Шпоры к Экзамену

1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние (в-2.,3.)

Внешние нагрузки:

Р –сосредоточ (а h)

q – интенсивность

распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.

М – пара сил (сосредоточенный момент)

Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если F_внеш отсутствует, то F_внут = 0.

R- главный вектор M_R гл векторный момент.

N_я - продольная сила (раст\сжат)

Q_{x или у} поперечная (сдвиг\срез)

М_{к ( z )} крутящий момент (кручение)

М_{из (х или у)} изгуб-щий момент (изгиб

чистыйМ_и 0 поперечный М_и 0 Q0

2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P₁ |=|P₂ |

Равнов-е – это состояние

покоя или равномерного

движ-я по отношению к

др. телам.

2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными.

3.Равнодействующая 2 сил,

сходящихся в 1-ой точке,

изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих силах.

4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие.

5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении. Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям.

6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи.

Связи:

1)Свободное опирание тела на связь

2)Гибкие связи – это нити,

цепи, тросы, работают на

растяж-е р-ции напр вдоль нити

3)Жесткие стержни,

работают на растяж\сжа

р-ции напр вдоль стержн

4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция)

5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции)

6)Жёсткая заделка (3 реакции)

3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Система сходящихся сил

(2 или более сил, сход в

1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей R(P_i ). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|

опред равнодействующей:

1)Графическое суммирование

2) Аналитическое R_y =(P_i )=P₁ sin(a)+P₂ sin90+P_n sin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. R_z =(P_i )=P₁ cos(a)+P₂ cos90+P_n cos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=R_y ² +R_z ²

Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом М_о . R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.М_о - гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.

М_о =m_o (P₁ )- m_o (P₂ )+M₁ -M₂

Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0

а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут.

б)при аналитическом R_y иR_z должны=0.

Условие равновесия: R=0 ((P_i )_z =0, (P_i )_y =0); M_o =0 (m_o (P_i )+M_i =0)

4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3)

Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения.

Св-ва пар сил:

Две пары сил статистически эквивал-

ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты =

М₁ =М₂ если P₁ *h₁ =P₂ *h₂

5 Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое

6

1)Чистый изгиб М_изг 0, Q=0,N=0,M_к =0

2)Поперечный М_изг 0, Q0,N=0,M_к =0

По расположению силовой плос-ти:

1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции J_x J_y имеют экстремальные знач-я J_x =y² dF (поF) J_y =x² dF (по F)

2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости

Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.

Q=(P_i )_y М_и =m_o (P_i )+ M_i

Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q

Правило знаков:

М_и -изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. М_и =f(q,P,M) Q и М_и -могут быть с разными знаками. Правило знаков:

Постр-е эпюр Q и Ми:

1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).

2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)

3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков.

4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов

5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум.

При движ-ии слева направо:

1)На уч-ах балки где Q0 Ми-возрас-т

Где Q0 Ми-убывает

2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая

эпюру Ми. |Q| то крут-на Ми

если Q_i Q_j M_{и i} М_{и j i j}

3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми- прямая

4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я.

27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

Q_I =R_a +P-q*z

М_{и I} =R_a *z+P*(z-a)-q*z² /2+M

Q_II =R_a +P-q*(z+dz)

М_{и II} =R_a *(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)² /2+M

Q_II -Q_I =dQ

dQ=q*dz

q = dQ / dz

Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.

М_{и II} -М_{и I} =dМ_и = R_a *(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)² /2+M- R_a *z-P*(z-a)+q*z² /2-

-M= R_a *dz+P*dz-q*z*dz-(q*d² z)/2

(q*d² z)/20 dМ_и = (R_a +P-q*z)*dz= =Q_I *dz Q=d М_и /dz

Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q

28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

Ми0(чист из-б)

у-расст-е от

нейтрального слоя

до другого.

Справедлива гипотеза плоских сеч-й.

Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины.

ab’-удлинились

c’d’=cd

e’f ‘-укоротились

-радиус изгиба

О-центр тяж-ти.

Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом . Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я.

(относ удлин-е аb) =ab/ab=bb’/cd

ac=y =(y*d)/(*d)=y/ =const

т.к. =0, то =0 т.к.0 0

=/Е =Е*=Е*у/

Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я и продольные напряж-я при чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.

Сила действ-ая

на элемен-ую

площадку *dF

1)(P_i )_x =0 тожд-

2)(P_i )_y =0 ва

3)m_z (P_i )=0 0=0

положение, а также можно переносить в плоскость || плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится.

Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.

М=М_i . Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. М_R =М_i =0

Момент силы относ

точки= m_o (P_i )=|P|*h

Следствия: 1)момент

силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0

m_o (P_i )=|P|*h т.к. h=0 = m_o (P_i )=|P|*h=0

2)Алге сумма моментов сил образующ

пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил.

P=P’

m_o (P_i )=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=

P*AB=P*h = m_o =M

5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру. (в-3, 4)

Силу Р можно ||

переместить в

любую точку О,

добавив при этом

момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. М_пр = Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил. (в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений. (в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

= / Е = / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.

6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности

= ^Р + ^М + ^q (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей

если аL то:

Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.

(Р_i )_z =0

8 Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Р_{среднее} =R/F

P_{истинное} = lim R/F(приF0) [H/м² =Па]

_z – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.

_{( zx или zy )} - (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

Плоская задача

Р=² +²

N=f()_max =[ ]

Q=f()_max =[ ] условия

M_к =f() _max =[ ] прочности

M_и =f() _max =[ ]

Деф-ции:

1.линейные а)абсолютные l=l₁ -l h=h₁ -h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х:

l=N*l/(E*F) –раст\сжатие

= М_к *l /(G*J_p ) – кручение

k= 1/= M_из /(E*J_x ) – изгиб

S= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса.

б) относительные =l/l =h/h =/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции (угол сдви-га)=+, =/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение () относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. _{i - I} =(l_i )

условие жесткости: _max = []

9 Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.

Напряж-е =0 = 0 0 = const

_i =N_i /F_i =[_c ],[_p ]- условие проч-ти.

Деф-ция: = / Е - з-н Гука l/l=N/(F*E) l=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

Попереч деф-я:

= - * ’-относ

попер деф-я, - коэф

Пуассона, – относ

Продольная деф-я.

хар-ет способность

мат-ла к попер деф-м.

b=’ * b

Перемещение () относится к сечению

4)(P_i )_z =0 dF (поF)=E/ydF(поF)=0 ydF- обознач-ся S_x и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

S_x =y_ц.т. *F т.к.Е/0, то S_x =0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.

5)m_y (P_i )=0 x- плечо *dF- сила x*dF=E/xydF xydF= J_xy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)m_x (P_i )=0 ydF=М_и Е/у² dF=М_и у² dF=J_x - наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х

Е/*J_x =М_и 1/=М_и /(Е*J_x ) – кривизна нейтр-ого слоя.

= Е*у/=Е*у*М_и /(Е*J_x )= у*М_и /*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:

2)Расположение балки делают таким чтобы J_x =max

3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых _{max p ас} =_{max сж}

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

_{max pас} =_{max сж}

т.к. [_сж ]=(3-5)*[_рас ]

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:

_{max p ас} =_{max сж} =М_и *0.5*h/J_x =М_и /W_x W_x =J_x /y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: _max =М_и /W_x =[]

2)хруп мат-л: _max =М_и /W_x =[_рас ]

Ассиметричные сеч-я:

_{max рас} =М_и *y_{max рас} /J_x =[_рас ]

_{max сж} =М_и *y_{max сж} /J_x =[_сж ]

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

А_внеш =М₁ *₁ /2 dA_внут = - М_и *d/2

– радиус крив-ны k –кривизна

dz=*d

d=dz/

k=1/=М_и /(Е*J_x )

d= М_и *dz/(Е*J_x ) dA= - М_и ² *dz/(2*Е*J_x ) U= -A_внут =

= --М_и ² *dz/(2*Е*J_x )=М_и ² *dz/(2*Е*J_x ) (от0 до L). – для попер изг-а М_и const.

