Средние величины 3
СОДЕРЖАНИЕ: Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ 5.1. Понятие о средней величине Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины.Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.1. Понятие о средней величине
Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины.
Средняя арифметическая – частное от деления суммы вариант на их число. Она бывает следующих видов: простая или взвешенная.
Средняя арифметическая простая, рассматривается в случае, когда известны все значения признаков х 1 , х 2 , , хп и рассчитывается по формуле
где n – число вариант;
х – значение признака.
Средняя арифметическая взвешенная, исчисляется, если известны отдельные значения признаков и их частоты, по следующей формуле:
где х – значение признака;
f – частота, которая может быть абсолютной (в разах) и относительной (доля, удельный вес частот во всей совокупности) величиной.
Средняя арифметическая имеет следующие свойства:
· произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие им частоты;
· если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число;
· если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
· если все частоты одинаково увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится;
· сумма отклонений вариант от их средней арифметической величины равна нулю.
Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Данный показатель применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Средняя гармоническая также может быть простой и взвешенной.
Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле
Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:
где W = xf – вес средней гармонической.
Средняя квадратиче ская (и т. д. для любой степени) рассчитывается по следующим формулам:
· простая: 
· взвешенная: 
Средняя геометрическая определяется по следующим формулам:
· простая: 
,
где – знак перемножения.
· взвешенная: 
.
Пример 1 . Имеются следующие данные о размере торговой площади магазинов, входящих в районное потребительское общество (табл. 9).
Таблица 9
| Магазин |
1-й |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
6-й |
7-й |
8-й |
9-й |
10-й |
| Площадь магазина, м2 |
60 |
100 |
80 |
60 |
60 |
80 |
80 |
80 |
100 |
100 |
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение
Так как известна площадь каждого магазина, то для вычисления средней площади магазина 
следует применить среднюю арифметическую простую:
м2
.
Средняя площадь магазина составляет 80 м2 .
Пример 2 . Приведенные данные в предыдущем примере могут быть представлены в сгруппированном виде (табл. 10).
| Площадь магазинов, м2 (признак – х ) |
60 |
80 |
100 |
| Число магазинов (частота – f ) |
3 |
4 |
3 |
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение
Если известны отдельные значения признака и соответствующие ему частоты, то применяется средняя арифметическая взвешенная:
м2
.
Средняя площадь магазина составляет 80 м2 .
Пример 3 . Имеются следующие данные о распределении магазинов по торговой площади (табл. 11).
Таблица 11
| Группировка магазинов по торговой площади, |
Удельный вес магазинов |
| 40–60 |
20 |
| 60–80 |
50 |
| 80–100 |
30 |
| Итого |
100 |
Следует определить среднюю площадь магазина.
Решение
Известны отдельные значения признака и их частоты, следовательно, следует применять среднюю арифметическую взвешенную:
.
Так как варианты представлены в виде интервального ряда распределения, то, чтобы воспользоваться указанной формулой, необходимо выразить их одним числом, т. е. следует перейти к дискретному ряду распределения (в этом случае находят середину каждого интервала).
Для первого интервала 
м2
и т. д. по остальным интервалам. Расчеты следует производить в табл. 12.
Таблица 12
| Группировка магазинов |
Удельный вес магазинов |
Середина |
xf |
| 40–60 |
20 |
50 |
1000 |
| 60–80 |
50 |
70 |
3500 |
| 80–100 |
30 |
90 |
2700 |
| Итого |
100 |
– |
7200 |
Таким образом, 
м2
.
Средняя площадь магазина равна 72 м2 .
Пример 4 . Имеются следующие данные о распределении магазинов по площади (табл. 13).
Таблица 13
| Площадь магазинов, |
Общая площадь магазинов, |
| 60 |
180 |
| 80 |
320 |
| 100 |
300 |
| Итого |
800 |
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение
Так как весами является площадь W = xf , то следует применять среднюю гармоническую взвешенную:
м2
.
Таким образом, средняя площадь магазина равна 80 м2 .
5.2. Вычисление средней из вариационного ряда
«способом моментов»
«Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле
,
где i – размер интервала;
m
1
– момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант 
; 
– новые упрощенные варианты; f
– частота);
А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота).
Определим среднее значение признака «способом моментов» на следующем примере.
Пример 5 . Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).
Таблица 14
| Группировка магазинов |
Удельный вес магазинов, |
| До 40 |
5 |
| 40–60 |
30 |
| 60–80 |
40 |
| 80–100 |
20 |
| Свыше 100 |
5 |
| Итого |
100 |
Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов».
