Статика твердого тела

СОДЕРЖАНИЕ: Составление и решение уравнения движения груза по заданным параметрам, расчет скорости тела в заданной точке с помощью диффенциальных уравнений. Определение реакций опор твердого тела для определенного способа закрепления, уравнение равновесия.

Задание С3

Дано :

P1 =13,0 kH

M=30,0 kH*M ;

MB - ?

Решение:

I система

P2 =9,0 kHx =0;

RA *cos30o – XI C =0;

q=3,0 kH/M y =0;

RA *cos60o – P1 – YI C =0

MC =0;

M+P1 *3-2,5*RA =0;

;

;

Проверка

MA =0;

;

;

-26 - 4+30=0;

0=0; верно.

II система

x =0;

;

;

y =0;

;

;

;

MB =0;

;

;

;

;

Проверка

MC =0;

;

;

;

0=0; верно.

Дано :

R=20cм; r=10cм; R=30cм; ; x=6cм; ; x=356cм; t=2c; t=5c.

Определить

1) Уравнение движения груза;

2) -?

3) -?

Решение:

1) Уравнение движения груза 1 имеет вид:

(1)

Коэффициенты могут быть определены из следующих условий:

при t=0 x=6cм, (2)

при t=2cx=356cм. (3)

Скорость груза 1:

(4)


Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты

с=6см, с=5, с

Таким образом, уравнение движения груза

1

2) Скорость груза 1

(6)

Ускорение груза 1

3) Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза и угловые скорости колёс и .

В соответствии со схемой механизма:

откуда

или с учетом (6) после подстановки данных:

Угловое ускорение колеса 3:

Скорость точки М, её вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

Результаты вычислений для заданного момента времени приведены в табл. 1.

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 1.

Таблица 1

57 26 1.9 0.867 19 36.1 19 40.80


В 20. Д – 1

Дано : VA = 0, a = 45°, f = 0,3, d = 2 м, h = 4 м.

Найти : и t.

Решение: Рассмотрим движение камня на участке ВС. На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекции на оси X, Y: = 0 , = G,

Дважды интегрируем уравнения: = С1 , = gt + C2 ,

x = C1 t + C3 , y = gt2 /2 + C2 t + C4 ,

Для определения С1 , C2 , C3 , C4 , используем начальные условия (при t = 0): x0 = 0 , y0 = 0 , = VB cosa, = VB sina ,

Отсюда находим:

= С1 , C1 = VB cosa, = C2 , C2 = VB sina

x0 = C3 , C3 = 0 , y0 = C4 , C4 = 0

Получаем уравнения:

= VB cosa , = gt + VB sina

x = VB cosat, y = gt2 /2 + VB sinat

Исключаем параметр t :

y = gx 2 + xtga,

2V2 B cos2 a


В точке С x = d = 2 м , у = h = 4 м. Подставляя в уравнение d и h , находим VB :

V2 B = gx2 = 9,81 4 = 19,62 , VB = 4,429 м/с

2cos2 a(y - xtga) 2cos2 45°(4 - 2tg45°)

Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1 :

= Gsina - F , (F = fN = fGcosa) = gsina - fgcosa,

Дваждыинтегрируяуравнение, получаем:

= g(sina - fcosa)t + C5 , x1 = g(sina - fcosa)t2 /2 + C5 t + C6 ,

По начальным условиям (при t = 0 x10 = 0 и = VA = 0) находим С5 и С6 :

C5 = 0 , C6 = 0,

Для определения и t используем условия: в т.B(при t = t) , x1 = , = VB = 4,429 м/с. Решая систему уравнений находим:

= g(sina - fcosa)t 4,429 = 9,81(sin45° - 0,3cos45°)t , t = 0,912 с

x1 = g(sina - fcosa)t2 /2 = 9,81(sin45° - 0,3cos45°)0,9122 /2 = 2,02 м .


Дано:

АВ=20 см.

