Теория игр

СОДЕРЖАНИЕ: Предмет и задачи теории игр. Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях. Решение игр графическим методом. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования. Разработка элективного курса Элементы теории игр в начальной школе.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра информатики и методики преподавания информатики

Квалификационная работа

ТЕОРИЯ ИГР В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Исполнитель:

Новикова Ксения Сергеевна,

студентка группы 591

Научный руководитель:

Дмитриева О.А.,

ассистент кафедры ИМПИ

Зав. кафедрой:

Матрос Д. Ш.,

докт. пед. наук, профессор

Дата допуска к защите:

Челябинск 2007

Содержание

Введение

Глава I Основные положения Теории игр

1.1 Предмет и задачи теории игр

1.2 Решение матричной игры в чистых стратегиях

1.3 Решение матричной игры в смешанных стратегиях

1.4 Решение игр графическим методом

1.5 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

1.6 Игры с природой

Выводы по I главе

Глава II Разработка элективного курса “Элементы теории игр в начальной школе”

2.1 Место компьютера в начальной школе

2.3 Игра как метод обучения в начальной школе

2.4 Анализ программ и стандарта по информатике в начальной школе

2.5 Элективный курс

2.6 Педагогический эксперимент

2.7 Описание программного продукта

Выводы по II главе

Заключение

Список использованной литературы

Приложения

Введение

Теория игр была основана Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном в их первой работе The Theory of Games and Economic Behavior, изданной в 1944 году. В 1928 году в математических анналах фон Нейманом была опубликована статья О теории общественных игр, в которой впервые было применено понятие теория игр. Использование этого понятия объясняется схожестью логики принятия решений в таких играх, как шахматы и покер. Характерным для таких ситуаций является то, что результат для принимающего решение зависит не только от его решения, но и от того, какое решение примут другие. Поэтому оптимальный исход не может быть получен в результате принятия решения одним лицом.

Другим предшественником теории игр по праву считается французский математик Э. Борель (1871-1956). Некоторые фундаментальные идеи были независимо предложены А. Вальдом (1902-1950), заложившим основы нового подхода к статистической теории принятия решений.

Первые приложения теория игр нашла в математической статистике. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Ее использовали как плодотворный источник теоретических моделей в экономике и социологии. Методы теории игр используются также в теории операций и в линейном программировании.

В начальной школе для обучения детей используют различные правила и инструкции, поэтому в этом возрасте можно развивать у них алгоритмическое мышление, которое не только приводит к более прочному усвоению знаний, но и к вхождению в компьютерный мир.

Изучение Теории игр в начальной школе поможет сформировать у детей умение анализировать условие задачи, продумывать последовательность действий, направленных на ее выполнение. Контролировать правильность своих действий на всех этапах работы и корректировать их в случаях допущенной ошибки, то есть направить учащихся на формирование широкого спектра умений, которые будут необходимы в дальнейшей учебной и учебно-трудовой деятельности ребенка, а в будущем и любой профессиональной деятельности.

Цель: изучение теоретических положений по теории игр и создание элективного курса Элементы теории игр в начальной школе с методической поддержкой.

Объект исследования: Теория игр

Предмет исследования: Обучение теории игр в начальной школе.

Задачи исследования:

изучить теоретический материал

отобрать задачи для практической реализации

разработать алгоритмы решения задач

программно реализовать отобранные задачи

разработать элективный курс

создать электронное пособие

Гипотеза: если в процессе обучения использовать понятие выигрышной стратегии, то это будет способствовать развитию логического мышления и сообразительности у младших школьников, а также повысит общий уровень подготовки по информатике.

Новизна работы заключается в следующем:

На данный момент не существует школьного курса по теме теории игр в начальной школе.

Создана программная поддержка, позволяющая осуществить эффективное изучение данной темы в начальной школе.

Разработан элективный курс “Элементы теории игр в начальной школе и программно-методическая поддержка к нему.

Глава I Основные положения Теории игр

1.1 Предмет и задачи теории игр

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях - отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой - стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.

Определение 1. Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.

Игра - это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры - это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шашки, шахматы, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающего победой (выигрышем) того или иного игрока.

Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется и при анализе других конфликтных ситуаций: стороны, участвующие в них, условно именуются игроками , а результат столкновения - выигрышем одной из сторон.

Определение 2.Под правилами игры подразумевается система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон.

Определение 3. Стратегией игрока называется совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Определение 4. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основное предположение, исходя из которого находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Всякая игра состоит из отдельных партий.

Определение 5. Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом.

В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.

Определение 6. Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например с применением таблицы случайных чисел. Примером могут служить бросание монеты или игральной кости.

Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков.

Определение 7.Если в игре игроки объединяются в две группы, преследующие противоположные цели, то такая игра называется игрой двух лиц (парная игра).

В зависимости от количества стратегий в игре они делятся на конечные или бесконечные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коалиционные, или кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой.

Определение 8. Игрой с нулевой суммой называется игра, в которой общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш).

В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи.

По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др.

Определение 9. Матричной игрой (при двух участниках) называется игра, в которой выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока) задаются матрицей.

В биматричных играх выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции. По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.

В реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для партнера ответных действий, но не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в равной мере неопределенность ситуации для каждого из партнеров.

Определение 10.Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называются стратегическими.

Однако в экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином природа всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда статистиком, а соответствующую игру - статистической) приходится принимать решение. Например, выбор агрономической службой сельскохозяйственного предприятия участков для посева той или иной культуры в надежде получить в предстоящем году наилучший урожай; определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает: в первом примере - в буквальном смысле природа; во втором - уровень спроса; в третьем - размеры ожидаемой прибыли.

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх природа, будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (будем говорить: реализовывать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

В дальнейшем мы будем рассматривать только парные матричные игры с нулевой суммой. Так как в случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы - стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. [9, 16, 17, 40, 46]

1.2 Решение матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий А _i , , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий В _j , . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно a_ij и - a_ij . Цель игрока А - максимизировать величину a_ij , а игрока В - минимизировать эту величину.

Определение 1. Матрица, составленная из величин a_ij , , ,

называется платежной матрицей, или матрицей игры. Каждый элемент платежной матрицыa_ij , , равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию А _i , , а игрок В выбирал стратегию В _j , .

Пример. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия): А ₁ (записать 1), А ₂ (записать 2), А ₃ (записать 3); у второго игрока также три стратегии: В ₁ , В ₂ , В _{3 (} табл.1).

Таблица 1

В 1 = 1	В 2 = 2	В 3 = 3
А 1 = 1	0	-1	-2
А 2 = 2	1	0	-1
А 3 = 3	2	1	0

Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока - минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Платежная матрица имеет вид

.

Задача каждого из игроков - найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию А _i , , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

.

Определение 2. Величина a - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия A_{i опт} , обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше a.

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии В _j , в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию B_{j опт} , при которой его проигрыш будет минимальным и составит

.

Определение 3. Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия B_{j опт} , обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше b.

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство ab.

Определение 4. Если a = b = v, т.е.

= ,

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Определение 5. Если a = b = v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы а _{iопт jопт} = v, соответствующий паре оптимальных стратегий ( A_{i опт} , B_{j опт} ), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

,

a = a _{3 -} нижняя цена игры.

,

b = b _{3 -} верхняя цена игры.

Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока - А₃ , второго - B ₃ . Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В ₃ увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Определение 7. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, крестики-нолики и т.д.

Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v . Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Указать откуда это взялось, т.е. указать ссылки

1.3 Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a b и , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Определение 1. Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m n , стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (x ₁ , x ₂ ,..., x_m ), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m -мерные векторы, для координат которых выполняются условия

, x_i 0, .

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n -мерные векторы (y ₁ , y ₂ ,..., y_n ), для координат которых выполняются условия

= 1, y_j 0, .

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен

.

Теорема 1. (Неймана. Основная теорема теории игр ) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: av b. Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

, .

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия _опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

, .

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.

Определение 2. Дублирующими называются стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.

Определение 3. Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k-й строки, то i-я стратегия игрока А называется доминирующей над k-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-го столбца, то j-я стратегия игрока В называется доминирующей над k-й стратегией.

Пример. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей

.

a = max ( 2, 2, 3,2) = 3, b = min ( 7, 6, 6, 4,5) = 4, a b , .

Все элементы стратегии А ₂ меньше элементов стратегии А ₃ , т.е. А ₂ заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить. Все элементы А ₄ меньше А ₃ , исключаем А ₄ .

.

Для второго игрока: сравнивая В ₁ и В ₄ , исключаем В ₁ ; сравнивая В ₂ и В ₄ , исключаем В ₂ ; сравнивая В ₃ и В ₄ , исключаем В ₃ . В результате преобразований получим матрицу

.

a = max ( 2,3) = 3, b = min ( 4,5) = 4, a b , .

1.4 Решение игр графическим методом

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай. Рассмотрим игру (2 2) с матрицей

без седловой точки. Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x ₁ , x ₂ ) и (y ₁ , y ₂ ), где x ₁ - вероятность применения первым игроком первой стратегии,x ₂ - вероятность применения первым игроком второй стратегии,y ₁ - вероятность применения вторым игроком первой стратегии,y ₂ - вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что

x ₁ + x ₂ = 1, y ₁ + y ₂ = 1.

