«Теорема Пифагора»
СОДЕРЖАНИЕ: Эпиграф: «Прежде чем приступить к возведению дворца вселенной, сколько нужно еще добыть материала из рудников опыта!»Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №6
Реферат по геометрии на тему:
«Теорема Пифагора»
Подготовила:
Ученица 8А класса
Макарова Алена
Учитель:
Трошина Людмила Ивановна
г. Муром
2010-2011г.
Содержание:
І Введение
ІІ Обоснование темы
ІІІ Актуальность темы
ІV Цели и задачи
V Основная часть
- Биография Пифагора
- История открытия
- Доказательства теоремы
1 Простейшее
2 Древнекитайское
3 Древнеиндийское
4 Доказательство Евклида
5 Алгебраическое доказательство
6 Через косинус острого угла прямоугольного треугольника.
7 Доказательство Хоукинса
8 Доказательство методом Гарфилда
9 Доказательство Гофмана
VІ Применение
VІІ Пифагоровы тройки
VІІІ Заключение
ІX Литература
План:
І Введение……………………………………………………………………4
ІІ Обоснование темы………………………………………………………..4
ІІІ Актуальность темы……………………………………………………...4-5
ІV Цели и задачи…………………………………………………………….5
V Основная часть……………………………………………………………6-16
VІ Применение………………………………………………………………17
VІІ Пифагоровы тройки…………………………………………………….18
VІІІ Заключение……………………………………………………………..19
ІX Литература………………………………………………………………..20
Эпиграф: «Прежде чем приступить к возведению дворца вселенной, сколько нужно еще добыть материала из рудников опыта!»
Гельвеций К.
І Введение
На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о различных способах её доказательства. Причина такой популярности теоремы: это простота, красота и широкая значимость. В современных школьных учебниках рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это - алгебраическое доказательство, основанное на площади, применяется в учебнике «Геометрия 7-9»,Л. С. Атанасян, доказательство Евклида рассматривается в учебнике «Геометрия: Учебник для 6-9 классов средней школы», А.П.Киселёв. Постепенно, появлялись новые способы доказательства теорем.
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.
Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.
ІІ Обоснование темы
Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций, поэтому эта тема и стала основой для моего реферата.
ІІІ Актуальность темы
В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий.
ІV Цели и задачи
Цель моего реферата состоит в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитии науки и техники многих стран и народов мира, а также в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы.
Задачи:
1Рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора.
2Значение теоремы Пифагора.
3Применение теоремы Пифагора в развитии науки.
4Применение теоремы Пифагора в развитии техники.
Основной метод, который использовался в работе, - это метод систематизации и обработки данных.
V Основная часть
Биография Пифагора
Пифагор родился на острове Самос, одном из самых цветущих островов Ионии, в семье богатого ювелира. Ещё до рождения он был посвящен своими родителями свету Аполлона. Он был очень красив и с детства отличался разумом и справедливостью. С юных лет Пифагор стремился проникнуть в тайны Вечной Природы, постичь смысл Бытия. Знания, полученные им в храмах Греции, не давали ответов на все волнующие его вопросы, и он отправился в поисках мудрости в Египет. В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, “науку чисел или всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попадает в Вавилон, где проводит еще 12 лет. Здесь он имеет возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра. Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.
История открытия
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.
Я же начну исторический обзор с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». Также теорема Пифагора была обнаружена в древнекитайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XV веке до н.э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а в XVI веке до н.э. – и общий вид теоремы.
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3+4=5 было известно уже египтянам еще около 2300 года до н.э. во времена царя Аменемхета I. По мнению Кантора, гарпедонапты (люди, натягивающие веревки) строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3,4 и 5.
Несколько больше о теореме Пифагора известно у вавилонян. В одном тексте, относимо ко времени Хаммурапи, т.е. к 2000 году до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.
Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фачес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».
Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Но не смотря на это имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется.
Доказательства теоремы
1Простейшее
«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».
рис.1 (http://www.referat.ru/referats/view/2822)
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис.1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.
2Древнекитайское
На (рис.2, а) помещен чертеж из сохранившихся математико-астрономических сочинений, который доказывает теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать не сложно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной c, построенный на гипотенузе (рис.2, б).
рис.2 (http://www.referat.ru/referats/view/2822)
Если квадрат со стороной c вырезать и оставшиеся четыре затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис.2, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна c, а с другой - a+b, т.е. c=a+b. Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которое мы видим на древнекитайском чертеже (рис.2, а), не используется. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной c два заштрихованных треугольника (рис.2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис.2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами a и b, т.е. c=a+b.
