Еліпсоїд
СОДЕРЖАНИЕ: 1) ом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням. Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Дослідження форми еліпсоїда проведемо методом паралельних перерізів. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Оху.1) Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням.
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Дослідження форми еліпсоїда проведемо методом паралельних перерізів. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Оху. Кожна з таких площин визначається рівнянням z=g, де h – довільне дійсне число, а лінія, яка утвориться і перерізі, визначається рівняннями
+= 1 - ; z=h.
Дослідимо рівняння (2) при різних значення h.
1. Якщо c, c0, то + 0 і рівняння (2) ніякої лінії не визначають, тобто точок перетину площини z=h з еліпсоїдом не існує.
2. Якщо h=+ c, то += 0 і лінія (2) вироджується в точки (0; 0; с) і (0; 0; - с), тобто площини z=c і z=-c доторкаються до еліпсоїда.
3. Якщо c, c0, то += 1, де а1 =а, b1 =b, тобто площина z=h перетинає еліпсоїд по еліпсу з півосями а1 і b1 . При зменшенні h значеннz а1 і b1 збільшуються і досягають своїх найбільших значень при h=0, тобто в перерізі еліпсоїда площиною Оху матимемо найбільший еліпс з півосями a1 = а, b1 = b.
Аналогічні результати дістанемо, якщо розглядатимемо перерізи еліпсоїда площинами х=h і у=h.
Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити еліпсоїд як замкнуту овальну поверхню. Величина а, b, с називаються півосями еліпсоїда. Якщо будь-які дві півосі рівні між собою, то триосний еліпсоїд перетворюється в еліпсоїд обертання, а якщо всі три півосі рівні між собою, - у сферу.
Отже даний еліпсоїд має півосі: а= 2,b=3? c=; його центр знаходиться в точці 0(1; -2; 3).
2) Одно порожнинний гіперболоїд
Однопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= 1 - =1.
Рівняння (3) називається канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда.
Досліджують рівняння (3), як і в попередньому пункті, методом паралельних перерізів. Перетинаючи одно порожнинний гіперболоїд площинами, паралельними площині Оху, дістанемо в перерізі еліпси. Якщо поверхню (3) перетинати площинами х=h або у=h, то в перерізі дістанемо гіперболи.
Детальний аналіз цих перерізів показує, що однопорожнинний гіперболоїд має форму нескінченної трубки, яка необмежено розширюється в обидва боки від найменшого еліпса, по якому однопроджнинний гіперболоїд перетинає площину Оху.
Двопорожнний гіперболоїд
Двопорожнинним гіперболоїдом називаються поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= 1 - ; = - 1.
Рівняння (4) називається канонічним рівнянням двопорожнинного гіперболоїда.
Метод паралельних перерізів дає змогу зобразити двопорожнинний гіперболоїд як поверхню, що складається з двох окремих порожнин (звідси назва двопорожннний), кожна з яких перетинає вісь Оz і має форму опуклої нескінченної часі.
Еліптичний параболоїд
Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= z ,
що є канонічним рівнянням еліптичного параболоїда. Він має форму нескінченної опуклої чаші. Лініями паралельних перерізів еліптичного параболоїда є параболи або еліпси.
Гіперболічний параболоїд
Гіперболічний параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
+= z.
що є канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда. Ця поверхня має форму сідла.
Лініями паралельних перерізів гіперболічного параболоїда є гіперболи або параболи.