АС=6 см.

см/с

a=15 cм/c

Найти : , , a, a, ,

Решение:

ОА=ОВ=14,1 см.

=0,7=

СP=см.

=

=

см/с

a=15 см/,

т.к. ползуны двигаются по направляющим и совершают только поступательное движение.

см/

см/

9,85 см/

см/с

Ответ:

см/с

см/с

9,85 см/

=15 см/


Статика твердого тела

I. Плоская система сил система произвольно расположенных сил

Определение реакций опор твердого тела

На схеме показаны три способа закрепления бруса. Задаваемая нагрузка и размеры (м) во всех трех случаях одинаковы.

Р = 10 кН, q = 4 кН/м, исследуемая реакция YA

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором исследуемая реакция Ya имеет наименьший модуль.

Дано: схемы закрепления бруса ( а, б, в): Р = 10 кН; q = 4 кН/м.

Определить реакции опор для того способа закрепления, при котором реакция YA имеет наименьшее числовое значение.

Решение

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями (рис. 2): в схеме а — XА , YА , YВ в схеме б — Y’А , Y’В и RC , в схеме в — Y”А , RC , RD . Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей

Q = q 4 = 16кН.


Чтобы выяснить, в каком случае реакция YA является наименьшей, найдем ее для всех трехсхем, не определяя пока остальных реакций

Длясхемыа

Из первого уравнения подставляем YB во второе, получаем:

8,67 кH

Для схемы б

Из первого уравнения подставляем Y’B во второе, получаем:

13 кН

Для схемы в

Из первого уравнения подставляем RD во второе, получаем:

5 кН

Таким образом, реакция YA имеет наименьшее числовое значение, при закреплении бруса по схеме в .

Определим остальные опорные реакции для этой схемы.

В схеме а :

В схеме б :

8 кН

В схеме в :

Определить реакции опор для способа закрепления бруса, при котором Ма имеет наименьшее числовое значение.

Дано:

Р=20

М=10 кН* qМ

q=2 кН/м

Ма = ?

Решение

1. Даны три исходные схемы закрепления бруса мысленно в схемах отбросим связи в точках опор, заменяя их реакциями связей.

2. Равномерно-распределённую нагрузку «q» заменяем равнодействующей «Q» и приложим её в центре действия нагрузки «q» , получим

Q = q * L

Q =2*2=4кН.

3. Для каждой схемы составим минимальное число уравнений равновесия для определения исследуемой реакции.

Cоставим уравнения равновесия:

Ma(fr)=0 ; Ma+M-4P*cos45-3Q=0

Отсюда Maбудет

Ma =- M + P * sin 45-3 Q =-10+56+12=58 kH

Ya =.58 kH

Мa(Fk)=0; Ма -4P*sin45+M-3Q-2Xв=0

F(кх)=0; - Хв+Р*cos45=0 Xв=14кН

Отсюда Ма будет:

Ма=4Р* sin 45+3 Q +2 X в- M =56+12+28=86кН*м

Ма=86кН

Ma ( Fk )=0; Ма+М-4Р* cos 45-3 Q +4 Rc * cos 45+2 Rc * cos 45=0

F( кх )=0; Rc*cos45+Pcos45=0 Rc=20 кН

ОтсюдаМабудет:

Ма =- М +4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26 кН * м

Таким образом, исследуемая наименьшая реакция будет при закреплении бруса по схеме в). Найдём все реакции.

Составим для этой схемы три уравнения равновесия:


F кх =0 Rc*cos45+Pcos45=0

F к y=0 Ya-P*cos45-Q+Rc*cos45=0

Ма (F к )=0 Ма + М -4 Р *cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0

Rc=20 кН

Y а = P*cos45+Q-Rc*cos45=7+4-14=3 кН

Ма =- М +4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26 кН * м

Ответ : Ма = 26кН .

Скачать архив с текстом документа