3Древнеиндийское
Рис.3 (http://www.referat.ru/referats/view/2822)
Математики древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XVII века Бхаскары помещен чертеж (рис.3, а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат c перекладывается в «кресло невесты» a-b (рис.3, б) Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (XVII-V век до н.э.)
4Доказательство Евклида
рис.4 (http://th-pif.narod.ru/other.htm)
Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис.4) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL — квадрату АСКG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и FBC=d+ ABC= ABD. Но SABD=1/2S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC=1/2S ABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учитывая, что S ABD=S FBC , имеем S BJLD= S ABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S JCEL=S ACKG. Итак, S ABFH+S ACKG=S BJLD+S JCEL= S BCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли “ходульным” и “надуманным”. Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги “Начал”. Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.
5Пусть T-прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (рис.5, а). Докажем, что c=a+b.
Рис.5 Б) (http://www.referat.ru/referats/view/2822)
Построим квадрат Q со стороной a+b (рис.5, б) На стороне квадрата Q возьмем точки А, В, С, Д так, чтобы отрезки АВ, ВС, СД, ДА отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами a и b. Четырехугольник АВСД обозначим буквой P. Покажем, что P – квадрат со стороной c. Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику T (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника T, т.е. отрезку c. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть a и b – величины острых углов треугольника T. Тогда, как вам известно, a+b=90. Угол y при вершине А четырехугольника P вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b=180. И так как a+b = 90°, то g =90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника P прямые. Следовательно, четырехугольник P — квадрат со стороной c.
Квадрат Q со стороной a+b слагается из квадрата P со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику T. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) . Так как S(Q)=(a+b) 2; S(P)=c и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a+b)=c+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)=a+b+2ab, то равенство (a+b)=c+4*(1/2)ab можно записать так: a+b+2ab=c+2ab.
Из равенства a+b+2ab=c+2ab следует, что с=а+b.
6Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 6).
рис.6 (http://www.referat.ru/referats/view/2822)
По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соs А=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC. Аналогично соs В=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: АС+ВС=АВ(AD + DB)=АВ. Теорема доказана.
7Доказательство Хоукинса
рис.7 (http://th-pif.narod.ru/other.htm)
Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать.
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение ACB. Продолжим гипотенузу AВ за точку A до пересечения с линией AB в точке D. Отрезок ВD будет высотой треугольника ВАВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник AАВВ. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA и СВВ (или на два треугольника AВА и AВВ).
SCAA=b/2
SCBB=a/2
SAABB=(a+b)/2
Треугольники AВА и AВВ имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому: SAABB=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c/2.Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a+b=c. Теорема доказана.
8Геометрическое доказательство методом Гарфилда
рис.8 (http://school14-v.ucoz.ru/publ/1-1-0-2)
Дано: ABC-прямоугольный треугольник.
Доказать: BC2=AB2+AC2.
Доказательство:
1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:
SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
SABED=(DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
BC2=AB2+AC2.
Ч.Т.Д.
9Доказательство Гофмана
рис.9 (http://manuscript.h1.ru/manuscript.htm?/pyphagor/theorema/gofman.htm)
Проведем отрезок BF, перпендикулярный отрезку AB и равный ему, затем отрезок CI, перпендикулярный отрезку CA и равный ему, и, наконец, проведем перпендикулярный отрезку BC и равный ему отрезок BE. Легко доказать, что точки F, A, I лежат на одной прямой. Четырехугольники IFBC и ABEC равновелики, т.к. CBF = ABE, ICF равновелик ACE. Отнимая от обоих четырехугольников общий им треугольник ABC, получим: c + b = a т.е. c + b = a.
VІ Применение
Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в практической жизни. Область применения теоремы достаточно обширна. Применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали ее для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии. Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. О теореме Пифагора писали в своих произведениях писатели Плутарх, инженер Витрувий, греческий ученый Диоген, математик Прокл. Не всякое математическое положение удостаивается такого внимания поэтов и писателей.
VІІ Пифагоровы тройки
Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x + y = z). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.
Поскольку уравнение x + y = z однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x ,y, z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).
Некоторые Пифагоровы тройки:
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.
VІІІ Заключение
В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.
ІX Литература
1 Шепан Еленьский «По следам Пифагора», детгиз 1961г. занимательная математика
2 В. Ф. Асмус «Античная философия». Москва «Высшая школа» 1976г.
3 «Энциклопедический словарь юного математика», «Педагогика» 1985г.
4 Большая математическая энциклопедия для школьников.
5 Интернет источники:
http://th-pif.narod.ru/formul.html
http://bankreferatov.ru/
6М.В.Ткачева Домашняя математика, Москва, Просвещение ,1994г.
7 З.А.Скопец Геометрические миниатюры, Москва, Просвещение,1990г.