Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

СОДЕРЖАНИЕ: Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.

РЕФЕРАТ

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Понятие собственные векторы и собственные значения

Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Рис. 1

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , называемое собственным значением линейного оператора, что

(x) = · x (1)

Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число . Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R² оператор поворота на угол, не кратный , не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:

P · X = · X

Преобразуем матричное уравнение:

P·X – ·X = 0 или (P – ·E) X =0

Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:

X=0=

Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных rn, т.е. число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае должно быть выполнено условие

|P – · E |=0 (2)

Расписав уравнение (2) относительно подробнее, получим

|P – · E | =

Раскрыв определитель, получим уравнение n-й степени относительно :

Которое называется характеристическим уравнением оператора . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом.

Решив характеристическое уравнение, получаем собственные числа ₁ , ₂ , …, _n . Для каждого найденного собственного значения _i найдем ненулевые векторы ядра оператора P – _i E . Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению _i . Другими словами, необходимо решить однородную систему уравнений (P – _i E ) X =0. Ее общее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих _i .

Общее решение однородной системы, как известно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинацию фундаментального набора линейно независимых решений (векторов). Число линейно независимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрической кратностью собственного значения _i . Вводиться также алгебраическая кратность – кратность _i как корня характеристического многочлена.

Независимость собственных векторов

Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам ₁ , ₂ , …, _n , определяется следующей теоремой.

Собственные векторы x₁ , x ₂ , …, x_n оператора, отвечающие различным собственным значениям ₁ , ₂ , …, _n , линейно независимы.

На n линейно независимых собственных векторах можно построить базис n-мерного линейного векторного пространства.

Замечание. Определитель матрицы P – E (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса.

|P’ – E | =|T^-1 PT – E | =|T^-1 PT- T^-1 E T| =|T^-1 P- E T| =|T^-1 ||P- E T| |T|=|P- E T|

Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей P= в пространстве R² .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P – · E | == ² -5 +4=0

Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора ₁ =1, ₂ =4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:

(P – ₁ E ) X =0 и (P – ₂ E ) X =0

В развернутом виде

и

Соответствующие однородные системы:

Общие решения систем:

и , где с₁ , с₂ є R

Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям ₁ =1, ₂ =4, имеет вид ; , где с₁ , с₂ є R. Векторы a₁ =(1, 1), a₂ =(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R² .

Пусть e₁ , e₂ , …, e_n – собственные векторы линейного оператора в пространстве Rⁿ , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e₁ ), (e₂ ), …, (e_n ) по базису e₁ , e₂ , …, e_n примет вид

Отсюда следует, что a_ij = _i , если i=j и a_ij =0, если ij. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:

Симметричный оператор

Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве Rⁿ называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства Rⁿ выполняется равенство

((x), y)= (x, (y))

Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.

Рассмотрим для простоты евклидово пространство R² . Пусть в ортобазисе e₁ , e₂ заданы векторы x=(x₁ , x₂ ), y=(y₁ , y₂ ). Линейные операторы ₁ и ₂ определены своими матрицами:

и .

Вычислим векторы ₁ (x) и ₂ (y):

,

.

Найдем скалярные произведения ((x), y) и (x, (y)):

( (x), y)=(a₁₁ x₁ +a₁₂ x₂ ) y₁ +(a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂ ) y₂ =a₁₁ y₁ x₁ +a₁₂ y₁ x₂ +a₂₁ y₂ x₁ +a₂₂ y₂ x₂ ,

(x, (y))= (b₁₁ y₁ +b₁₂ y₂ ) x₁ +(b₂₁ y₁ +b₂₂ y₂ ) x₂ =b₁₁ x₁ y₁ +b₁₂ x₁ y₂ +b₂₁ x₂ y₁ +b₂₂ x₂ y₂ .

Найдем разность скалярных произведений:

(( x ), y ) – ( x , ( y )) = ( a ₁₁ - b ₁₁ ) x ₁ y ₁ +( a ₂₁ - b ₁₂ ) x ₁ y ₂ +( a ₁₂ - b ₂₁ ) x ₂ y ₁ +( a ₂₂ - b ₂₂ ) x ₂ y ₂ .

Если для любых векторов x и y из пространства R² равенство

(( x ), y ) – ( x , ( y ))=0 (3)

Выполнено (необходимость), то верна система

a₁₁ =b₁₁ ,

a₂₁ =b₁₂ ,

a₁₂ =b₂₁ , (4)

a₂₂ =b₂₂ ,

и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Система равенств (4) означает, что ₁ =₂ =.

Ортогональность собственных векторов

Собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны.

Пусть x и y – собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам ₁ и ₂ , причем _{1 2} . По определению симметричного оператора:

((x), y)= (x, (y))

Подставив сюда правые части равенства ((x))= ₁ x , ((y))= ₁ y , получим

(₁ x , y)=( x , ₂ y ) . Вынесем числа ₁ и ₂ , за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (₁ – ₂ ) (x, y)=0

Поскольку _{1 2} , получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

1) Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.

2) Если в евклидовом пространстве Rⁿ задан симметричный оператор , то в Rⁿ существует ортонормированный базис e₁ , e₂ , …, e_n , составленный из собственных векторов .

3) Если все собственные числа ₁ , ₂ , …, _n симметричного оператора положительны, то ((x), x) 0 для любого ненулевого вектора x.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij ) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r , все координаты которого строго положительны. Вектор e_r – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Список литературы

1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.

2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с.

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).

Скачать архив с текстом документа