Для чистого изгиба: М_и =const

U= М_и ² *L/(2*Е*J_x )

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный М_изг 0, Q0,N=0,M_к =0

= Е*у/=Е*у*М_и /(Е*J_x )= у*М_и /*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я: _zy ==Q_y *S_x /(J_x b_y )

Q_y -попер сила в рассматр сеч-и S_x -статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку J_x - момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси b_y -ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.

32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: у_max =[y]

[y]=(0.01-0.001)*L

_A -угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) _A =tg _A при

_A =dy/dz=y’ Условие жесткости: _max =[] []=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y0-перемещ вверх 0- поворот сеч-я против часовой стрелки.

Из матем-ки: k=1/ =y’’/(1+(y’)² )^3/2

Из сопромата: k=1/ =M_и /(ЕJ_x )

Точное диф ур-е:

y’’/(1+(y’)² )^3/2 = M_и /(ЕJ_x )

y’=min т.к.y’-мал,то (y’)² -пренебре-

гаем. Получаем: y’’= M_и /(ЕJ_x )

M_и = y’’ЕJ_x - основное диф ур-е упругой линии балки.

y’=d² y/dz² =dy’/dz

аналитическое решение: M_и = y’’ЕJ_x ЕJ_x =const ЕJ_x d(y’)=M_и dz

ЕJ_x y’= M_и dz+C y’==(M_и dz+C)/( ЕJ_x )

ЕJ_x dy/dz= M_и dz+C

ЕJ_x dy= dz(M_и dz+C)

ЕJ_x = dzM_и dz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

y_A =0 _A =0

y_A =0 y_B =0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

Для данного

напавления

все знаки +

1) ЕJ_x = ЕJ_{x 0} +M(z-a)+(P(z-b)² )/2+ +(q(z-c)³ )/6+…

2) ЕJ_x y= ЕJ_x y₀ + ЕJ_{x 0} z+(M(z-a)² )/2+ +(P(z-b)³ )/6+ +(q(z-c)⁴ )/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью ЕJ_x =const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.

то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(q(z-d)³ )/6, во 2-е: -(q(z-d)⁴ )/24

-алгеб сумма 4) y₀ и ₀ опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.

Объёмная деформация. ( В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост

₁ 0

₂ 0

₃ 0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

=(V₁ -V₀ )/V₀ -относит изменение объёмаV₁ -объем после деф-ииV₀ -до

деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. _{i - I} =(l_i )

условие жесткости: _max = []

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти) Е_стали =2*10⁵ МПа.

10 Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dА_внеш =P*d P=f() l==P*l/(E*F) P=E*F*/l dA=(E*F*/l)*d A_внеш =

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р* и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения .

dA_внут = - N*(dz)/2

(dz)=N*dz/(E*F)

dA_внут = -N² *dz/(2*E*F)

A_внут =-N² *dz/(2*E*F)

A_внут = -N² *l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:

U= - A_внут =N² *l/(2*E*F), U=N² *dz/(2*E*F) A_внут = -А_внеш , U=A_внеш

11 Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил

0=z₁ =a a=z₂ = a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N₁ =P₁ N₂ = - P₂ +P₁ строим эпюру прод сил.

Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: _i =N_i /F_i

Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

l_i =N_i *l/(E*F_i ) и опр-ем перемещ-я (Перемещение () относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. _{i - i} =(l_i )

12 Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами _{x y z xy xz yx yz zx zy}

Главные площ-ки =0 х-ся 3 комп-ми: _{1 2 3} (в алгебр смысле). Направлении глав площ наз-ся глав-

ми напр-ми Деф-ии глав площ наз-ся глав-ми деф-ми

Линейное или одноосное напр сост:

_3или1 0,

₂ =_1или3 =0

F =F/ cos

1) (Р_i )_{площадка} =0 *F –₁ *F*cos=0

* F/ cos –₁ *F*cos=0

=₁ *cos²

2) (Р_i )_{площадка} =0 *F –₁ *F*cos=0

* F/ cos –₁ *F*cos=0

=₁ *cos * sin = 0.5* ₁ * sin 2

_max | ₌₄₅ = ₁ /2 _min | _{=0, =90} = 0

_+/2 =₁ *cos² (+/2)=

=₁ *sin² т.о.

