Математика
СОДЕРЖАНИЕ: Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а АІ+а А+а А Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х)Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х) , а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса знаков для 3-его порядка.
Минором наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.
Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik .
Разложение 3-его порядка по элементам первой строки : =а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица А удовл. рав. А А= А А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой , если её det0.
Теор. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: А=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (АЕ) - метод Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет обратной матрице А. (А|E)(E|A).
Ах=В уА=В
х=АВ у=ВА
Ранг матрицы
В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1Smin(m,n)). Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом матр. наз. наиб. из порядков её миноров,0.
Если все миноры =0, то ранг =0.
Свойства ранга
1. R транспонир. матр. = R исходн.
2. R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3. При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и 0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.
Матричная запись линейной ситемы
А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), =(кооф и св. члены)
Невыражд. сист.
|a11 a12 .. b1 .. a1m|
=|кооф.| , k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|
|………………………………..|
| am1 am2 .. bm ..amm|
Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=1/ , х2=2/………
Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Заключ. в эл. преобраз. матр.
ВЕКТОЫ
Коллинеарн. вект. – лежащ. на || прямых или на одой прямой.
Равные вект. – коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы и имеющие равные длины.
Св. векторы – т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.
Направляющими косинусами векторов наз. косинусы углов , , образованных ими с коорд. осями.
|r|=(x+y+z) x=|r|cos y=|r|cos … … = cos=x/( x+y+z)
Единичный вектор e=(cosa,cosb,cos)
Коорд. лин. комбинации векторов
Даны n векторов. Лин. комб. a=1*a1+2*a2+…+n*an x= 1*x1+2*x2+…+n*xn y=…
Деление отрезка в данном отношении
X=(x1+x2)/(1+) – в отношении .
Скалярн. произведение векторов
ab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos =пр a b , |a|cos=пр b a , ab=|a|пр a b = |b|пр b a
Свойства: 1.Переместит(коммуникативности) аb=ba
2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (a)b=(ab)
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac
Правило лев. и прав. тройки В.
3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к одной точке наз. тройкой векторов abc.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b ,если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правой…
Векторным произведением 2-х векторов a и b наз. вектор [a*b] и удовл. след. усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sin ;2)[a*b]a и b;3)тройка a b [a*b] имеет ту же ориентацию,что и i jk.
Из усл. 1) следует что | | векторное произведение = площади параллелограмма.
[a*b]=0 = a комплан. b
Свойства: 1.Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]
2.Сочетательности относительно скалярн. множ. [(a)*b]=[a*b]
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]
|i j k |
[a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …
|x2 y2 z2| |y2 z2|
Смешанное произведение векторов
Даны 3 вект. a,b,c . Умножим векторно a на b и скалярно на с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярным произведением или смешаным.
V параллелипипеда =смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.
abc=[ab]c=a[bc]
|x1 y1 …|
abc=|x2 … …| = abc-комплан.
|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |
V 3- ох угольн. Пирамиды =mod|x3-x1 … … |
|x4-x1 … … |
Линейная завис. Векторов
a1,a2,…an – наз. лин. завис. векторов, если сущ. 1,2 …n, таких что: 1*a1+2*a2+…+n*an=0
Теорема 1 . a1,a2,…,an, n1 лин зависима = по меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2. аи b лин. завис = они коллин.
Теорема 3. Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.
Теорема 4. a,b,c – лин. завис. = они коллинеарны.
Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр. разложить по ним а=1*е1+2*е2+3*е3
Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис – любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…
F(x,y)=0 – ур-е линии в общем виде
F(,)=0 – … в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно , то = ().
x=f(t) \
y= (t) / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем = (), параметрически ур-я записываются x= ()*cos y= ()*sin
Упрощ. ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат Ax+Cy+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений:
х/a+y/b=1 – эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=(a+b)
Эпсиктриситетом эл. наз. =(1-(b/a)) Директрисами эл. наз. прямые x=a/ и x=--a/
х/a+y/b=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0)
х/a+y/b=-1 – неудовл. коорд. ни одной т.
в сл. А*С0 линии элипсического типа
х/a -- y/b=1 или --х/a + y/b=1 – гиперболы – геом. место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const \
F1(-c,0), F2(c,0), c=(a+b), =c/a, Ассимптоты : у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы : x=-a/и x=a/ |
Равносторонние Г. – с равными полуосями. /
х/a -- y/b=0 – пара пересекающихся прямых / - линии гиперболического типа
у=2px – парабола - геом. место т. плоскостиравноудалённых от фокуса и директрисы \
Симметрин. относит. ох : у=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |
oy : x=2qy , Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |
y=b - пара || прямых - линии параболического типа
y=0 – пара совпавших прямых/
y=--b - неудовл. коорд. ни одной т.
Если С=0, А0, то (1) приводится х=2qy
Прямая на плоскости . Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение касательной: y-y0=k(x-x0) | Если прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали : y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(угла м/у 2-я прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2x1,y2y1) | || = A1/A2=B1/B2 , A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой в отрезках x=x1+(x2—x1)*t y=y1=(y2—y1)*t , t € R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 : d=(A*x0+B*y0+C)/(A+B)
Ур-е окружности : (x-a)+(y-b)=R
Упрощ. общее ур-е второй степени: Ax+2Bxy+Cy+Dx+Ey+F =0
При повароте коорд осей на для которого ctg2=(A— C)/2B
x=x’ cos –y’ sin
y=x’ sin +x’ cos
Предел ф-ии. Постоянная b наз. lim y=f(x) при xa , если для любого 0 сущ. 0, что при всех x удовл. усл. 0|x-a| , выполняется условие |f(x)-b|