ,w ₂ ], то

51. Д.У.сх.ряда Фурье в т.

Гов., что f :U ₀ ® C , заданная в проколотой окр-ти точки x R , удовлетворяет усл. Дини , если

а) в т. x $ оба односторонних предела

б) сходится абсолютно следующий интеграл:

Th : f :R ®C – 2p-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-p,p]. Если f удовл. в т. x R условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x , причем

53.Свойства пр-ва CL ₂ [-,+ ]

_____________

55. Преобразование Фурье.

называется нормиров.преобр. Фурье ф-ции f :R ® C .

называется интегралом Фурье ф-ции f .

Свойства : 1. Линейность преобразования Фурье.

2. Th : f :R ® C – абс. инт-мая ф-я, кусочно непрер­ывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R . Если ф-я f удовл. Усл. Дини в x R , то её Фурье сх. в этой точке к значению (f (x_- )+f (x₊ )).

57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер.

f :R ®C – лок. инт. на Rⁿ ф-ция. Функция

называется преобр. Фурье функции f .

Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n одномерных преобразований Фурье, прове­денных по каждой из переменных x ₁ , …, x_n .

59. Теорема обращения.

Оператор, определяемый равенством

называется обратным преорбазованием Фурье .

Формула обращения преобразования Фурье :

или в форме интеграла Фурье

10. Сх. и РС семейства f (ПАР)

_________________________

8. Теорема Римана:

Сумму условно сходящегося ряда путем переста­новки слагаемых можно сделать равной любому числу.

6. Признак Лейбница:

Условно сходищимся наз. ряд a_n , если ряд a_n схо­дится, а ряд |a_n | -расходится.(n=1,2,…)

сходится (вообще гов. не абсолютно), если

В этом случае для остатка ряда

имеем оценку

4. Признак Даламбера:

2. Признак сравнения I :

Признак сравнения II :

20. Теоремы Абеля.

Первая Теорема Абеля : Если степенной ряд

сх. в концевой точке x = R интервала сход-ти, то

Вторая Теорема Абеля : Если степенной ряд

сходится в некоторой точке zС , то он сходится равномерно на отрезке с концами z ₀ ,z .

18. Дифференцирование и lim .

Th : {f_t , t T }–семейство f_t : X ®C , определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X ; B - база T . Если функции семейства дифференцируемы на X , се­мейство {f_t ’ , t T } производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции j :X ®C , а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x ₀ X , то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f :X ®C , причем f ’ = j .

16. Теорема Дини:

Если последовательность непрерывных на ком­пакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость рав­номерная.

Следствие : Если члены ряда a_n (x ) (n =1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции a_n : K ® R и ряд сходится на K к непре­рывной функции. То он сходится на K равно­мерно.

14. Условия комм. 2х пр.пер:

Th : {F_t ;t T }, F_t : X ® C ; B_X – база в X ,B_T – база в T . Если при базе B_T cем-во сх. равн. на X к F :X ® C , а t $

то $ оба повторных предела

и имеет место равенство этих пределов .

12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда:

u ₁ ( x )+…+ u_n ( x )+… сходится абсолютно и равно­мерно на множестве X , если существует сходя­щийся числовой ряд c ₁ + c ₂ +…+ c_n +…

такой, что

30. Собственные , их интег-е.

Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида

Если t явл. собственным, то F есть собствен­ный интеграл, зав. от параметра.

Th : Если ф-яf :P ®R непрерывна в прямоугольн­ике P = {(x , y )R ² | x [a , b ], y [c , d ]}, то интеграл

интегрируем на отрезке [c , d ] и имеет место рав-во

28. Компл. вар. теоремы Стоуна:

Если комплексная алгебра A функций f :X ® C не вырождается на X и разделяет точки X , то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C (X ,C ).

26. Банахова Алгебра в С ( K ).

Нормированная алгебра называется Банаховой , если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B -пространством).

Подмн-во пространства C ( K , Y ) наз. всюду плот­ным , если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимиро­вать любую непре­рывную функцию f :K ®Y .

24. Формула Стирлинга.

где

Или

22. Аналит. ф. в действ. обл.

40. Эйлеровы интегралы.

38. Интеграл Дирихле.

36. Непрерывность н. (пар):

Если а) ф-я f ( x , y ) непрерывна на {(x,y)R ² | x [a , w ),y [c , d ]}, b ) интеграл

то ф-я F ( y ) непрерывна на [c , d ].

34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н. .

Th : Пусть f ( x , y ), g ( x , y ) y Y интегрируемы по x на любом отрезке [a ,b ][a , w ]. Для равн.сх. интеграла

на мн-ве Y достаточно:

32. Несоб. (пар) , КК РС.

Говорят, что несобственный интеграл

зав. от пар. y Y , сх. равн. на мн-ве E Y , если

КК : Чтобы несоб. (1) сходился равномерно на множестве E Y

50. Ядра Дирихле.

D_n называется ядром Дирихле . Ядро Дирихле 2p-периодично, четно, и, кроме того,

48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф.

а) Если ф-я f ( x ) четная, то

б) если ф-я f ( x ) нечетная, то

Ряд Фурье в комплексной форме :

Th (О сх-ти в среднем) : f ( x ) R ([-p ,p ],C )

46. Предгильбертово пр-во.

Линейное нормированное пр-во бесконечной раз­мерности наз. предгильбертовым , если оно не по­лно по отношению к метрике, индуцированной ес­тественной нормой в нем.

44. Ортонорм. сист.в-в.

Система в-в наз. { e_k ; k K }ортонормированной , если i , j K e_i ,e_j =d _{i , j} , где d _{i , j} – символ Кронекера

Система {x _a ; a A } в-в нормир.пр-ваX наз. полной по отношению к мн-ву E X , если x E можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы.

В конечномерном пр-ве X полнота в X сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X .

Th : X – лин.пр-во со скал. пр-ем , ; l ₁ ,…, l_n ,… – кон. или счет.сист.0 вз. ортогон.в-в X . Эквив:

a ) {l_k } полна по отн. к E X ; b ) x E X им.место

42. Интеграл Пуассона

60. Теорема Планшереля.

L ₂ – пополнение (S , d ), d – метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rⁿ .

58. Пространство S ( Rⁿ ).

S(Rⁿ , C ) – сов-ть всех ф-ций f C⁽⁾ (Rⁿ , C ), удовлет­воряющих условию

такие ф-ции наз. быстро убывающими .

Если f S , то

Более того,

56. Пр-е Фурье свертки.

- Ф-лы, связывающие операции свертки и умноже­ния функций посредством пр.Фурье.

54. Теорема Фейера.

f : R ®C – 2p-периодическая абс. инт-мая на [-p,p] ф-я. Тогда

a) если на E R f равномерно непрерывна, то

b) если f C (R ,C ), то

c) еслиf непрерывна в x R , то

__________________________________________

52. ДУ РС триг. ряда Фурье.

Th : Если f :[-p,p]®C такова, что а) f C ^{( m -1)} [-p,p], m N ; b) f ^{( j )} (-p)= f ^{( j )} (p), j=0,1,…m – 1; c) f имеет на [-p,p] непрерывную производную f ^{( m )} порядка m =1,

то ряд Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномер­но на отрезке [-p,p], причем отклонение n - й час­тичной суммы S_n (x ) ряда Фурье от f ( x ) на всем от­резке [-p,p] имеет оценку

где {e _n }–стремящаяся к нулю посл-ть положите­льных чисел.