+ _+/2 = ₁ *cos² +

+ ₁ *sin² = ₁

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = ₁

_{+ /2} =0.5*₁ *sin2(+/2)=0.5*₁ sin(2+ +)= - 0.5*₁ sin(2)

+ _{+ /2} =0.5*₁ sin(2)- 0.5*₁ sin(2)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я ().

_xy = - _yx

_zy = - _yz

_xz = - _zx

13 Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

14 Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f() _i =N_i /F_i =[]–для пластично

_ic =[ _с ] _{i р} =[ _р ] –для хрупкого

15 Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

16 Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

17 Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

[]= _u /n []-допускаемое напяж-е

_u - предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц.

18 Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только . Площ-ки на которых действует только наз-ся площ-ми чист сдвига. Q0 (Q_x или Q_y ) Q=f(). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга оси бруса и навстречу друг другу.

Напр-я: Q=P = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: – угловая деф-я = tg S (абсолют деф-я)= *a =/G

V₀ =1

l₁ =l₂ =l₃ =1

для ед длины:₁ =l₁ /l₁ = l₁ /1= l₁ =

V₁ = (1+ ₁ )* (1+ ₂ )* (1+ ₃ )=1+ +_{1 2} +…+ _{1 2 3} +…+ ₁ + ₂ + ₃

Т.к деф-ии малы то произвед-ями _{1 2} +…+ _{1 2 3 2} +…можно пренебречь.= V₁ = 1+ ₁ + ₂ + ₃

=(V₁ -V₀ )/V₀ =(1+ ₁ + ₂ + ₃ -1)/1= ₁ + +₂ + ₃

₁ = ₁₁ +₁₂ +₁₃ =1/Е*(₁ -*(₂ +₃ ))

₂ = ₂₁ +₂₂ +₂₃ =1/Е*(₂ -*(₁ +₃ ))

₃ = ₃₁ +₃₂ +₃₃ =1/Е*(₃ -*(₁ +₂ ))- обобщенный з-н Гука для объем н.с. =(1-2)*(₁ +₂ +₃ )/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: =/Е 2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:

’= -* 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:

_{12 1-} направление деф-ии _2- причина деф

₁₁ = ₁ /Е ₂₂ = ₂ /Е

₂₁ = -*₁₁ = -* ₁ /Е ₁₂ = -*₂₂ =

= -* ₂ /Е =

₁ = ₁₁ +₁₂ = ₁ /Е - * ₂ /Е=

=1/E *(₁ -₂ )

₂ = ₂₂ +₂₁ = ₂ /Е - * ₁ /Е=

=1/E *(₂ -₁ )

2)Для объёмного н.с.:

₁ = ₁₁ +₁₂ +₁₃ =1/Е*(₁ -*(₂ +₃ ))

₂ = ₂₁ +₂₂ +₂₃ =1/Е*(₂ -*(₁ +₃ ))

₃ = ₃₁ +₃₂ +₃₃ =1/Е*(₃ -*(₁ +₂ ))

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

₁ = ₁₁ +₁₂ +₁₃ =1/Е*(₁ -*(₂ +₃ ))

₂ = ₂₁ +₂₂ +₂₃ =1/Е*(₂ -*(₁ +₃ ))

₃ = ₃₁ +₃₂ +₃₃ =1/Е*(₃ -*(₁ +₂ ))

удельная потенц энергия е_р =U/V₀

Полная энергия U=е_р dV(по V)

V₀ =1 е_р =U/1=U= - A_внут = - (A_{внут 1} +

+ A_{внут 2} + A_{внут 3} )