Найдем решение игры графическим методом. На оси О X отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А ₁ , правый (x = 1) - стратегии А ₂ . Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x ₁ , x ₂ ) первого игрока, где x ₁ =1 - x ₂ . Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси О X , на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В ₁ , то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А ₁ и А ₂ составит соответственно а ₁₁ и а ₂₁ . Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В ₁ В ₁ . Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М , лежащая на этом отрезке. (см. рис.1)

В1 а21

М

В1

а11

х2 х11 Х

Рис.1. Подписать рисунок

Аналогично строится отрезок В ₂ В ₂ , соответствующий стратегии В ₂ игрока В.

Определение 1. Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша , получаемого игроком А.

Определение 2. Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, называются активными стратегиями.

В игре (2 2) обе стратегии являются активными.

В1 а21

В2

а12 К

В2 а22

В1

а11 v

О х2 N х1 1 Х

Рис.2.

Ломаная В ₁ КВ ₂ является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка К , в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

x ₁ + x ₂ = 1, получим , , (1)

. (2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

y ₁ + y ₂ = 1,

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

. (3)

Пример 1. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max ( 1,1) = 1, b = min ( 3,2) = 2, a b , . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.3)

Рис.3.

По формулам (1) - (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

x ₁ = 1/3, x ₂ = 2/3; y ₁ = 2/3, y ₂ = 1/3; v =5/3.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (1/3, 2/3) и (2/3, 1/3), цена игры составляет v =5/3.

Данный ответ означает следующее:

если первый игрок с вероятностью 1/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 2/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 5/3;

если второй игрок с вероятностью 2/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 1/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 5/3.

Второй случай. Рассмотрим игру (2 n ) с матрицей

.

Для каждой из n стратегий игрока В строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наибольшему выигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока В, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока В. Игра сводится к игре с матрицей (2 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max ( 1,1) = 1, b = min ( 4, 3, 3,4) = 3, a b , .

Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.4)

Рис.4.

Нижней границей выигрыша для игрока А является ломаная В ₃ КВ ₄ . Стратегии В ₃ и В ₄ являются активными стратегиями игрока В. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Второму игроку невыгодно применять стратегии В ₁ и В ₂ , поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. у ₁ = у ₂ = 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2 2)

.

a = max ( 1,1) = 1, b = min ( 3,4) = 3, a b , .

По формулам (1) - (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

x ₁ = 2/5, x ₂ = 3/5; y ₃ = 3/5, y ₂ = 2/5; v =11/5.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (2/5, 3/5) и (0, 0, 3/5, 2/5), цена игры составляет v =11/5.

Данный ответ означает следующее:

если первый игрок с вероятностью 2/5 будет применять первую стратегию и с вероятностью 3/5 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 11/5;

если второй игрок с вероятностью 3/5 будет применять третью стратегию, с вероятностью 2/5 четвертую и не будет использовать первую и вторую стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 11/5.

Третий случай. Рассмотрим игру (m 2) с матрицей

.

Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из m стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости.

Находится верхняя граница проигрыша, получаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку.

Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

Пример 3. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max ( 3, 2, 0, - 1) = 3, b = min ( 4,6) = 4, a b , . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям первого игрока. (см. рис.5).

Рис.5.

Верхней границей проигрыша для игрока В является ломаная А ₁ КА ₄ . Стратегии А ₁ и А ₄ являются активными стратегиями игрока А. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Первому игроку невыгодно применять стратегии А ₂ и А ₃ , поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. x ₂ = x ₃ = 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2 2)

.

a = max ( 3, - 1) = 3, b = min ( 4,6) = 4, a b , .

По формулам (1) - (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

x ₁ = 7/8, x ₄ = 1/8; y ₁ = 3/8, y ₂ = 5/8; v =27/8.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (7/8, 0, 0, 1/8) и (3/8, 5/8), цена игры составляет v =27/8.

Данный ответ означает следующее:

если первый игрок с вероятностью 7/8 будет применять первую стратегию, с вероятностью 1/8 четвертую и не будет использовать вторую и третью стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 27/8;

если второй игрок с вероятностью 3/8 будет применять первую стратегию и с вероятностью 5/8 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 27/8.

1.5 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x ₁ , x ₂ ,..., x_m ) и (y ₁ , y ₂ ,..., y_n ). Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(1)

где

, . (2)

По условию x ₁ + x ₂ + … +x _m = 1.

Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x ₁ , x ₂ ,..., x_m ) игрока А должна максимизировать величину v , следовательно, функция

(3)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (3) при ограничениях (1), причем на переменные наложено условие неотрицательности (2). Решая ее, находим значения , и величину1/v , затем отыскиваются значения x _i = vt _i .

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия _опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(4) где , . (5)

По условию y ₁ + y ₂ + … +y _n = 1. Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (y ₁ , y ₂ ,..., y_n ) игрока В должна минимизировать величину v , следовательно, функция

(6)

должна принимать максимальное значение.

Получена задача линейного программирования: найти максимум целевой функции (6) при ограничениях (4), причем на переменные наложено условие неотрицательности (5).

Таким образом, для нахождения решения игры имеем симметричную пару двойственных задач линейного программирования. Можно найти решение одной из них, а решение второй находится с использованием теории двойственности.

Пример. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max ( 2, 3,1) = 3, b = min ( 4, 5, 6,5) = 4, a b , .

Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий.

Для определения оптимальной стратегии игрока А имеем следующую задачу линейного программирования:

,

, .

Для нахождения оптимальной стратегии игрока В имеем следующую задачу линейного программирования:

,

, .

Оптимальные решения пары двойственных задач имеют вид

, , .

Учитывая соотношения между x _i и t _i , y _j и s_j , а также равенство

,

можно найти оптимальные стратегии игроков и цену игры:

(1/2, 1/2, 0), (3/4, 0, 0, 1/4), v =7/2.

1.6 Игры с природой

В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

.

Пусть игрок Аимеет стратегии А ₁ , А ₂ , …, А _m , а природа - состояния В ₁ , В ₂ , …, В _n . Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность p_j каждого состояния природы В _j . При этом, если учтены все возможные состояния, p ₁ + p ₂ + … + p_j + … +p_n = 1.

Если игрок Авыбирает чистую стратегию А _i, то математическое ожидание выигрыша составитp ₁ a_{i 1} + p ₂ a_{i 2} + … + p_n a_in . Наиболее выгодной будет та стратегия, при которой достигается

(p ₁ a_{i 1} + p ₂ a_{i 2} + … + p_n a_{in )} .

Если информация о состояниях с природой мала, то можно применить принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому можно считать, что все состояния природы равновероятностны:

,

т.е. стратегию, для которой среднее арифметическое элементов соответствующей строки максимальное.

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.

2. Критерий максимума . Он выбирается из условия

.

Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет наиболее благоприятна для человека.

3. Критерий Гурвица . Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

,

где a - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При a = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при a = 0 - в критерий максимума. На a оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем a ближе к единице.

4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле

,

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Оптимальная стратегия определяется выражением

.

При принятии решений в условиях неопределенности следует оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

Пример. Возможно строительство четырех типов электростанций: А ₁ (тепловых), А ₂ (приплотинных), А ₃ (бесшлюзовых), А ₄ (шлюзовых). Состояния природы обозначим через Р ₁ , Р ₂ , Р ₃ , Р ₄ . Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей

.

1) Согласно критерию Вальда

,

следует строить бесшлюзовую электростанцию.

2) Воспользуемся критерием Сэвиджа. Построим матрицу рисков:

.

Согласно критерию Сэвиджа определяем

.

В соответствии с этим критерием также предлагается строить бесшлюзовую электростанцию.

3) Воспользуемся критерием Гурвица. Положим a=1/2.

,

т.е. следует принять решение о строительстве приплотинной электростанции.

4) Если принять известным распределение вероятностей для различных состояний природы, например считать эти состояния равновероятностными (р ₁ =р ₂ =р ₃ =р ₄ =1/4), то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

,

,

,

.

Так как максимальное значение имеет М ₃ , то следует строить бесшлюзовую электростанцию. [16, 18, 21, 25, 27, 49]

Выводы по I главе

Таким образом, в первой главе были рассмотрены основные теоретические положения и определения теории игр. Было сформулировано и дано определение теории игр, а также были затронуты такие понятия как: игра, правила игры, стратегия, оптимальная стратегия, партия, ход.

В результате изучения основных характеристик игры, можно сказать, что очень важна эффективность принимаемых решений в ходе конфликта (игры) каждой из сторон, что также существенно зависит и от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как им обеим приходится принимать решения в условиях неопределенности.

Важной проблемой является и то, что не всегда при выборе оптимальной стратегии вам удастся достичь желаемого результата.

Исходя из того, что игра зависит от многих параметров, были представлены различные виды игр и способы их решения:

Решение матричной игры в чистых стратегиях.

Решение матричной игры в смешанных стратегиях.

