Теорема тейлора

СОДЕРЖАНИЕ: Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд). Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:

Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D , в окрестности каждой точки z ₀ этой области представляется в виде степенного ряда :
(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z ₀ до границы области D .
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

(2)

где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z ₀ (в частности, - окружность ), или по формуле:

(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z ₀ до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

Основные разложения.

(z принадлежит области комплексных чисел);

Пример 1 . Записать разложение по степеням z функции f (z ) = ch z .

Найдем производные функции:
f ⁽ⁿ⁾ (z ) = ch⁽ⁿ⁾ z = ch z при n= 2k ,
f ⁽ⁿ⁾ (z ) = ch⁽ⁿ⁾ z = sh z при n = 2k -1.

В данном примере z ₀ = 0. По формуле (3) имеем:
C_n = 0 при n = 2k ; C_n = 1/n ! при n = 2k- 1;
.

Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
(z принадлежит области действительных чисел).

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2 . Разложить по степеням (z -3) функцию f (z ) = sin z .

Обозначим z -3 = t . Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t ) = sin3 cos t +cos3 sin t .

Используя основные разложения, имеем:

Так как t = z -3, то

т.е.

где

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3 . Разложить по степеням z функцию

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:

Раскладываем элементарные дроби по степеням z :

Для исходной дроби получаем разложение:

или, складывая ряды:

Окончательный ответ:

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f (z ), аналитическая в кольце
r | z - z ₀ | R ,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z ₀ ; в частности,
- окружность

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f (z ).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f (z ) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z ₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z ₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z .

Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z ₁ = -1 и z ₂ = 3. Запишем функцию в виде

Кольца аналитичности | z | 1, 1 | z | 3, | z | 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:

При | z | 1 имеем:

Таким образом, в круге | z | 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:

В кольце 1 | z | 3:

В итоге имеем:

В круге | z | 3:

В итоге имеем:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Разложить функцию f (z ) = z ³ ·e ^1/z в окрестности точки z ₀ = 0.

Решение. Из основного разложения получаем

или

Вычет функции ~ Вычисление вычетов

Вычетом функцииf(z) в изолированной особой точке z ₀ (точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида:

где - контур, принадлежащий окрестности точки z ₀ и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z ₀ при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.

Обозначается вычет

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С _-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z -z ₀ ) для z ₀ , принадлежащей области комплексных чисел:

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z ₀ является устранимой особой точкой функции f (z ), то

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

Если z ₀ - полюс порядка n функции f (z ), z ₀ принадлежит области комплексных чисел, то

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

Если z ₀ - простой полюс функции ,
где аналитические функции в точке z ₀ и ,
то

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

Если z ₀ - существенно особая точка функции f (z ), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С _-1 - коэффициент в разложении f (z ) в ряд Лорана в окрестности z ₀ .

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z² -2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:

Из этого разложения находим

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,

Решение.

Запишем

т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Вычислить вычет функции

Так как то z = 0 для f (z ) - полюс второго порядка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4 . Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.

Решение.

В точках данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку

Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 5 . Вычислить вычет функции

Решение.

Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z = 1:

Из этого разложения следует, что z = 1 является существенной особой точкой и
С _-1 = 3/2, т.е.

Теорема о вычетах ~ Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f (z - аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

где D - односвязная область в комплексной плоскости, - граница D ,
- вычет функции f (z ) в точке z_k .

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z ) - i = 0, т.е. точки

Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка

Эта точка - простой полюс функции , т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z ):

Тогда

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z = 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.

Вычислим вычет в существенно особой точке функции f (z ): поскольку