Сліди і базиси розширеного поля
СОДЕРЖАНИЕ: Методика проведення операції в розширених полях. Сліди і базиси розширеного поля. Двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах. Подання точок кривої у різних координатних системах. Складність арифметичних операцій у групах точок ЕК.Сліди і базиси розширеного поля. Подання точок кривоїу різних координатних системах. Складність арифметичних операцій у групах точок ЕК
Від ідеї створення криптосистем на еліптичних кривих (
) до сьогоднішнього дня поряд із криптоаналізом цих систем фахівці безупинно і плідно працюють над підвищенням ефективності .
Насамперед це відноситься до швидкодії криптосистеми або швидкості обчислень. Одним з напрямків робіт у цій сфері було вивчення і порівняльний аналіз арифметики в поліноміальному і нормальному базисах поля 
.
1. Сліди і базиси розширеного поля
Операції в розширених полях вимагають введення таких понять, як слід елемента поля та базису поля.
Нехай 
- просте поле і 
- його розширення.
Слідом елемента 
над полем 
називається сума сполучених елементів поля 
.
Зокрема, слід елемента над полем 
визначається сумою
.
Розширення поля Галуа 
є 
-вимірним векторним простором над полем 
. Базисом цього поля називається будь-яка множина з лінійно незалежних елементів поля 
(див. лекції з дисципліни РПЕК). Кожен елемент поля подається -вимірним вектором з координатами з поля (або поліномом степеня 
з коефіцієнтами з ). Його також можна виразити як лінійну комбінацію векторів базису.
Теорема 1.
Елементи поля утворюють базис над полем тоді і тільки тоді, коли визначник матриці Вандермонда
або визначник
Із множини всіляких базисів найбільш розповсюдженими є поліноміальний і нормальний базиси поля .
Поліноміальний базис, звичайно, будується за допомогою послідовних степенів примітивного елемента поля 
. Його назва повязана з тим, що при 
всі операції в полі здійснюються за модулем мінімального полінома елемента 
.
Примітивний елемент тут є утворюючим елементом мультиплікативної групи поля. слід базис розширений поле
Наприклад. Розглянемо поле 
. Елементами цього поля є 16 векторів.
Таблиця 1.
| (0000) | (0001) | (0010) | (0011) | (0100) | (0101) | (0110) | (0111) |
| (1000) | (1001) | (1010) | (1011) | (1100) | (1101) | (1110) | (1111) |
Використовуємо при обчисленнях поліном 
(незвідний)
Додавання:
(0101)+(1101) = (1000).
Множення:
(0101)(1101) =
Піднесення до степеня: 
Таблиця 2 - Мультиплікативна інверсія
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Мультиплікативною інверсією для є
Дійсно 
.
Нормальний базис (НБ) над полем визначається як множина сполучених елементів поля 
з підходящим вибором елемента 
. Розглянемо далі властивості НБ 
над полем . На елемент тут накладається необхідна умова:
. Водночас не обовязково має бути примітивним. У будь-якому полі 
існує елемент зі слідом 1, тому в будь-якому полі існує і НБ. Елементи НБ можна подати -вимірними векторами.
Зазначимо, що молодший розряд НБ звичайно записується ліворуч (на відміну від поліноміального, у якому молодший розряд прийнято записувати праворуч).
Кожен наступний елемент базису є циклічним зсувом вправо попереднього. Оскільки 
, елемент 1 поля визначається координатами 
. Як бачимо, векторне подання елемента 1 поля в поліноміальному і нормальному базисах різні.
Для порівняння двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах подано в таблиці 3.
Таблиця 2 - Двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах
 |
 |
 |
|
|
|
| 0 | 0000 | 0000 |  |
1011 | 1110 |
| 1 | 0001 | 1111 |  |
0101 | 0011 |
|
0010 | 1001 |  |
1010 | 0001 |
 |
0100 | 1100 |  |
0111 | 1010 |
 |
1000 | 1000 |  |
1110 | 1101 |
 |
0011 | 0110 |  |
1111 | 0010 |
 |
0110 | 0101 |  |
1101 | 1011 |
 |
1100 | 0100 |  |
1001 | 0111 |
Довільний елемент поля в нормальному базисі подається як
.