A_{внут 1} = - (₁ * ₁ )/2 A_{внут 2} = - (₂ * ₂ )/2 A_{внут 3} = - (₃ * ₃ )/2

е_р =(₁ * ₁ )/2+(₂ * ₂ )/2+(₃ * ₃ )/2

подставив _{1 2 3} получим:

е_р =

е_р = е_р ^{формоизменения} + е_р ^{объёмоизменения}

е_р ^ф зависит от угловых деф-ий

е_р ^о зависит от линейных деф-й сторон

е_р ^ф =(1+)(₁ ² +₂ ² +₃ ² -_{1 2} -_{1 3} -

-_{2 3} )/3Е

е_р ^о =(1-2)*(₁ +₂ +₃ )² /6Е

37 Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

=₁ *сos+₂ *sin

=((₁ -₂ )/2)*sin

_max | ₌₄₅ =(₁ -₂ )/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по найти _{1 2}

а) tg2₀ =2/( - )-

положение

глав площ-ки

_{1( max )/3( min )} = ( - )/2±((( - )² +4² ))/2 вел-на глав напр-й (+для _{1( max )} -для

_{3( min )} )

б)для кручения

с изгибом

tg2₀ =2/

_1/3 =/2±((² +4² ))/2

(+для _{1( max )} -для _{3( min )} )

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб)

2)простое плоское н.с.(кручение, срез)

3)сложное н.с.

Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся _экв и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным сост-м. _экв выр-ся ч/з напряж-я _{1 2 3} т.о. _экв =f(_{1 2 3} ) и устанавливается гипотезами прочн-и

_экв =[]- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж

_1/3 =[] (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

_1/3 =[]=/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

_max (для слож н.с.)=[](для линей н.с.) _max =(₁ -₃ )/2 []=[]/2

(₁ -₃ )/2=[]/2 ₁ -₃ =[] =

_{экв III} = ₁ -₃ т.к. не уч-ет ₂ то погрешность сост 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (е_р ^ф ) не превосходит допустимой е_р ^ф установленной для одноосного н.с.

е_р ^ф (для слож н.с.)=[е_р ^ф ](для линей н.с.

_{экв IV} ==

=== [] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) _{экв М} = ₁ - ₃ =[_р ] или [_сж ]

=[_р ] / [_сж ] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):

₁ = ₃ =

_{экв III} = ₁ - ₃ ==

==[]

_{экв IV} ===

=

_{экв М} = ₁ - ₃ =1/2*=

==

_экв =М_прив /W_x =[] W_x =0.1d³

S= *a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

А_внеш = -А_внут U= -A_внут = P*S/2=

=Q* S/2= Q² *a/(2*G*F)

19 Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

l=0 =0 (угол сдвига)0

(кас напр)= G*

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (М_кр )

Внеш скруч

мом-ы: М_скр

М_{к i} = M_{скр i} Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: = G*

М_кр = f ()

Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.

-угол сдвига образующей -угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус _max =tg _max =NN’/dz=r d/dz = tg =kk’/dz= d/dz =G*d/dz*

d/dz=const G=const G* d/dz=const

S=0 =0 S= r _max

При круч-ии деф-ии сдвига и кас напр пропорц-ны расстоянию от оси вала . dM_к = *dF * M_к =dM_к (по F) = = * *dF = ² *G ( d / dz ) dF = G * d/dz ² dF ² dF=J_p - полярный момент инерции поперечного сечения.

d/dz=М_к /(G*J_p )

= G* * М_к /(G*J_p )= М_к * S/J_p

J_p (для круга)=0.1*d⁴

J_p (пусто-ого вала)=0.1*D⁴ *(1-c⁴ ) c=d/D

_max =М_к *r /J_p = M_к /W_p =[] –усл проч-и

W_p =J_p /r W_p – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

W_p (круг)= 0.2*d³

W_p (пустотел вал)= 0.2*D³ *(1-c³ ) c=d/D

d =М_к * dz /(G*J_p ) проинтегрируем обе части (правую от0до, лев от0доL)

