Электромагнитная масса кулоновского поля
СОДЕРЖАНИЕ: Свободное перемещение статического электрического поля в вакууме хорошо изучено. Однако свойства электромагнитной массы (ЭМ-массы), связанной с кулоновским полем, до сих пор подвергаются обсуждению.Свободное перемещение статического электрического поля в вакууме хорошо изучено. Однако свойства электромагнитной массы (ЭМ-массы), связанной с кулоновским полем, до сих пор подвергаются обсуждению. Вследствие эквивалентности массы (M ) и энергии ( W = Mc ) можно рассматривать на равных, как массу, так и энергию. Представим некоторую конфигурацию электрических зарядов и, совершив работу, получим другую конфигурацию. Затраченная работа перейдёт в дополнительную потенциальную энергию взаимодействия зарядов. Где локализуется приобретённая энергия? Простой расчёт показывает [1], что она локализуется не в зарядах, а в поле взаимодействия зарядов. Кроме того, движущееся кулоновское поле реализует себя тем, что в каждой пространственной точке оно порождает магнитное поле. И ещё: при излучении ЭМ-волн фрагменты энергии поля проявляются самостоятельно вдали от зарядов. Таким образом, кулоновское поле будет рассматриваться ниже, как материальный объект. Однако не следует полностью отождествлять ЭМ-массу с механической массой – слишком большие различия между ними (разные формы материи, магнитное поле).
Другая дискуссионная тема: вектор Пойнтинга, правильно описывающий плотность потока энергии электромагнитной волны, терпит неудачу в применении к переносу энергии кулоновским полем.
Рассмотрение близких к данной теме вопросов можно найти в работах [2, 3].
Объектом исследования выбрана модель электрического заряда ( q ), распределённого по сфере радиусом (r ), в которой внутреннее поле отсутствует. Такое ограничение требуется для того, чтобы устранить «особую точку», и иметь конкретное электрическое поле в «чистом» виде. В то же время сохраняется возможность использовать формулы для точечного заряда. Все изменения поля происходят на этапе ускорения (торможения) заряда. Приобретённые свойства полей сохраняются во время движения с постоянной скоростью (v ). Именно этот этап перемещения заряда рассматривается в данной статье. В качестве «стартовой позиции» выбрана релятивистская формула напряжённости (E ) электрического поля точечного заряда (сферические координаты), представленная в «Берклеевском курсе физики» Э. Парселла [4], а также в «Общем курсе физики» И.В. Савельева [5]:
; = v/c ,
c – электрическая постоянная; – угол между векторами v и E . Относительно координатной оси (0х) – линии движения – поле
Е симметрично, и не зависит от азимутального угла ().
Напряжённости Е по формуле (1) выражают в рамках специальной теории относительности (СТО) поле заряда в движущейся (собственной) системе отсчёта, измеренное неподвижным (сторонним) наблюдателем. Таким же способом интерпретируются координаты, последующие формулы и расчёты по ним.
Преобразования координат в формуле (1) написаны для одновременных событий в неподвижной и движущейся системах отсчёта в момент времени ( t = 0). Исходя из этого, «стартовая» формула (1) не зависит от времени. Очевидно, что при
v = const, формулы не изменятся и для других моментов (
t ). Одно из ранних доказательств в рамках (СТО) перемещения заряда с сохранением формы его электрического поля представлено в сборнике [6]. Вариант сохранения поля заряда при его движении с постоянной скоростью без использования «запаздывающего взаимодействия» предложен в работе [2].
При v = 0, = 1, формула (1) описывает кулоновское поле заряда в состоянии покоя. Величины, относящиеся к неподвижной системе отсчёта, будут отмечены подстрочным индексом «0». Изменения, происходящие при увеличении (), обусловлены релятивистским сокращением масштабов длины (
x ) по линиям движения,
и увеличением напряжённости ( r , , , ), поперечной по отношению к скорости (
v ) компоненты поля Е .
Продольная составляющая поля Е , параллельная скорости, остаётся без изменения.
