Функція границя функції
СОДЕРЖАНИЕ: Реферат на тему: Функція, границя функції Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=fРеферат на тему:
Функція, границя функції
Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=f ( x ) .
Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).
Приклад . Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:
Витрати на рекламу x |
Прибуток f (x ) |
| 50 | 80 |
| 100 | 220 |
| 140 | 240 |
| 160 | 210 |
| 200 | 160 |
Областю визначення цієї функції є множина D ={50;100;140;160;200}, областю значень – множина E ={80;220;240;210;160} .
Приклад . Залежність (функція) Q ( p ) попиту Q на товар від його ціни p задана графіком (рис. 4.1).
Q
Q 1
Q 2
p 1 p 2 p
Рис. 4.1.
Областю визначення цієї функції є відрізок D =[p 1 ;p 2 ] , а областю значень – відрізок E =[Q 1 ;Q 2 ] .
Приклад . Загальні витрати TC на виробництво Q одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:
TC (Q ) = 20 + 5Q ,
де 20 це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 – це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).
Означення. Число b називається границею функції y=f (x ) в точці a , якщо для довільної послідовності {x n } , що збігається до точки (числа) a , відповідна послідовність значень функції {f (x n )} буде збігатися до числа b .
Використовують позначення
За допомогою кванторів та це означення можна записати так:
(e0)(d0)(x )[|x -a |d® |f (x )-b | e]
Приклад. Розглянемо функцію .
і співпадає із значенням y (1) = 2 ;
;
не існує.
Приклад . Розглянемо функцію .
Тут , хоча y (10)=5.
Границі функцій мають такі властивості:
1. якщо існують границі та , то
;
2. якщо існують границі та , то
;
3. якщо існують границі та , причому , то .
Означення. Функція y =f (x ) називається неперервною в точці x = a , якщо існує границя цієї функції в точці a і
Приклад . Зарплата W продавця залежно від кількості x проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду
W
50 x
Рис. 4.2.
Функція W (x ) у точці x =50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W (50)=200 , проте границі не існує.
Приклади обчислення границь:
(тут використано властивість неперервності функцій та y =x 2 );
2) знайти . Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки , тому спершу скорочуємо дріб.
Тепер ;
3).