Специфика проведения измерений и обработки результатов
СОДЕРЖАНИЕ: РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Метрология, стандартизация и технические измерения Специфика проведения измерений и обработки результатовРАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Метрология, стандартизация и технические измерения
Специфика проведения измерений и обработки результатов
Задание 1. Однократное измерение
Условие задания
При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.
Экспериментальные данные:
Информация о средстве измерения:
Вид закона распределения нормальный
Значение оценки среднего квадратичного отклонения 
Доверительная вероятность 
Мультипликативная поправка 
Расчет
Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:
; 
,
где Е - доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона
,
где t - квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения 
, при этом следует учитывать, что 
. t = 1,64 при P=0,9
.
Используя правила округления, получим:
.
С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:
; 
.
Вносим мультипликативную поправку:
, 
,
.
Записываем результат:
Q
; P=0,9
Задание 2. Многократное измерение
Условие задания
При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений 
. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
484 |
481 |
|
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
485 |
485 |
485 |
492 |
484 |
481 |
480 |
481 |
|
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
484 |
485 |
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
492 |
Для обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15n40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе 
критерия.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата измерений 
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью 
с учетом 
находим из соответствующей таблицы значение 
, которое зависит от числа измерений 
и 
.
При 
, следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие 
.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
484 |
481 |
|
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
485 |
485 |
485 |
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
|
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
||
|
|
485 |
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
Заново определяем значения критерия для каждого значения результата измерений 
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью 
с учетом 
находим из соответствующей таблицы значение 
, которое зависит от числа измерений и 
.
Условие 
выполняется для всех результатов измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15n40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с 
и 
.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .
Значение 
соответствует условию 
. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
с учетом по соответствующим таблицам определяем значения 
и 
.
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения 
определяем значение 
и рассчитываем E:
, 
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения 
и 
.
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
1,41 |
0,41 |
2,41 |
1,59 |
1,59 |
0,41 |
0,41 |
1,59 |
| 9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
|
1,41 |
1,41 |
1,41 |
0,41 |
2,59 |
3,59 |
2,59 |
0,41 |
| 17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|||
|
|
1,41 |
1,41 |
0,41 |
0,59 |
0,59 |
1,41 |
Мы видим, что не более m разностей превосходят , следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью 
.
Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.
Так как закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется следующим образом:
Определяем доверительный интервал
Закон распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной доверительной вероятности определяется из распределения Стьюдента 
, где определяется из соответствующей таблицы.
, 
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие задания
При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (
) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Вычислить результат многократных измерений.
Серия измерений 1.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
484 |
481 |
485 |
485 |
485 |
492 |
Серия измерений 2.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
485 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
492 |
Обработка результатов производится для каждой серии отдельно.
Для обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15n40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе 
критерия.
Серия измерений 1.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 1.
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений 
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью 
с учетом 
находим из соответствующей таблицы значение 
, которое зависит от числа измерений 
и 
.
При 
, следовательно, значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие 
.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
484 |
481 |
485 |
485 |
485 |
Заново определяем значения 
критерия для каждого значения результата серии измерений 
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью 
с учетом 
находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и 
.
Условие 
выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15n40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с 
и 
.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и 
.
Значение 
соответствует условию 
. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
с учетом по соответствующим таблицам определяем значения 
и 
.
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения 
определяем значение 
и рассчитываем E:
, 
.
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения 
и 
.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Мы видим, что не более разностей превосходят значение 
. Следовательно, второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью
.
Серия измерений 2.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 2.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
485 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
492 |
Далее определяем значения 
критерия для каждого значения результата серии измерений 
по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение 
, которое зависит от числа измерений 
и 
.
При 
, следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
485 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
Заново определяем значения 
критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений 
и .
Условие выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15n40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с и 
.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .
Значение соответствует условию 
. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и 
.
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения 
определяем значение и рассчитываем E:
, 
.
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения 
и .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
0,82 |
2,18 |
3,18 |
2,18 |
0,82 |
1,82 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
1,82 |
0,82 |
0,18 |
0,18 |
1,82 |
Мы видим, что не более разностей 
превосходят значение . Следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью 
.
Далее необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.
Для этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности:
Задавшись доверительной вероятностью 
, определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения значение и сравниваем 
с 
.
Условие 
выполняется. Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать незначимым.
Далее необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.
Для этого определяем значение:
И, задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера 
.
Условие 
выполняется. Серии с доверительной вероятностью 
считаем рассеянными.
Выше было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому необходимо определить оценку результата измерения 
и среднеквадратического отклонения 
.
Задавшись доверительной вероятностью 
, определяем из таблиц распределения Стьюдента значение 
для числа степеней свободы
Затем определяем доверительный интервал 
:
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
.
Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)
Условие задания
При многократных измерениях независимых величин 
и 
получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления 
, (вид функции 
и характер величин 
представлены в таблице 3).
Вид функциональной зависимости 
.
Характер и единицы величин:
- ЭДС, мВ;
- сопротивление, Ом;
- сила тока, А.
Обработка результатов измерений величин 
и проведена в задании 3 первой расчетно-графической работы.
Средние значения и среднеквадратические отклонения для величин 
и 
имеют вид
Гипотеза о нормальности распределения величин и подтверждается.
Определим оценку среднего значения функции:
Определим поправку
Определим оценку стандартного отклонения функции
Определяем доверительный интервал для функции
Законы распределения вероятности результатов измерения и 
признаны нормальными, 
можно определить для принятой доверительной вероятности 
из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы 
определяется из выражения
Используя правила округления, получим:
Результат запишется в виде:
Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей
Условие задания
При многократных совместных измерениях величин и получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии по : 
.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
61;602 |
62;613 |
63;620 |
64;631 |
65;639 |
66;648 |
67;656 |
|
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
68;662 |
69;667 |
70;682 |
9;87 |
19;188 |
29;286 |
39;386 |
|
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
49;485 |
59;575 |
69;667 |
79;770 |
89;868 |
99;966 |
В качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида
.
Параметры прямой определим по методу наименьших квадратов.
Далее проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить критерии серий и инверсий.
Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений, рассчитанных для того же аргумента:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
-4,67 |
-0,67 |
0,33 |
3,33 |
5,33 |
-1,67 |
5,93 |
|
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
7,23 |
4,53 |
5,83 |
4,13 |
3,43 |
1,73 |
-1,97 |
|
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
-6,67 |
-6,67 |
-1,37 |
-0,67 |
0,33 |
1,33 |
последовательность Yi записана по мере возрастания Х
Критерий серий:
Рассчитываем число серий в полученной последовательности: N=6
Задавшись доверительной вероятностью 
, для n=20 определяем по таблице допустимые границы 
и 
:
Критерий инверсий:
Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности 
: А=106.
Задавшись доверительной вероятностью 
для n=20 определяем по таблице допустимые границы 
и 
:
Оба неравенства выполняются 
и 
. Поэтому можно считать, что рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость.