Шпаргалка по математике

СОДЕРЖАНИЕ: Основные формулы по алгебре, геометрии и тригонометрии.

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)=a±2ab+b

(a±b)=a±3ab+3ab±b

a-b=(a+b)(a-b)

a±b=(a±b)(aab+b),

(a+b)=a+b+3ab(a+b)

(a-b)=a-b-3ab(a-b)

xⁿ -aⁿ =(x-a)(x^n-1 +ax^n-2 +ax^n-3 +...+a^n-1 )

ax+bx+c=a(x-x₁ )(x-x₂ )

где x₁ и x₂ — корни уравнения

ax+bx+c=0

Степени и корни :

a^p ·a^g = a^p+g

a^p :a^g =a^p-g

(a^p )^g =a^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^p b^p = ab^p

a⁰ =1; a¹ =a

a^-p = 1/a

^p a =b = b^p =a

^p a^p b = ^p ab

a ; a = 0

____

/ __ _

^p ^g a = ^pg a

___ __

^pk a^gk = ^p a^g

_p ____

/ a ^p a

/ =

b ^p b

a ^1/p = ^p a

^p a^g = a^g/p

Квадратное уравнение

ax+bx+c=0; (a0)

x_1,2 = (-b±D)/2a; D=b -4ac

D0® x₁ x₂ ;D=0® x₁ =x₂

D0, корней нет.

Теорема Виета:

x₁ +x₂ = -b/a

x₁ x₂ = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x + px+q =0

x₁ +x₂ = -p

x₁ x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x+2kx+q=0, то x_1,2 = -k±(k-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

((x₂ -x₁ )-(y₂ -y₁ ))

Логарифмы:

log_a x = b = a^b = x; a0,a0

a ^{loga x} = x, log_a a =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_a xy = log_a x + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x 0)

log_a ^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_c a); c0,c1

log_b x = (log_a x)/(log_a b)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁ +d(n-1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n-1 q

b² _n = b_n-1 b_n+1

b_n = b₁ q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ )/(1-q)

S= b₁ /(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) = sin a

tg (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sina + cosa =1

ctg a = cosa / sina , apn, nZ

tga ctga = 1, a (pn)/2, nZ

1+tga = 1/cosa , ap(2n+1)/2

1+ ctga =1/sina , apn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cosa - sina = 2 cosa - 1 =

= 1-2 sina

tg 2a = (2 tga)/ (1-tga)

1+ cos a = 2 cosa/2

1-cosa = 2 sina/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg(a/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sina/2 = (1 - cos a)/2

cosa/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a

ap + 2pn, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg² x/2)

cos x = (1-tg² 2/x)/(1+ tg x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg² x)

sina = 1/(1+ctga) = tga/(1+tga)

cosa = 1/(1+tga) = ctga / (1+ctga)

ctg2a = (ctga-1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sina = 3cosasina-sina

cos3a = 4cosa-3 cosa=

= cosa-3cosasina

tg3a = (3tga-tga)/(1-3tga)

ctg3a = (ctga-3ctga)/(3ctga-1)

sin a/2 = ±((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±((1+cosa)/2)

tga/2 = ±((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; a [-p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; a [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; a[-p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; a [ 0 ; p]

arcsin(sina)=

1)a - 2pk; a[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p - a; a[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a-2pk ; a[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a ; a[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tga)= a-pk

a(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a -pk

a(pk; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =

= arctg a/(1-a)

arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

= arc ctga/(1-a)

arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =

= arcsin a/(1+a)

arc ctg a = p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/(1-a)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/(1+a)= arccos1/(1+a)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)ⁿ arcsin m + pk, k Z

sin x =1 sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t² ); t - tg

cos x/2 = (1-t)/(1+t)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x) () a^а(ч)

1) a1, то знак не меняеться.

