Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты

СОДЕРЖАНИЕ: Исследование волоконного световода без потерь двухслойной конструкции. Уравнение передачи по световоду, порядок и принципы его составления. Нахождение постоянной интегрирования и подставление их в уравнение. Типы волн в световодах, их особенности.

1. Уравнение передачи по световоду

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1

n₂ n₁ a

Рис. 1

Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0ra) и в оболочке (arb) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов, функции внутри сердечника при r=0 должны быть конечными, а в оболочке описывать спадающее поле.

Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид:

(1)

Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода:

(2)

Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Е_z и H_z . Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду

Тогда, используя соотношение , а также учитывая, что divH=0, получим

где - волновое число световода.

Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим .

Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов E_z и H_z удовлетворяют уравнениям

Где – оператор Лапласа.

Тогда для продольных составляющих E_z и H_z в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:

(3)

Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е. , где А – любая составляющая векторов Е или Н; j- коэффициент распространения. Тогда первая и вторая производные определятся

Для составляющей Е_z

Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим

Введем обозначение – поперечное волновое число световода. Тогда для сердечника световода имеем

(4)

где (без учета затухания) – поперечное волновое число сердечника; k₁ – волновое число сердечника с коэффициентом преломления n₁ , .

Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать

(5)

где А_n и В_n – постоянные интегрирования.

Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Е_r имеем

Возьмем производную от второго выражения по

Учитывая, что , а , то

Тогда

или

Подставим данное выражение в уравнение для Е_r

или

Окончательно получим .

Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля

Воспользовавшись уравнениями (5) возьмем соответствующие производные

Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, полагая, что , имеют вид (множитель не пишем):

(6)

Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:

где (без учета затухания) – поперечное волновое число оболочки световода; k₂ – волновое число оболочки с коэффициентом преломления n₂ , .

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьего рода – функции Ганкеля:

где С_n , D_n – постоянные интегрирования.

Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:

(7)

Постоянные интегрирования А_n , В_n , С_n , D_n могут быть определены на основании граничных условий. Используем условия равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердечник-оболочка (при r=а):

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение:

(8)

Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой.

световод уравнение интегрирование волна

2. Типы волн в световодах

В сетоводах могут существовать два типа волн: симметричные E_0m , H_0m несимметричные дипольные EH_nm , HE_nm . В индексе n – число изменений поля по диаметру; m – число изменений поля по периметру. Симметричные волны электрические Е_0m и магнитные H_0m имеют круговую симметрию (n=0).

Раздельное распространение по световоду несимметричных волн типа невозможно. В световоде они существуют только совместно, т.е. имеются продольные составляющие Е и Н. Эти волны называются смешанными, дипольными и обозначаются через HЕ_nm , если поле в поперечном сечении напоминает поле Н, или EН_nm , если поле в поперечном сечении ближе к волнам Е.

Из всей номенклатуры смешанных волн в оптических кабелях наибольшее применение получила волна типа НЕ₁₁ (или ЕН₁₀ ). На этой волне работают одномодовые световоды, имеющие наибольшую пропускную способность

Представляет интерес сопоставить указанную классификацию электромагнитных волн с лучевой классификацией.

Как уже отмечалось, по волоконным световодам возможна передача двух видов лучей: меридиональных и косых. Меридиональные лучи расположены в плоскости, проходящей через ось волоконного световода. Косые лучи не пересекают ось световода.

Меридиональным лучам соответствуют симметричные электрические Е_0m и магнитныеH_0m волны, косым лучам – несимметричные гибридные EН_nm и HЕ_nm волны.

Если точеченый источник излучения расположен по оси световода, то имеются только меридиональные лучи и соответственно симметричные волны Е_0m , H_0m . Если же точечный источник расположен вне оси световода или имеется сложный источник, то появляются одновременно как меридиональные, так и косые лучи и свойственные им симметричные Е_0m , H_0m и несимметричные гибридные (EН_nm и HЕ_nm ) волны.

Несимметричные волны типа E_nm и H_nm в волоконных световодах существовать не могут. Эти волны возбуждаются только в металлических волноводах.

Основное уравнение передачи по волоконному световоду для случая может быть значительно упрощено применительно к различным типам волн.

Для симметричных волн правая часть уравнения (8) равна нулю, тогда имеем два различных уравнения для электрической Е_0m и магнитной Н_0m волн:

для Е_0m

(9)

для Н_0m

Для смешанных дипольных волн можно получить следующие приближенные уравнения:

для НЕ_nm

(10)

для ЕН_nm

Для области часто, далеко отстоящих от критической частоты, можно воспользоваться более простыми выражениями:

для НE_nm

для ЕH_nm

Данные выражения позволяют определять структуру поля, параметры волн и характеристики волоконного световода при различных типах волн и частотах.

Каждый тип волны (мода) имеют свою критическую частоту и длину волны. Наличие критической частоты в волоконных световодах объясняется тем, что при очень высоких частотах почти вся энергия концентрируется внутри сердечника световода, а с уменьшением частоты происходит перераспределение поля и энергия переходит в окружающее пространство. При определенной частоте f_o – критической, или частоте отсечки, поле больше не распространяется вдоль световода и вся энергия рассиевается в окружающим пространстве.

Ранее были приведены следующие соотношения:

где - коэффициент фазы в световоде;

k₁ и k₂ – волновое число соответственно сердечника

и оболочки световода:

g₁ и g₂ – поперечное волновое число соответственно

для сердечника и оболочки.

