Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
СОДЕРЖАНИЕ: Теорема существования и единственности решения уравнения.Курсовая работа
Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»
Механико-математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
Самара 2004
Теорема существования и единственности решения уравнения
Пусть дано уравнение
с начальным условием
Пусть в замкнутой области R
функции 
и 
непрерывны). Тогда на некотором отрезке 
существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию 
.
Последовательные приближения определяются формулами:
k = 1,2....
Задание №9
Перейти от уравнения
к системе нормального вида и при начальных условиях
, 
, 
построить два последовательных приближения к решению.
Произведем замену переменных
; 
и перейдем к системе нормального вида:
Построим последовательные приближения
Задание №10
Построить три последовательных приближения 
к решению задачи
, 
Построим последовательные приближения
Задание №11
а) Задачу
, 
свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения 
б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.
Сведем данное уравнение к интегральному :
Докажем равномерную сходимость последовательных приближений
С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке 
, который содержит внутри себя точку 
. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства
i = 0, 1, 2 …
Если график функции 
проходит в области Г, то функция 
определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция 
, нужно, чтобы и график функции проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок 
достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись неравенства:
, i = 1, 2, …,
где 0 k 1. Из этих неравенств вытекает следующее:
, i = 1, 2, …,
Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим 
, например, на 
. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:
что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке выполняется 
, что также совершенно очевидно. А так как последовательность 
сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список литературы
Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961
А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998
О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999
А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998