Аналітична геометрія на площині
СОДЕРЖАНИЕ: Реферат на тему: Аналітична геометрія на площині Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння y = kx + b (2.3) де k=tg нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).Реферат на тему:
Аналітична геометрія на площині
Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння
y = k x + b (2.3)
де k=tg a нахил цієї прямої до осі O X (рис 2.3,а).
Часткові випадки розташування прямої (y=kx , x=a , y=b ) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.
y y y y
b
b
x 1350 x x x
a
а б в г
Рис.2.3
Загальне рівняння прямої на площині має вигляд
Ax + By + C = 0 (2.2)
Якщо B 0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).
Приклади . Побудувати графіки прямих y =1-x та 2x -y +2=0. У першому прикладі k=tg a = -1, отже a=1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y =2x +2 , отже, k=tg a = 2 (рис. 2.4,б).
y y
2x -y +2=0
y =1-x 2
1
a=1350
1 x -1 x
а б
Рис. 2.4
Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.
Пряма, яка проходить через дві задані точки (x 1 ;y 1 ) та (x 2 ;y 2 ):
, (2.3)
або, що те саме,
. (2.3)
Пряма, яка проходить через задану точку (x 1 ;y 1 ) паралельно до заданої прямої y=ax+b :
y-y 1 =a (x-x 1 ) (2.4)
Пряма, яка проходить через задану точку (x1 ;y1 ) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :
(2.5)
Рівняння прямої у відрізках
(2.6)
Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.
Приклад . Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y +2=0.
Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:
-2x+y =2,
.
Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:
y =2x +2.
Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x 1 ;y 1 )=(-1;0) та (x 2 ;y 2 )=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:
.
Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.
Кут між прямими y =a 1 x +b 1 та y =a2 x +b 2 обчислюється за формулою
Прямі y =a 1 x +b 1 та y =a 2 x +b 2 отже, є паралельними, якщо a 1 =a 2 , та перпендикулярними, якщо a 1 a 2 = -1.
Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь
.
Відстань від точки M (x 1 ;y 1 ) до прямої Ax+By+C =0 визначають за формулою
.
Приклад . Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p (Q )=500-10Q . Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p =p (Q )=50+5Q .
Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.
Маємо такий графік (рис.2.5).
p
500
Пропозиція
p *
Попит
50
Q * Q
Рис. 2.5.
Ціну рівноваги p * (а також рівноважний випуск Q * ) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь
.
Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p * =200 та Q * =30 .
Приклад . Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p =10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V c =5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F c =40. Визначити обсяг виробництва Q , за якого фірма матиме прибуток.
Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю
T c = F c + Q V c = 40+5Q .
Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить
T R = p Q =10Q .
Визначимо такий випуск Q * , за якого доход фірми збігається з її витратами:
T R = T C ,
10Q = 40+5Q ,
Q * = 8 .
Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q * 8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).
T c ,T R
T R (доход)=10Q
T c (витрати)=40+5Q
40
Q * =8 Q
Рис. 2.6.
Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x 2 і/або y 2 .
Рівняння кола з центром у точці (a ;b ) та радіусом r має вигляд
(x-a )2 +(y-b )2 =r 2 .
У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:
x 2 +y 2 =r 2 .
Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):
A (x;y )
c
F 1 F 2
Рис. 2.7.
Точки F 1 (-c ;0) та F 2 (c ;0) називаються при цьому фокусами .
Виконуються такі властивості:
- для довільної точки A на еліпсі ;
- c 2 =a 2 -b 2 .
Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y ), для яких різниця відстаней до фокусів F 1 та F 2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8):
Для гіперболи виконуються такі властивості:
- для довільної точки A на гіперболі ;
- c 2 =a 2 +b 2 .
y
A (x ;y )
x
F 1 (-c ;0) F 2 (c ;0)
Рис. 2.8.
Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):
y = 2px
B A (x ;y )
p /2 p /2
F
Рис. 2.9.
Тут для довільної точки A (x ;y ) параболи y = 2px виконується рівність , де відстань від точки A до прямої .