Явная зависимость величин без индекса «0» от () для сокращения записи здесь и далее не всегда указывается, но она всегда присутствует. Именно формулы (1a, 1b, 1c) служат основанием для деформации поля
Е и сохранения его формы во время движения. Названные преобразования в реальном мире требуют энергетических затрат, и происходят под действием внешних (ускоряющих) сил.
Энергия W /2) E ( r , , , ) по всему объёму поля.
Здесь () является параметром, характеризующим скорость движения заряда. Коэффициент,
получен интегрированием в сферических (преобразованных) координатах по радиусу ( r ) и по углу (). Возможность такого интегрирования при одинаковых значениях (
r ) для всех (, ) обусловлена направленностью векторов
E по преобразованным радиусам r .
При = 1,
W (1) = 2 k . Энергия заряженной проводящей сферы
W = q /2 , где
r , электроёмкость сферы радиусом (
r ), и потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых точечных зарядов, находящихся на расстоянии (2
r ),
W = q (2 r ), также равны 2
k . Энергия покоя кулоновского поля, определённая по формуле (2), совпадает с величиной, вычисленной разными способами. Рассмотрим подробнее напряжённости поперечного (
E ) и продольного ( E ) полей.
Из формулы (4) видно, что компоненты
и «делят» между собой одно и то же поле E . Поле
в () раз сильнее, чем соответствующая составляющие классического кулоновского поля, а поле
остаётся без изменения. Это следует из формул (1a, 1b, 1c), и в дальнейшем отразится на вычислениях энергий.
Поместим заряд ( q ) в воображаемую замкнутую цилиндрическую поверхность (), соосную (0
х ). В результате ускорения до уровня () поле (
) увеличивается в () раз, а площадка (
d ), нормальная (
), уменьшается в () раз. В тех же условиях поле (
и площадка ( d ), нормальная (
), остаются неизменными. Следовательно, теорема Гаусса, связывающая полный поток напряжённости с величиной заряда, остаётся неизменной во всех случаях. Только сокращение (
) позволяет увеличить ( ) с сохранением заряда ( q ).
Вычисление энергий () и () для каждого из полей и производится по формуле (2) путем замены E на или по формуле (4).
Значения энергии покоя для этих полей: (1) = (4/3) k ; (1) = (2/3) k .
Введём также функцию (), которая показывает, как должна измениться энергия
W (1) поля с релятивистской (механической) массой, после приобретения относительной скорости (() = (1 –
).
Здесь прирост энергии W (1) до величины () происходит по линейному закону за счёт кинетической энергии. Структура объекта с энергией покоя
W (1) при любой скорости движения остаётся вне поля зрения. Формула (7) вошла в учебники по физике, используется в расчётах ускорителей заряженных частиц и др. Её достоверность подтверждается и теорией (СТО), и практикой. Менее известно «уплотнение» поперечного поля (формула (1b)), которая проистекает из того же источника (СТО), выражает те же свойства (7), и подтверждается расчётами электрических токов и их полей в разных (инерциальных) системах отсчёта [3, 4].
Аналогично выглядят формулы вычисления релятивистской механической энергии для компонент поля и .
Полная энергия W () электрического поля заряда и её составляющие,
() и (), вместе с их релятивистскими механическими аналогами,
(),
(),
(), показаны на рис. 1 при различных значениях параметра .
Рис. 1.
Зависимости полной энергии электрического поля заряда (формула (2)) и её составляющих (формулы (5) и (6)), а также их расчётных значений на основе механического представления ЭМ-массы (формулы (7) и (7a)), от параметра (без коэффициента
k ). Релятивистские механические аналоги показаны пунктиром.
Все представленные на рис. 1 функции от (), кроме
(), «растут» при увеличении (), однако энергия
W () не следует закону (), а скорее подчиняется изменениям
(). Это связано с уменьшением
() вследствие сокращения размеров поля () по линиям движения. Разница в закономерностях изменения поперечной (
) и продольной составляющих ( ) энергии (и массы) кулоновского поля вытекает из формулы (1). При больших () полная кулоновская энергия с увеличением скорости движения поля превращается в энергию
() поперечного поля.
Структурные и инерциальные свойства ЭМ-массы электрического поля при изменении скорости движения во многом не совпадают со свойствами массы механических объектов.