Решение игр графическим методом.

Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Игры с природой.

Анализ литературы показал, что в настоящее время применение основных положений теории игр очень велико в различных областях науки и техники. Ей интересуются не только математики, но и военные, использующие ее в качестве аппарата стратегических решений. Социологи и экономисты нашли в ней плодотворный источник теоретических моделей.

Как результат изложения теоретического материала в первой главе, был рассмотрен необходимый объем знаний, для формирования элективного курса, направленного на развитие логического мышления и интеллектуальных способностей учащихся начальной школе.

Глава IIРазработка элективного курса “Элементы теории игр в начальной школе”

2.1 Место компьютера в начальной школе

Почему маленьким детям на уроке не всегда интересно? То устанут, то скука одолеет. Почему жизнь школы порой непохожа на цветной, яркий мир, который сопровождает ребенка в его общении с друзьями и книгами? Школа и школьная жизнь должна увлекать ребенка, вводя его в удивительный мир познания.

Вот тут-то на помощь и приходит компьютер со своим занимательным и познавательным миром. Диапазон использования компьютера в учебно-воспитательном процессе возрастает все больше: от тестирования учащихся, учета их личностных особенностей до игры. Компьютер может быть как объектом изучения, так и средством обучения, т.е. возможны два вида направления компьютеризации обучения: изучение информатики и также его использование при изучении различных предметов. При этом компьютер является мощным средством повышения эффективности обучения. [23]

Многие приходят к убеждению, что в результате полученных знаний о компьютерах и приобретенных навыков работы с ними дети будут лучше подготовлены к жизни и материальному благополучию в меняющемся мире.

Компьютер позволяет усилить мотивацию ученика. Не только новизна работы с компьютером, которая сама по себе способствует повышению интереса к учебе, но и возможность регулировать предъявление учебных задач по степени трудности, поощрение правильных решений позитивно сказывается на мотивации.

Кроме того, компьютер позволяет полностью устранить одну из важнейших причин отрицательного отношения к учебе - неуспех, обусловленный непониманием, значительными пробелами в знаниях. Работая на компьютере, ученик получает возможность довести решение задачи до конца, опираясь на необходимую помощь.

Компьютер позволяет существенно изменить способы управления учебной деятельностью, погружая учащихся в определенную игровую ситуацию, давая возможность учащимся запросить определенную форму помощи, излагая учебный материал с иллюстрациями, графиками и т.д.

Компьютер способствует формированию у учащихся рефлексии своей деятельности, позволяет учащимся наглядно представить результат своих действий.

Применение компьютерной техники делает урок привлекательным и по-настоящему современным, происходит индивидуализация обучения, контроль и подведение итогов проходят объективно и своевременно [34].

Включение игровых предметов может быть использовано и для закрепления изученного материала, обобщения при показе основных приемов работы.

2.2 Методы и приемы обучения в начальной школе

Проблема методов обучения является одной из важнейших в педагогической науке и в практике школьного обучения, особенно если это касается начальной школы, так как учебные методы - это главные инструменты, с помощью которых учитель вооружает учащихся основами наук, развивает у них познавательные способности, обеспечивает развитие личности, формирует научное мировоззрение. От выбора и характера использования того или иного метода зависит, будет ли учебный труд для детей радостным и интересным или обременительным, выполняемым лишь для отбытия повинности. [38]

От методов зависят результативность и плодотворность обучения. Методы определяют творчество учителя, эффективность его работы, усвоения учебного материала и формирования качеств личности ученика.

Учитель выступает в роли посредника между знаниями, зафиксированными в опыте человечества, и сознанием ребенка, который не имеет этих знаний.

Учитель предлагает путь познания, по которому должен идти ученик, чтобы усвоить определенные стороны опыта человечества. Но учитель не просто передает знания, подобно электронно-вычислительной машине, а организует определенные пути, способы, приемы усвоения учебного материала. [35]

Методы обучения зависят также от анатомо-физиологических, биологических особенностей развивающегося организма. В процессе организации познавательной деятельности учащихся нужно учитывать их возрастное биологическое развитие, от которого зависят многие компоненты обучения: работоспособность, утомление, состояние творчества, физическое здоровье. [38]

Одной из проблем, волнующей учителей является вопрос, как развить у ребенка устойчивый интерес к учебе, к знаниям и потребность в их самостоятельном поиске. Решение этих задач опирается на мотивационно-потребностную сферу ребенка. Ученики начальной школы не могут учиться для самих себя. Иногда они учатся за оценку, иногда за похвалу иногда, за подарки. Но любому из этих мотивов приходит конец. Поэтому учителю необходимо формировать учебную мотивизацию на основе познавательного интереса. Ребенку должна нравиться его деятельность, и она должна быть ему доступна.

