Статистические методы оценки прочности пластмасс
СОДЕРЖАНИЕ: Статистические характеристики пластмасс. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам. Оценка эксплуатационных свойств по критерию эффективной удельной прочности.Введение
Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».
Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.
Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.
1. Статистические характеристики
1) Среднее арифметическое значение случайной величины:
x = (x1 +x2 +x3 ++xn ) = ( xi ) / n,
где n – количество наблюдений в выборке.
2) Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:
Sn = (xi – x)2 / (n-1)
Берется только положительное значение.
3) Дисперсия:
Dn = Sn 2 = (xi – x)2 / (n-1)
Если n 50, то (n-1) можно заменить на n.
4) Доверительный интервал:
x – x Sn / nt ( n ) ,
где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);
t ( n ) – коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности .
5) Коэффициент вариации:
х = Sn /х 100% или х = Sn /х
2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену
Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:
По напряжениям n = раз /max экв [n]
По нагрузкам n = R/Q [n],
где n – запас прочности;
раз – разрушающее напряжение;
max экв – максимальное эквивалентное действующее напряжение;
R – разрушающая нагрузка;
Q – действующая нагрузка;
[n] – допускаемый запас прочности.
В основе оценки лежат:
1) статистическая природа прочности пластмассы;
2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.
Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению и пределу прочности в . При этом запас статистической прочности будет равен:
n = в / max .
Считаем, что в и max известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно А и в А , возможно разрушение.
Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:
Рраз = Р ( А )·Р(в А ) = S,
где S – площадь заштрихованного участка.
Вероятность того, что случайная величина А будет меньше заданного значения , равна:
Р ( А ) = + Ф[(А – ) / Sд ],
где Ф – табулированная функция Лапласа;
Sд – среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.
Табулированная функция Лапласа равна:
2
Ф[(А – )·/Sд ] = 1/2 · е-1/2 ·d
где = (А -ср ) / Sд ; d = dА / Sд
Вероятность того, что случайная величина А будет больше заданного значения в , равна:
Р(в А ) = – Ф[(А – в ср ) / Sв ],
где Sв – среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.
В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:
Рраз = { + Ф[(А – )/Sд ]}· { – Ф[(А – в ср )/Sв ]}
Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:
2 2
Р(х) = 1/(S·2)· e – ( x - x ср) /2 S
Для точки А величина может быть найдена из равенства:
2 2 2 2
1/Sд ·e-( А- ср) / 2 S д = 1/Sв ·e-( А- вср) / 2 S в
или Zд 2 – Zв 2 = -2 ln(Sд /Sв ),
где Zд = (А -ср )/ Sд ; Zв = (А -вср )/ Sв .
Величины Zд и Zв называются нормированными отклонениями.
Последнее уравнение решается относительно А . Затем определяется Рраз , представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.
Через Рраз можно найти коэффициент надежности Н:
Н = lg (1/Pраз )
Рраз = 1 – Рнер ; Рнер = 1 – Рраз
При вероятности неразрушения Рнер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.
3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам
Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.
Изделие считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:
R– Q 0
Вероятность такого события определяет надежность изделия:
= Вер [(R – Q) 0]
Обозначим разность нагрузок через Х:
Х= R – Q
Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно:
Х0 = R0 – Q0
Стандартное отклонение:
Sx = SR 2 + SQ 2
Надежность:
2 2
= Вер (Х 0) = P(X)·dX = 1/(S·2)·e-1/2·(( x - x ср) / S x) ·dx
С учетом нормированной функции Лапласа:
= Ф(У),
где У = X0 / Sx (У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).
После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q0 получим:
У = (R0 /Q0 – 1) / SR 2 / Q0 2 + SQ 2 / Q0 2
Введем обозначения:
n0 = R0 / Q0 – средний наиболее вероятный запас прочности;
R = SR / R0 ; Q = SQ / Q0 – коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.
Тогда:
У = (n0 –1)/ n0 2 ·R 2 + Q 2
Для трубы при r h, где r – радиус, а h– толщина стенки, принимают:
R = в 2 + h 2
Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.
Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.
Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 0 С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.
Если труба изготовлена из АГ-4С, и в = 9,75 МПа; д = 5,1 МПа; R = 0,095; д = 0,3, то:
n0 = 9,75 / 5,1 = 1,91
У = (1,91 – 1) / 1,912 ·0,0952 + 0,32 = 2,5
По таблице для У = 2,5 находим = 0,9938 или 99,38%.
При нагреве до 60 0 С:
n0 = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147
У = (1,147 – 1) / 1,1472 ·0,0952 + 0,32 = 0,445
По таблице для У = 0,445 находим = 0,672 или 67,2%.
Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.
Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации в .
Из уравнения для У можно определить запас прочности:
n0 = (1 + У·R 2 + Q 2 – У2 ·R 2 ·Q 2 ) / (1 – У2 ·R 2 )
4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности
Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q.
qусл = q / (l·Q),
а за единицу прочности примем величину:
kв = l·R / q,
где R – разрушающая нагрузка.
Из этих уравнений выводим:
qусл = n / kв
Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен:
n0 = [1 + У·в 2 + F 2 + Q 2 – У2 ·Q 2 ·(в 2 + F 2 )] / [(1 – У2 ·(в 2 + F 2 )]
Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:
k0 = в0 / ,
где – удельный вес материала.
Пусть q0усл = n0 / k0 .
После подстановок получим:
q0 усл = 1 / k0 ·[(1-У2 ·(в 2 +F 2 )] / [1+У·в 2 +F 2 +Q 2 –У2 ·Q 2 ·(в 2 +F 2 )]
Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:
k0 = k0 · [(1-У2 ·(в 2 +F 2 )] / [1+У·в 2 +F 2 +Q 2 –У2 ·Q 2 ·(в 2 +F 2 )]
Из уравнения видно, что k0 учитывает неоднородность материала (в ), вариацию действующих напряжений (Q ), рассеивание размеров (F ) и заданную надежность = Ф(У).
Упростив уравнение и приняв, что Q = F = 0, получим:
k0 = k0 ·(1 – У· в )
Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k0 имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются.
Заключение
В процессе написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.
Литература
1.Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.
2.Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.
3.Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.
4.Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчет и конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. – 408 с.