2) a1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

log_a f(x) () log _a j(x)

1. a1, то : f(x) 0

j(x)0

f(x)j(x)

2. 0a1, то: f(x) 0

j(x)0

f(x)j(x)

3. log _f(x) j(x) = a

ОДЗ: j(x) 0

f(x) 0

f(x ) 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - 3 cos x = 0

2sin x cos x -3 cos x = 0

cos x(2 sin x - 3) = 0

....

2. Решения заменой ....

sin x - sin 2x + 3 cos x =2

sin x - 2 sin x cos x + 3 cos x = 2 sin x + cos x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, = можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin a m

2pk+a₁ =a=a₂ + 2pk

2pk+a₂ =a= (a₁ +2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x) 3/2

pk+ 5p/6 p/8 +x 7p/6 + 2pk

2pk+ 17p/24 x p/24+2pk;;;;

II sin a= 1/2

2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk

cos a(=) m

2pk + a₁ a a₂ +2 pk

2pk+a₂ a (a₁ +2p) + 2pk

cos a - 2/2

2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk

tg a(=) m

pk+ arctg m =a= arctg m + pk

ctg (=) m

pk+arcctg m a p+pk

Производная:

(xⁿ )^’ = n x^n-1

(a^x )’ = a^x ln a

(lg a^x )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos x

(ctg x)’ = - 1/sinx

(arcsin x)’ = 1/ (1-x)

(arccos x)’ = - 1/ (1-x)

(arctg x)’ = 1/ (1+x)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+x)

Св-ва:

(u v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v

Уравнение касательной к граф.

y = f(x₀ )+ f ’(x₀ )(x-x₀ )

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X₀ , f(x₀ ), f ‘ (x₀ ), выразим х

Интегралы :

xⁿ dx = xⁿ⁺¹ /(n+1) + c

a^x dx = ax/ln a + c

e^x dx = e^x + c

cos x dx = sin x + cos

sin x dx = - cos x + c

1/x dx = ln|x| + c

1/cos x = tg x + c

1/sin x = - ctg x + c

1/(1-x) dx = arcsin x +c

1/(1-x) dx = - arccos x +c

1/1+ x dx = arctg x + c

1/1+ x dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a = b+c - 2bc cos a

b = a+c - 2ac cos b

c = a + b - 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=Ѕ(a+b+c)

_____________

S = p(p-a)(p-b)(p-c)

S = Ѕab sin a

S_равн _. =(a3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2 h

Круг

S= pR

S_{сектора} =(pRa)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_осн Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн. H

S_полн. = S_бок. + S_осн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S₁ +S₂ +S₁ S₂ )

S₁ и S₂ — площади осн.

S_полн _. =S_бок _. +S₁ +S₂

Конус

V=1/3 pRH

S_бок. =pRl

S_бок. = pR(R+1)

Усеченный

S_бок. = pl(R₁ +R₂ )

V=1/3pH(R₁ ² +R₁ R₂ +R₂ ² )

Призма

V=S_осн. H

прямая: S_бок. =P_осн. H

S_полн. =S_бок +2S_осн.

наклонная :

S_бок. =P_пс a

V = S_пс a, а -бок. ребро.

P_пс — периметр

S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pRH ; S_бок. = 2pRH

S_полн _. =2pR(H+R)

S_бок. = 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR - шар

S = 4pR - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pRH

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH(R-H/3)

S=2pRH

град

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

180°

-p/2

-p/3

-p/4

-p/6

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

sina

-1

-3/2

-2/2

- Ѕ

2/2

3/2

- Ѕ

cosa

3/2

2/2

- Ѕ

-2/2

- 3/2

-1

tga

-3

-1

-1/3

1/3

-3

-1

ctga

---

1/3

-1/3

-1

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561

-a	p-a	p+a	p/2-a	p/2+a	3p/2 - a	3p/2+a
sin	-sina	sina	-sina	cosa	cosa	-cosa	-cosa
cos	cosa	-cosa	-cosa	sina	-sina	-sina	sina
tg	-tga	-tga	tga	ctga	-ctga	ctga	-ctga
ctg	-ctga	-ctga	ctga	tga	-tga	tga	-tga

Скачать архив с текстом документа