Очень часто при постановке задачи перед учениками учитель спрашивает, знают ли они что-нибудь в этой области и смогут ли решить поставленную задачу самостоятельно. Даже если ученики однозначно отказываются от принятия самостоятельных решений, учитель должен постараться путем логических вопросов подвести учащихся к выводу не давая готовых знаний сразу.

На уроках информатики в начальной школе в условиях обычной классно-урочной системы учителями успешно используются следующие методы и формы обучения, позволяющие эффективно построить учебный процесс с учетом специфических особенностей личности школьника:

диалоги;

работа в группах;

игровые методики;

информационные минутки;

эвристический подход; [12]

Также нельзя забывать и о наглядных методах обучения, которые способствуют развитию памяти, мышления, воображения. Наглядные методы обучения - это такие методы обучения, при которых усвоение учебного материала в процессе обучения зависит от применения наглядных пособий и технических средств. Характер наглядных пособий существенно влияет на понимание учебного материала, определяет содержание и структуру мысли ученика.

Среди наглядных методов обучения выделяют наблюдение, иллюстрацию и демонстрацию. Благодаря наблюдению возможно возбудить у учащихся интерес к окружающей жизни и научить анализировать природные и социальные явления, а также научить их концентрировать внимание на главном, выделять особые признаки. Благодаря демонстрации внимание учащихся оказывается направленным на существенные, а неслучайно обнаруженные, внешние характеристики рассматриваемых предметов, явлений, процессов. Иллюстрация особенно хорошо используется при объяснении нового материала.

При проведении урока в начальной школе следует еще учитывать и такие методы:

методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности;

методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности;

методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности.

Существуют и другие классификации, например, простая классификация методов обучения именуемая бинарным, разработанная Махмутовым инициалы и ссылка:

К первой группе относятся способы преподавания: рассказ, беседа, описание, объяснение, в которых главенствующая роль принадлежит учителю. Задачи ученика сводятся к тому, чтобы следовать логике рассуждений учителя, понять излагаемое содержание, запомнить и в последующем уметь воспроизвести изученный материал. Словесные методы обучения требуют от учителя логической последовательности и доказательности в объяснении, достоверности материала, образности и эмоциональности изложения, литературно правильной, четкой речи.

Ко второй группе относятся способы учения: упражнения, самостоятельные, практические и контрольные работы.

При решении поставленной задачи лучше всего применять следующие методы:

Частично-поисковый метод, называемый иногда эвристическим, включает в себя элементы репродуктивной и поисковой деятельности. Суть метода заключается в том, что учащимся не дается окончательное решение задачи, часть посильных вопросов им предлагается решить самостоятельно.

Проблемный метод обучения предусматривает постановку определенных проблем, которые решаются в результате творческой деятельности учащихся. Этот метод раскрывает перед учащимися логику научного познания.

Исследовательский метод следует рассматривать как высшую ступень творческой деятельности учащихся, в процессе которой они находят решения новых для них задач. Исследовательский метод формирует у учащихся знания и умения, которые обладают высокой степенью переноса и могут применяться в новых трудовых ситуациях.

2.3 Игра как метод обучения в начальной школе

Бурное развитие новых информационных технологий и внедрение их в школы последние несколько лет наложили определенный отпечаток на развитие личности современного ребенка. Мощный поток новой информации, рекламы, применение компьютерных технологий в телевидении, распространение игровых приставок, электронных игрушек и компьютеров оказывают большое влияние на воспитание ребенка и его восприятие окружающего мира. Существенно изменяется и характер его любимой практической деятельности - игры.

Игра по своей сути содействует развитию познавательных сил учащихся; стимулирует творческие процессы деятельности; способствует разрядке напряженности; снимает утомление; создает благополучную атмосферу учебной деятельности; содействует развитию интереса к учению.

Включение игровых предметов может быть использовано и для закрепления изученного материала, обобщения при показе основных приемов работы, позволяет ребенку активно включаться в творческий процесс, развивать воображение и фантазию, помогает видеть новое его решение в той или иной технике, обогащать первоначальный замысел. [15]

В настоящее время проведение уроков на основе игровых методик при обучении информатике в младших классах выходит на первый план. Это связано с тем, что эти методики, включая в себя практически все формы работы (диалог, работа в группе и т.д.), предоставляют широкие возможности для творческой деятельности, интеллектуального развития ребенка.