а – радиус сердечника волокна.

Учитывая, что

получим .

Полагая, что r=a, произведем сложение левых и правых частей приведенных выражений

Для определения критической частоты f_o надо принять g₂ =0. При всех значениях g₂ 0 поле концентрируется в сердечнике световода, а при g₂ =0 оно выходит из сердечника и процесс распространения по световоду прекращается. По закону геометрической оптики условие g₂ =0 соответствует углу полного внутреннего отражения, при котором отсутствует преломленная волна, а есть толь падающая и отраженная волны. Тогда при g₂ =0 имеем

Подставив в эту формулу значение , получим , откуда критическая частота световода . (11)

Умножив числитель и знаменатель на параметр а (радиус сердечника), получим значение критической частоты

(12)

и критической длины волны

, (13)

где g₁ a – корни бесселевых функций.

Так как световоды изготавливаются из немагнитных материалов (), то

Принципиально аналогичный результат можно получить лучевым методом непосредственно из законов геометрической оптики путем сопоставления падающей, отраженной и преломленной волн на границе сердечник-оболочка световода.

Анализируя полученные соотношения, можно сказать, что чем толще сердечник световода и чем больше отличаются , тем больше критическая длина волны и соответственно ниже критическая частота волоконного световода. Из формул видно также, что при равенстве оптических характеристик, в первую очередь диэлектрической проницаемости сердечника и оболочки, т.е. при , критическая длина волны , а критическая частота и передача по такому световоду невозможна. Это имеет свое логическое обоснование: как уже сказано, волоконный световод работает на принципе многократного отражения от границы оптических несоответствий сердечника и оболочки, и эта граница является направляющей средой распространения электромагнитной энергии. При световод перестает действовать как направляющая система передачи.

Для определения критических частот различных типов волн рассмотрим корни ранее полученного выражения бесселевых функций J_0m (g₁ a) для симметричных и J_nm (g₁ a) для несимметричных волн. Эти равенства дают бесконечное число корней, значения которых приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значение корня (g₁ a) при m, равном

Тип волны

2,405

0,000

3,832

2,445

5,136

5,520

3,832

7,016

5,538

8,417

8,654

7,016

10,173

8,665

11,620

Е, Н

НЕ

ЕН

НЕ

ЕН

Рассмотрим физический смысл приведенных в табл. 1 корней бесселевых функций g₁ a. Поскольку при отсечке g₂ =0, т.е. , то из выражения имеем

Последнее выражение обратно пропорционально , т.е. прямо пропорционально критической частоте f₀ . Кроме того, оно включает в себя исходные параметры волокна: а, n₁ , n₂ . Данное выражение носит название нормированной частоты и в этом виде часто используется в световодной технике. Таким образом, нормированная частота

где - длина волны в вакууме.

При такой трактовке табл. 1 содержит нормированные частоты для волн, тип которых указан в правой колонке таблицы, а индекс nm составлен из чисел левого столбца и верхней строки соответствующей клетке, в которой находится данная величина . Каждой соответствует критическая частота f₀ .

При имеем ff₀ , т.е. частота меньше критической и волна по сердечнику волокна не распространяется, другими словами не существует. Область существования волны, имеющей нормированную частоту отсечки составляет ff₀ .

Из табл. 1 видно, что для несимметричной волны НЕ₁₁ значение =0; следовательно, эта волна не имеет критической частоты и может распространяться при любой частоте и диаметре сердечника. Все другие волны не распространяются на частотах ниже критической. Табл.1 можно преобразовать и привести к следующему виду (табл. 2)

Таблица 2

Диапазон частот

Дополнительные моды

Число мод

0,000–2,405

2,405–3,832

3,832–5,316

5,316–5,520

5,520–6,380

6,380–7,016

7,016–7,588

7,588–8,417

8,417–11,620

HE₁₁

H₀₁ , E₀₁ , HE₂₁

HE₁₂ , EH₁₁ , HE₃₁

EH₂₁ , HE₄₁

H₀₂ , E₀₂ , HE₂₂

EH₃₁ , HE₅₁

HE₁₃ , EH₁₂ , HE₃₂

EH₄₁ , HE₆₁

EH₂₂ , E₀₃ , H₀₃ , EH₁₃ , HE₂₃ , EH₂₃

Из табл. 2 следует, что с увеличением частоты появляются новые типы волн. Так, начиная с =2,405 появляются волны H₀₁ , E₀₁ , HE₂₁ , при =3,832 возникают дополнительные волны HE₁₂ , EH₁₁ , HE₃₁ и т.д.

Итак, интервал значений =g₁ a, при которых в световоде распространяется лишь один тип волн НЕ₁₁ , находится в пределах 02,405, поэтому при выборе частоты передачи или толщины сердечника одномодового световода исходят из этого условия:

. (14)

Одномодовый режим практически достигается при применении очень тонких волокон, равных по диаметру длине волны . Кроме того, надо стремиться к уменьшению разницы между показателями преломления сердечника и оболочки .

Диаметр сердечника волоконного световода для одномодовой передачи может быть определен из следующей формулы:

. (15)

Пример: для световода из стекловолокна с показателем преломления сердечника 1,48 и показателем преломления оболочки 1,447 при волне Е₀₁ длиной 1,55 мкм для одноволновой передачи получим

мкм

Скачать архив с текстом документа