М_к /(G*J_p )=const = М_к *l/(G*J_p ) – з-н Гука

Перемещ сеченя: =_i

Условие жесткости: _max =[]

Относит угол закр-я: =/l= М_к /(G*J_p )

Услов жесткости: = []

20 Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. ( в-19)

21 Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

A_внеш =М_скр1 *₁ /2 dА_внут = - М_к */2

U= -А_внут = М_к ² * dz /(2*G*J_p (от0 доL) U=М_к ² * l/(2*G*J_p )

Перемещ сеченя: =_i

Условие жесткости: _max =[]

Относит угол закр-я: =/l= М_к /(G*J_p )

Услов жесткости: = []

_max =М_к *r /J_p = M_к /W_p =[] –усл проч-и

22 Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

23 Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

d-диаметр отверстия d_зак -диам заклёпк dd_зак +(0.5-1)мм

1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q_{1-й зак} =P/n n-число заклёпок

2)По плоскости среза распед равном

=Q/F

условие проч-ти: =Q/F=4P/(nd² )=[_cp ] [_cp ]0.8[]

n=4P/(d² [_cp ]) n-числ зек из расчёта на прочность.

Расчёт на смятие:

F_смят =d*_min

_min -min толщина места. _смят =Q/F_смят =P/(n’d_min )=[_{c м} ]=2*[]

n’-число зак из расчёта на смятие

n’=P/([_{c м} ]*d* _min ) из n и n’выбир

24 Расчёт на прочность сварных швов.

Для соед-я встык – расчёт на обычное растяж\сжат: =P/F_шва =[]

Соед-е внахлёст:

Шов хар-ся катетом: АВ=ВС==катет

На биссектрису дейст-ет _мах . Ширина опасного сечения = 0.7*катет

Площади опасного сечения швов:

F_лоб =b *0.7*кат-т F_фронт =l *0.7*кат-т

Допустимая нагрузка:

(l +b )*0.7*кат-т*[]=P

25 Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

=10-12град

D-сред диамет

пружины

d-диам проволок

h-шаг

с=D/d-индекс пруж

с=4-12

n-число раб витков

n_пол =n+1.5-2.5

-удлинение/осадка

в сечении 2 внутренних усилия:

Q-поперечная сила, М_к -крутящ момен

Q=P M_к =P*D/2

M_к : _max =М_к /W_p =P*D/2*W_p

W_p =*d³ /16 _max =8PD/d³

Q: =Q/F=4P/ d²

Условия проч в опасной точке: _max = _{max( Мк )} + _max(Q) = 8PD/d³ +4P/ d² = =(8PD+4Pd)/ d³ = =8PD/d³ *(1+d/2D)=[]

Если d/2D=1/6, то _max =8PD/d³ =[]

d= =8PD³ n/Gd⁴

хар-ка пруж-ы график P=f()

k-жёсткост k=P/ [H/мм]

26 Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

Изгибом наз-ся деф-я сопровождающ изменением кривизны оси стержня.

Стержни раб-щие в основном на изгиб наз-ся балками

Виды изгиба по внутр-м усилиям:

d_проч =

39 Гипотеза max касательных напряжений ( III гипотеза прочности) (В-38)

40Гипотеза энергии формоизменения ( IV гипотеза прочности) (в-38)

41 Критерий Мора. (в-38)

42 Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38)

1)строим эпюры

М_к1 =0 М_к2 =М

М_и1,2 =Р*z_1,2 |₀ =0|_L =P*l

2)опасные сечения:

М_к2 =М М_и2 =P*l

3)исследу-ые напр-я:

_max (М_и )=М_к /W_p

_max (M_и )=М_и /W_x

_max (Q)=Q*S_x /(b*J_x )

4)опасная точ на

поверхности вала:

=М_и /W_x

_max =М_к /W_p = М_к /2W_х

W_p =J_p /r=2*J_x /r W_x = J_x /r= W_p /2

J_p =