На уроках информатики в младших классах учитель вынужден всегда создавать свой новый, комбинированный тип игры. Как известно, игра дает перерыв в повседневности с ее утилитаризмом, монотонностью, с ее жесткой детерминацией образа жизни. Игра дает порядок. Система правил в игре абсолютна и несомненна. Невозможно нарушать правила и быть в игре. Это качество порядка очень ценно в нашем нестабильном, беспорядочном мире. Игра дает возможность создать и сплотить коллектив. Привлекательность игры столь велика и игровой контакт людей друг с другом столь полон и глубок, что игровые содружества обнаруживают способность сохраняться и после окончания игры, вне ее рамок.

Игра дает элемент неопределенности, который возбуждает, активизирует ум, настраивает на поиск оптимальных решений.

Игра дает понятие о чести, о самоограничении и самопожертвовании в пользу коллектива.

Игра дает развитие воображения, поскольку оно необходимо для создания новых миров, мифов, ситуаций, правил игры.

Однако четкую границу провести между функциями игры невозможно, Каждая игра чему-то учит, воспитывает определенные качества у игроков и в то же время обеспечивает достижение развлекательной цели. [12]

2.4 Анализ программ и стандарта по информатике в начальной школе

Изучив стандарт по технологии в начальной школе, оказалось, что информатика изучается в рамках предмета Технология как отдельный модуль с 3 класса.

Так как ведущей деятельностью у детей этого возраста является игра, поэтому мы считаем, что целесообразно вводить элементы теории игр.

Были проанализированы самые распространенные программы по информатике для начальной школы авторов А.В. Горячева, Матвеевой Н.В. и А.Л. Семенова. На основе анализа можно выделить следующее:

Программа А.В. Горячева:

Среди основных направлений (линий) развития учащихся средствами предмета Информатика можно выделить: умение распознавания недостающей информации, определение стратегии ее поиска, получение, оценивание и использование недостающей информации могут осваиваться в процессе обучения другим разделам информатики за счет специальным образом составленных заданий.

Цели: формирование общеучебных и общекультурных навыков работы с информацией - развитие у школьников теоретического, творческого мышления, формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений, а также умение грамотно пользоваться источниками информации, умение правильно организовать информационный процесс, оценить информационную безопасность и т.д.

Задачи:

алгоритмический подход к решению задач - умение планирования последовательности действий для достижения какой-либо цели, а также решения широкого класса задач, для которых ответом является не число или утверждение, а описание последовательности действий;

создание кругозора в областях знаний, тесно связанных с информатикой: знакомство с графами, комбинаторными задачами, логическими играми с выигрышной стратегией (начинают и выигрывают) и некоторыми другими. [48]

Программа А.Л. Семенова:

В основу построения теоретического курса положен ряд принципов, просмотрев их к нашей теме можно выбрать только это: ясные правила игры, одинаково понимаемые учителем и учеником;

Требования к знаниям и умениям учащихся, заканчивающим начальную школу :

иметь представление о построении выигрышных стратегий в играх с полной информацией;

иметь представление о вероятности и случайности на игровых примерах;

участвовать в коллективном обсуждении и совместной деятельности, понимать и строго соблюдать установленные правила игры. [47]

Программа Н.В. Матвеевой:

Цель: формирование умения строить простейшие информационные модели и использовать их при решении учебных и практических задач, в том числе при изучении других школьных предметов.

В этой программе не уделяется внимание теории игр. []

2.5 Элективный курс

“Элементы теории игр в начальной школе”

Пропедевтический курс информатики направлен на формирование у учащихся знаний, умений и навыков, отвечающих за первоначальное знакомство детей с предметом информатики.

Отличительной особенностью обучения информатике на данной ступени является специфический набор методов, которые необходимо применять в ходе ведения урока.

Именно поэтому данный элективный курс предполагает под собой набор логически связанных уроков в форме игры.

Учебный курс “Теория игр предназначен для изучения в 3-4 классов общеобразовательной школы.

Курс является элективным. Курс рассчитан на 10 часов, которые проводятся в течение учебного времени по 1 часу в неделю.

Этот курс формирует у учащихся необходимые знания по Теории игр и об ее основных понятиях. Ученики получат представление об основных понятиях, о способах построения структурных деревьев и решения типовых задач.

Данный курс способствует развитию интеллектуальных способностей, логического мышления и познавательных интересов школьников. Изучение предмета содействует дальнейшему развитию таких умений, как: правильное составление программ, моделирование, прогнозирование, организация собственной деятельности.

Цель:

Обеспечить овладение учащимися основами знаний по теме “Теория игр и на этой основе расширить представления о правилах игры, видах игр, стратегиях, а также научить применять полученные навыки на практике при решении различных задач (игровых ситуаций).