Піднесення до квадрата елемента 
в нормальному базисі дає
Таким чином, операція піднесення до квадрата (або витягу кореня квадратного) зводиться до циклічного зсуву вправо (або вліво) векторного подання елемента. Це одне з важливих технологічних переваг нормального базису перед поліноміальним. Іншою його перевагою є простота визначення сліду елемента. Дійсно:
.
Отже, слід елемента дорівнює 0 при парній вазі його векторного подання в НБ і 1 – при непарній вазі. Ця властивість радикально спрощує визначення сліду елемента у НБ.
Наприклад: елемент 
у нормальному базисі має парну вагу векторного подання. Слід цього елемента дорівнює 0 Дійсно
На наступній лекції ми розглядатимемо окремо т.з. оптимальний нормальний базис, який має значні переваги у швидкості та технологічності обчислень.
Під час обчислення точок з багаторазовими операціями додавання (віднімання) і подвоєння більш продуктивними є групові операції не в афінних координатах, а різного роду проективних координатах. Це дозволяє уникнути обчислення оберненого елемента в полі як самої трудомісткої операції й заощадити тимчасові обчислювальні ресурси.
У стандартних проективних координатах проективна точка 
, 
, відповідає афінній точці 
Однорідне рівняння кривої після заміни змінних і множення на куб перемінної 
приймає вигляд
(в афінних координатах рівняння кривої має вигляд
).
Точка на нескінченності 
є вже одним з розв’язків даного рівняння. Зворотна точка тут, як і раніше, визначається інверсією знака 
координати
Подібно тому, як в афінних координатах, сумою точок 
і 
при 
називається точка 
, координати якої (позначення 
надалі опускається для скорочення запису) рівні:
де 
Операцію підсумовування однакових точок 
називають подвоєнням, а координати точки 
дорівнюють:
де 
Час виконання операції додавання 
і подвоєння 
, де 
позначає проективне подання точки.
Наступний вид проективних координат - якобіанові координати.
До них можна перейти ізоморфним перетворенням координат, помноживши рівняння 
на 
, при цьому отримаємо:
або
де 
Сумою точок і при є точка , координати якої визначаються як:
де 
При подвоєнні точки кривої отримаємо :
де 
.
У даному випадку час виконання складає 
і 
, де 
позначає якобіаново подання точки.
Замість трьох якобіанових координат точки Чудновський запропонував використовувати пять: 
Рівняння кривої описується формулою 
, а сума точок
і 
при визначається як точка 
, координати Чудновського якої рівні:
Де
При подвоєнні точки кривої одержимо
:
де .
Час виконання складе 
і 
, де 
означає подання точки в координатах Чудновського.
Модифіковані якобіанові координати для рівняння
кривої містять чотири координати 
Сума точок 
і 
при визначається як точка 
, модифіковані якобіанові координати якої дорівнюють:
,
де 
При подвоєнні точки кривої отримаємо
де 
Нарешті, можна зробити наступні оцінки. Час виконання дорівнює 
і 
, де 
означає подання точки в модифікованих якобіанових координатах.
Формули, що визначають сумарне число 
інверсій (
), множень 
і піднесень до квадрата 
при додаванні і подвоєнні точок відповідно в афінних 
, проективних 
, якобіанових 
координатах, координатах Чудновського 
і модифікованих якобіанових координатах
наведені в таблиці 1 (узагальнення).
За деякими оцінками, одна інверсія 
, а піднесення до квадрата 
(при операціях у простому полі Галуа). Звідси стає зрозумілою доцільність переходу до проективних або до якобіанових координат, у яких операції інверсії відсутні.
Мінімальна обчислювальна складність додавання досягається за допомогою координат чудновського, а подвоєння – у модифікованих якобіанових координатах. Тому, звичайно, користуються змішаними координатами з метою оптимізації обчислень при багаторазовому додаванні точки.
Таблиця 3 - Число операцій множення 
, піднесення до квадрата й інверсій 
елементів простого поля при додаванні і подвоєнні точок у різних координатних системах
| Координати | Додавання точок | Подвоєння точок |
| Афінні |  |
 |
| Проективні | |
|
| Якобіанові |  |
|
| Чудновського |  |
|
Модифіковані Якобіанові |
|
|
Після обчислення точки 
у змішаних координатах необхідно повернутися в афінні координати, для чого наприкінці обчислень потрібна одна інверсія.