Сингулярные интегралы

СОДЕРЖАНИЕ: Основной вопрос теории сингулярных интегралов. Понятие сингулярного интеграла. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке. Приложения в теории рядов Фурье. Сингулярный интеграл Пуассона.

Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Сингулярные интегралы.

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

Сколова Ирина Юрьевна

____________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

____________________

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент

Подгорная Ирина Иссаковна

____________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.

« » _______________

Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.

« » _______________

Киров 2005

Введение

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.

Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f (t ) в точке x . Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.

Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой , если существует конечный интеграл от этой функции.

В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.

Определение. Если в точке x будет и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t ).

Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x ) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a , b ]. Каково бы ни было 0, существует такая непрерывная функция , что .

Если, в частности, , то и .

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть дано измеримое множество E . Взяв произвольную точку x и число h 0, положим E (, h )=E [-h , +h ]. Это тоже измеримое множество.

Предел отношения при h0 называется плотностью множества E в точке и обозначается через .

Определение. Пусть функция f (x ) задана на сегменте [a , b ] и . Если существует такое измеримое множество E , лежащее на [a , b ] и имеющее точку точкой плотности, что f (x ) вдоль E непрерывна в точке , то говорят, что f (x ) аппроксимативно непрерывна в точке .

Определение. Измеримая функция f (x ) называется функцией с суммируемым квадратом , или функцией, суммируемой с квадратом , если

Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .

Определение. Пусть на сегменте [a , b ] задана конечная функция f (x ). Если всякому 0 отвечает такое 0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой оказывается

, (3)

то говорят, что функция f (x ) абсолютно непрерывна .

Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .

Определение. Две функции f (x ) и g(x), заданные на сегменте [a , b ], называются взаимно ортогональными , если .

Определение. Функция f (x ), заданная на [a , b ], называется нормальной , если .

Определение. Система функций , , , …, заданных на сегменте [a , b ], называется ортонормальной системой , если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.

Определение. Пусть есть ортонормальная система и f (x ) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье функции f (x ) в системе .

Ряд называется рядом Фурье функции f (x ) в системе .

§1. Понятие сингулярного интеграла

Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.

Рассмотрим функцию

. (1)

Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t . Значит, для всякой суммируемой f (t ) () можно образовать величину

. (2)

Докажем, что во всякой точке x (0x 1), в которой функция f ( t ) непрерывна, будет

. (3)

Для этого прежде всего отметим, что при

. (4)

Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность

Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме

Интеграл оценивается следующим образом:

В интеграле будет , поэтому

где не зависит от n . Аналогично и, следовательно, ,

так что при достаточно больших n будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием n , что и требовалось доказать.

Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t , очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x . Но около точки x функция f (t ) почти равна f (x ) (т. к. она непрерывна при t = x ). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f (t ) на f (x ), т. е. он почти равен интегралу

и, в силу (4), почти равен f (x ).

Функция , обладающая подобными свойствами, носит название ядра .

Определение. Пусть функция (n =1, 2, …), заданная в квадрате (, ), суммируема по t при каждом фиксированном x . Она называется ядром , если при условии, что .

Определение. Интеграл вида , где есть ядро, называется сингулярным интегралом .

В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции

f (t ) в точке x . Так как изменение значения функции f (t ) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение f (x ) функции f (t ) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f (t ) в точке t = x . Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t ), и т. п.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [ a , b ] задана последовательность измеримых функций , , , … Если существует такая постоянная K , что при всех n и t будет

, (5)

и если при всяком c () будет

, (6)

то, какова бы ни была суммируемая на [ a , b ] функция f (t ), справедливо равенство

. (7)

Доказательство. Если есть сегмент, содержащийся в [ a , b ] , то из (6) следует, что

. (8)

Рассмотрим непрерывную функцию f (t ), и для наперед заданного разложим [ a , b ] точками на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f (t )было меньше, чем .

Тогда . (9)

Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем K ( b - a ). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для окажется меньшей, чем . Для этих n будет

так что (7) доказано для непрерывной функции f ( t ).

Пусть f (t )измеримая ограниченная функция .

Возьмем 0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g (t ), что , .

Тогда .

Но .

Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше . Значит, для этих n будет

что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.

Пусть f (t ) произвольная суммируемая функция.

Возьмем 0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое 0, чтобы для любого измеримого множества с мерой me было .

Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g (t ), чтобы было . Это возможно по

Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x ). Каково бы ни было 0, существует измеримая ограниченная функция g (x ) такая, что .

Можно считать, что на множестве функция g (t ) равна нулю.

Тогда .

Но .

Интеграл же при достаточно больших n будет меньше , и при этих n окажется , что и доказывает теорему.

Пример. Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана

Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [ a , b ] функции

f (t ) будет .

В частности, коэффициенты Фурье , произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при .

Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [ a , b ] функции f (t ), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю .

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f (t ).

Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x ( a x b ) и любом 0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - ],

[ x + , b ] и , где H (x ) не зависит от n , то, какова бы ни была суммируемая функция f (t ), непрерывная в точке x , справедливо равенство

Доказательство. Так как есть ядро, то ,

и достаточно обнаружить, что

С этой целью, взяв 0, найдем такое 0, что при будет

Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x .

Тогда при любом n .

Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - ] , [ x + , b ] . Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше /3.

И для этих n окажется , что и требовалось доказать.

Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [ a , b ] дана суммируемая функция f (t ), обладающая тем свойством, что

. (1)

Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g (t ), заданная и суммируемая на [ a , b ], интеграл

(2)

существует (может быть как несобственный при t = a ) и справедливо неравенство

. (3)

В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g (t ) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.

Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g (b )= 0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g (t ) функцию g * (t ), определив ее равенствами

g (t ), если ,

g * (t )=

0, если t=b .

Доказав теорему для g * (t ), мы затем смогли бы всюду заменить g * (t ) на g (t ), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g (b )=0 .

Пусть a b . На сегменте [ , b ] функция g (t ) ограничена, и интеграл

(4)

заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса

откуда, после интегрирования по частям, находим

Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [ 0, t -a ] выполняется неравенство и следовательно

, (5)

а так как g (t ) убывает, то

. (6)

Значит . С другой стороны, функция – g ( t ) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что

Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:

Отсюда, учитывая (6), следует, что

Сопоставляя все сказанное, получаем:

. (7)

Хотя это неравенство установлено при предположении, что g (b )= 0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на , где b . Но тогда, устремляя и к a , получим ,

чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t )= 1 в (3) достигается равенство.)

Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t , возрастает в сегменте [ a , x ] и убывает в сегменте

[ x , b ].

Тогда для любой суммируемой функции f (t ), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет .

Доказательство. Так как есть ядро, то и достаточно проверить, что .

Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте

[ a , x ] и [ x , b ] , рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.

Возьмем 0 и найдем такое 0 , что при будет

что возможно, так как f (t ) в точке t = x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть и .

Тогда по предыдущей лемме

Так как есть ядро, то .

Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K (x ) такая, что .

Таким образом,

С другой стороны, если , то

Значит функции на сегменте [ x + , b ] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [ x + , b ] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет .

При этих n окажется

так что

Теорема доказана.

В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса .

Функция есть ядро, т. к. при x

Эта функция положительна, и она возрастает при и убывает при . Значит, для всякой будет в каждой точке x , где f (t ) есть производная своего неопределенного интеграла.

Определение. Функция ( t , x ) называется горбатой мажорантой функции , если и если ( t , x ) при фиксированном x возрастает на сегменте [ a , x ] и убывает на сегменте [ x , b ] .

Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что

где K (x ) зависит лишь от x , то для любой , имеющей точку t = x точкой Лебега, будет справедливо равенство

Доказательство. Достаточно доказать, что

Возьмем 0 и найдем такое 0, что при будет

По лемме имеем

С другой стороны, в сегменте [ x + , b ] последовательность слабо сходится к нулю, т. к. при будет

Следовательно для достаточно больших n будет

При этих n окажется ,

так что . Теорема доказана.

§3. Приложения в теории рядов Фурье

Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x ) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе

, (1)

то рядом Фурье функции f (x ) служит ряд

, (2)

где

, . (3)

Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье функции f (x ) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.

Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .

Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства

(k =0, 1, …, n -1),

Это дает , откуда следует равенство

, (4)

Пользуясь этой формулой, придадим сумме вид

. (5)

Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле .

Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм :

. (6)

В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

Для исследования преобразуем ее с помощью формулы (5)

Но . (7)

Действительно, складывая равенства

(k =0, 1, …, n -1),

находим , откуда и следует (7).

С помощью (7) получаем . (8)

Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера . Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.

Для этого рассмотрим функцию f (t )=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим (k =1, 2, …).

Значит, для этой функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .

Но выражая интегралом Фейера, получим, что

. (9)

Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A ( x , ) не зависит от n .

Отсюда следует, что .

Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [ , ]. Сопоставляя это с (9), находим, что

так что функция есть ядро.

Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .

Следовательно и

. (10)

С другой стороны, когда , то , так что

. (11)

Так как , , то может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом

при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла .

Из (10) и (11) следует, что

Функция есть горбатая мажоранта ядра Фейера.

Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n .

Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы

Д. К. Фаддеева. Отсюда следует

Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег). Почти везде на [- , + ] будет

. (12)

Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (t ), лежащих внутри [- , + ].

Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x ) суммируема с квадратом. Справедлива следующая

Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции

f (x ) равны нулю, то f (x ) эквивалентна нулю.

В самом деле, в этом случае и, следовательно, f (x )=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.

Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что

так что .

Отсюда .

§4. Сингулярный интеграл Пуассона

Пусть точка x есть точка d суммируемой функции f (t ), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f (t ) равна f (x ) (причем ).

Интеграл (0r 1) есть сингулярный интеграл Пуассона. Если x (- x ) есть точка d суммируемой функции f (t ), то (П. Фату).

1) Докажем, что - ядро. Т. к. ядро является 2-периодической функцией, то интеграл от этой функции, рассматриваемый на периоде, не зависит от x . Рассмотрим при x =0.

Для вычисления интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим

. (1)

Обозначим , тогда , а .

Выражение (1) будет равно

при 0r 1.

Получили, что и - ядро.

2) Докажем, что .

, .

Тогда . Следовательно достаточно проверить, что .

Найдем такое, что на интервале [x -, x ] ядро возрастает, а на [x , x +] убывает. Это возможно, т. к. производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x : .

Возьмем 0 и найдем такое (0 ), что при будет , что возможно, так как x есть точка d , т.е. f (t ) в точке t = x есть производная своего неопределенного интеграла.

Тогда по лемме И. П. Натансона

, т. к. есть ядро, и .

Таким образом, на интервале [x , x + ] справедливо неравенство . На [x - , x ] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности ядра на интервале [x - , x + ] относительно точки x .