Формула Н ютона Лейбінца

СОДЕРЖАНИЕ: Міністерство освіти України Коломийське В П У-17 Реферат На тему: Формула Ньютона – Лейбніца. Учня групи № 15 Лінькова А.М. Коломия 2002р. Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = xІ Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Міністерство освіти України

Коломийське В П У-17

Реферат

На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.

Учня групи № 15

Лінькова А.М.

Коломия 2002р.

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x , y = x Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

.
Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

S
f
x
dx
a
b
=
,
(
)

що


Виберемо довільну точку x є [ a; b] і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох . Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х . Позначемо цю функцію че-

рез S ( x ) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому S ( x )=( x ) , де y =( x ) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S ( x ) є первісною для ( x ) .

Надамо змінній x приросту x , вважаючи ( для спрощення міркування), що x 0 . Тоді й фенкція S ( x ) набуде приросту S ( x ) . У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку [ a ; b ] функція y =( x ) досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y =( x ) є неперервною на відрізку [ x , x + x ] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m x S ( x ) M x


Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y =( x )

lim m =lim M = (x)

D
®
D
D
=
D
®
D
D
=
=
lim
0
(
)
(
).
lim
0
(
)
(
),
(
)
(
),
тоді
x
S
x
S
f
x
x
S
x
x
S
x
то
S
x
f
x
тобто
x0 x0
Але
Оскільки

функція є однією з первісних функції y=(x ) .

Позначимо через F ( x ) будь-яку первісну для функції y =( x ) . За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C . Тому

S ( x ) = F ( x )+ C . (1)

При x = a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A , тому S ( x ) = 0 .

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S ( x ) число 0 , одер-жимо C = - F ( a ) . Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S ( x ) = F ( x )- F ( a ). (2)

Коли x = b , то площа криволінійної трапеції дорівнює числу S = S ( b ) . Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S ( b ) = F ( b )- F ( a ).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b

значенню (x) dx. Тому можна зробити висновок, що

a

b

(x) dx = F ( b )- F ( a ). (3)

a

)
x
a
b
(
Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку [ a ; b ] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x = b i x = a .
F
Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:
=
(
)
(
)
f
x
dx
F
x
b
b
a
a

Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,

S
D
=
=
=
-
=
o
k
o
k
OAB
xdx
x
k
k
2
0
2
2
2

(кв. од.);


o
3
3
3
o
(кв. од.).


П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою

Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y = sin x ,
x
i
x
=
=
p
p
4
2
знизу – віссю Ох , а з боків – прямими

.

S
x
dx
x
p
p
p
p
p
p
=
=
-
=
-
-
=
-
-
=
4
2
sin
cos
2
4
cos
2
cos
4
0
2
2
2
2
Розв’ язання:

( кв. од.).

j
j
±
=
±
=
=
+
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
a
b
f
x
x
dx
f
x
dx
x
dx
k
f
x
dx
k
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
x
dx
1
.
2
.
,
.
3
.
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:
k

R
.
де

тобто якщо відрізок [ a ; b ] розбито на два

+
+
+
=
4
.
1
,
a
b
ka
p
kb
p
f
kx
p
dx
k
f
t
dt
)
(
)
(
відрізки точкою с , то інтеграл на відрізку [ a ; b ] дорівнює сумі інтегралів на від- різках [ a ; b ] i [ a ; c ].

де

Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.

p
)
(
4
x
dx
cos
3
-
x
Приклад 4. Обчислити

0

Розв ’ язання:

2
+
)
(
2
2
x
dx
Приклад 5. Обчислити
1

Розв ’ язання:



4
3
Приклад 6. Обчислити

p
Розв’яззати:

Скачать архив с текстом документа