Обратимся к расчёту энергии магнитного поля (), образование которого формула (2) в явном виде не учитывает. При перемещении статического поля
Е () со скоростью ( v ) наблюдается магнитное поле с индукцией В () [7].
Векторное произведение,
равно нулю, так как
v и E имеют одинаковое направление. Формула (9) совпадает с законом Био – Савара для единичного носителя тока и, в данном случае показывает, что магнитное поле создаётся исключительно поперечной составляющей кулоновского поля.
Пользуясь формулой (9), можно представить действие магнитного поля на пробный заряд в виде силы Лоренца
F .
Сила F () направлена противоположно E (). При этом происходит ослабление электрического поля
E (). Суммарное поле
E Поля E и F () всегда направлены перпендикулярно вектору v , что является следствием «сжатия» линейных размеров (формула (1а)) при сохранении заряда
q . Таким образом, (СТО) обладает пока монопольным правом объяснять действие магнитного поля на электрические заряды. На практике магнитное поле «свободного» заряда (
q ) воздействует на пробный заряд или другой заряд q (надо в этом случае умножить E () на q ) именно в формате (12), то есть в виде ослабленного электрического поля. В пределе, 1, сила |
F ()| | ()|, и кулоновское взаимодействие зарядов стремится к нулю, но в любом случае при отсутствии экранирующих зарядов с противоположным знаком силы притяжения между параллельными токами не возникнут. Например, пучок электронов в вакуумной камере не будет сжиматься в поперечном сечении, а два параллельных пучка не будут притягиваться друг к другу. Если же статическое кулоновское поле носителей тока экранировано действием зарядов с другими знаками, то останется лишь магнитное поле, и носители токов будут притягиваться, или отталкиваться, в соответствии с законом Ампера. Ещё одно следствие из формул (9) и (11): в каждой точке пространства при
v = const напряжённость E и индукция B всегда находятся в одинаковой фазе, и три вектора
v ,
E и B ориентированы между собой так же, как в электромагнитной волне.
Суммарная энергия электрического W () и магнитного Wm () полей.
Использование вектора Пойнтинга для вычисления количества движения P , переносимого кулоновским полем заряда [7].
Интеграл ( v ( )( E ) dV = 0) не даёт вклада в P , поэтому
Масса 2 () в формуле (17), во-первых, относится только к поперечному полю (
) и, во-вторых, в два раза больше массы
(). Несовпадение массы из формулы (17) с массой
М () = W ()/ c для всего поля (формула (2)) порождает противоречия. Как видно из рис. 1, и формулы (14), роль этих противоречий преувеличена.
Анализ получения (вывода) формулы для вектора Пойнтинга показывает, что удвоение
() связано с расчётом импульса P волны, у которой объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей равны, а колебания
E и B находятся в одинаковой фазе. В этом случае сумму плотностей энергии для
E и B можно заменить удвоенной плотностью одного из полей. Так и сделано в формуле (15). При движении кулоновского поля энергии электрического и магнитного полей различны при малых скоростях. В таких условиях коэффициент «2» надо заменить коэффициентом (1 +
) в соответствии с формулой (14). После названной замены все «недоразумения» с электромагнитной массой снимаются. При высоких скоростях,
v c , плотности энергии двух полей выравниваются, и вектор Пойнтинга применительно к кулоновскому полю будет давать результаты, аналогичные волновым.
Список литературы
Соколов Л.С. , 2003.
Корнева М.В., Кулигин В.А., Кулигина Г.А., гл. 3, стр. 27...40. 2008.
Andrew E. Chubykalo and Roman Smirnov-Rueda. Phys. Rev. E, vol. 53, num. 5, p. 5373...5381, 1996.
Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Т. 2., стр. 165...187 / Пер. с англ. – М.: Наука, 1975.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: Наука, стр. 111...125, 1978.
Основные формулы физики, под ред. Д. Мензела. Перевод с англ., стр. 169...174. ИИЛ, Москва, 1957.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. Гл. 28, стр. 305...309 / Пер. с англ. – М.: Мир, 1966.