Решение
Данные распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i
= 20 м2
), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле 
, применив «способ моментов».
Первый и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней соответственно. Для определения среднего значения в них границы интервалов следует закрыть. Для первой группы с размером площади до 40 м2 условно считаем, что интервал также равен 20 м2 , затем вычитаем 20 м2 из 40 м2 и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).
Расчеты следует проводить в табл. 15.
Таблица 15
| Группировка мага- |
Удельный вес |
Середина |
х – А |
|
xf |
| 20–40 |
5 |
30 |
–40 |
–2 |
–10 |
| 40–80 |
30 |
50 |
–20 |
–1 |
–30 |
| 60–80 |
40 |
70 |
0 |
0 |
0 |
| 80–100 |
20 |
90 |
20 |
1 |
20 |
| 100–120 |
5 |
110 |
40 |
2 |
10 |
| Итого |
100 |
– |
– |
– |
–10 |
Наибольшая частота f равна 40, следовательно, в качестве постоянной величины А принимаем 70.
Определяем момент первого порядка: 
.
Среднее значение признака равно: 
+ 70 =
= 68 м2
.
Следовательно, средняя площадь магазина составляет 68 м2 .
5.3. Структурные средние
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы. Мода (Мо ) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Медиана (Ме ) – величина признака, которая делит упорядоченный ряд на две равные по численности части.
Если расчет моды и медианы проводится в дискретном ряду, то он опирается на их понятия. В интервальном ряду распределения для расчета моды и медианы применяют следующие формулы.
Мода рассчитывается по формуле
,
где хМо – нижнее значение модального интервала;
iМо – размер модального интервала;
fМо – частота модального интервала;
fМо –1 – частота, предшествующая модальной частоте;
fМо +1 – частота, последующая за модальной частотой.
Модальному интервалу соответствует наибольшая (модальная) частота. Медиана рассчитывается по формуле
,
где хМе – нижнее значение медианного интервала;
iМе – размер медианного интервала;
Sf – сумма частот;
SМе –1 – сумма частот, предшествующих медианной частоте;
fМе – медианная частота.
Медианному интервалу соответствует медианная частота. Таким интервалом будет интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину суммы всех частот.
Рассмотрим определение моды и медианы на следующих примерах.
Пример 6 . В результате статистического обследования области получены следующие данные по распределению семей по числу детей (табл. 16).
Таблица 16
| Число детей (х ) |
Количество семей, в % к итогу ( f ) |
| 0 |
5 |
| 1 |
32 |
| 2 |
34 |
| 3 |
16 |
| 4 |
6 |
| 5 |
4 |
| 6 и более |
3 |
| Итого |
100 |
Следует определить моду и медиану.
Решение
В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. Наибольшая частота – 34, следовательно мода равна 2.
Для вычисления медианы определим сумму частот ряда (Sf
= 100), затем рассчитаем полусумму 
.
Так как сумма накопленных частот 5 + 32 + 34 = 71 превышает полусумму (71 50), то варианта, имеющая значение 2 и соответствующая этой накопленной сумме частот, и есть медиана.
Пример 7 . В результате статистического обследования получены следующие данные распределения продавцов магазинов облпотребсоюза по возрасту (табл. 17).
Таблица 17
| Группировка продавцов по возрасту, лет (х ) |
Удельный вес продавцов, % ( f ) |
| До 20 |
6 |
| 20–30 |
24 |
| 30–40 |
35 |
| Окончание табл. 17 |
|
| Группировка продавцов по возрасту, лет (х ) |
Удельный вес продавцов, % ( f ) |
| 40–50 |
26 |
| Свыше 50 |
9 |
| Итого |
100 |
Необходимо определить моду и медиану.
Решение
В интервальных рядах мода и медиана определяются по вышеприведенным формулам.
Сначала определим модальный интервал, он соответствует наибольшей частоте. Так как наибольшая частота равна 35 и является модальной, то интервал 30–40 является модальным интервалом. Затем подставим данные в следующую формулу:
лет.
Определим медианный интервал. Полусумма частот равна 50 
. Накапливая частоты, определим интересующий интервал. Так как сумма накопленных частот 6 + 24 + 35 = 65 превышает полусумму (65 50), значит 35 является медианной частотой, а интервал 30–40 является медианным интервалом.
Затем подставим данные в формулу
.
Таким образом, мода равна 35,5 лет (больше всего продавцов
в возрасте 35,5 лет), медиана – 35,7 лет (50 % продавцов достигли возраста 35,7 лет).