Задачи:

Познакомить с понятиями игра, правила игры, игроки, стратегия, ход, партия.

Показать отличие обычной стратегии от выигрышной (оптимальной) стратегии.

Продемонстрировать примеры работы программы Теория Игр для того, чтобы наглядно показать игровые ситуации.

Научить строить “дерево игры.

Научить решать задачи с поиском выигрышной стратегии.

Компетенция:

Применять полученные знания во время (при решении) игры или ситуации схожей с ней.

Требования к уровню сформированности ключевых компетенций учащихся.

Таблица 2

Уровень I	Уровень II	Уровень III
Решение проблем	1. Демонстрирует понимание поставленной задачи (игровой ситуации), 2. Демонстрирует понимание последовательности действий при решении данной задачи,	1. Высказывается по поводу предполагаемого результата и демонстрирует свой способ решения в вид структурированного дерева.	1. На основе построенного дерева определяет выигрышную стратегию.

Критерии оценки уровня сформированности ключевых компетентностей учащихся.

Таблица 3

1 балл	2 балла	3 балла	4 балла	5 баллов	6 баллов
Решение проблем	Ученик подтвердил понимание поставленной перед ним задачи.	Ученик выявил что ему известно и что нужно найти.	Ученик описал поставленную перед ним задачу и объяснил последовательность своих действий при решении.	Ученик представил дерево решения задачи.	Ученик интерпретировал условия задачи в обратную сторону, то есть по дереву определил условие задачи.	Ученик решил задачу оптимальным способом, то есть определил выигрышную стратегию.

Требования к учащимся до освоения курса (по всем предметам):

Знать

таблицу сложения и вычитания однозначных чисел;

правила порядка выполнения действий в числовых выражениях;

назначение основных устройств компьютера;

Уметь

выполнять инструкции при решении учебных задач;

решать текстовые задачи арифметическим способом (не более 2 действий);

чертить с помощью линейки отрезок заданной длины

получать необходимую информацию об объекте деятельности, используя рисунки, схемы, эскизы, чертежи (на бумажных и электронных носителях);

проверять правильность выполненных вычислений

сравнения и упорядочения объектов по разным признакам: длине, площади, массе, вместимости;

решения задач, связанных с бытовыми жизненными ситуациями (покупка, измерение, взвешивание и др.);

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

овладения нормами русского речевого этикета в ситуациях повседневного общения.

ведения диалога, построения монологических высказываний в условиях бытового общения;

решения учебных и практических задач с применением возможностей компьютера;

изменения и создания простых информационных объектов на компьютере.

Требования к уровню подготовке учащихся:

После изучения курса учащиеся должны

Знать/понимать

Определения игры (игровой ситуации).

Основные понятия: ход, виды ход, стратегия, правила игры

Различные классификации игр.

Назначение “дерева игры

Уметь

Определять выигрышную стратегию

Строить “дерево игры” по условию задачи

Решать задачи по образцу

Решать задачи с применением оптимального поиска решения

Таблица 4

Тематическое планирование:

№	Тема	Требования к подготовке (цели обучения)	Всего часов	Теория	Практика
1	Игра что это такое? (сферы применения игр, виды игр, примеры игр).	Знать/понимать Что такое игра, виды игр уметь Приводить примеры игр (не компьютерных) или игровых ситуаций	1	+	+
2	Основные понятия: игра, игроки, правила, ход, стратегии.	Знать Основные понятия: игра, игроки, правила, ход, стратегии.	1	+	+
3	Знакомство с программой “Теория игр в начальной школе”	Знать Назначение всех кнопок и то как запустить выбранную игру Уметь Выполнять действия предусмотренные программой.	1	+
4	Стратегия: понятие, виды. Оптимальный способ решения или выигрышная стратегия.	Знать Определение стратегии. Уметь Определять наиболее оптимальную стратегию, которая приведет к требуемому решению	1	+	+
5	Строим дерево игры (игровой ситуации) (1 часть).	Уметь Объяснить по уже готовому дереву суть самой игровой ситуации	1	+	+
6.	Строим дерево игры (игровой ситуации) (2 часть).	Уметь По дереву определять условие задачи. Определять выигрышную стратегию по дереву задачи. Строить самим дерево задачи (игры, игровой ситуации).	1	+
7	Решение однотипных игр в картинках.	Уметь Подтвердить понимание поставленной перед ним задачи. Выявить, что ему известно и что нужно найти. Решать задачи по образцу.	1	+
8	Решение различных игр (игровых ситуаций).	Уметь Подтвердить понимание каждой поставленной перед ним задачи. Выявить что ему известно и что нужно найти. Решать задачи по образцу.	1	+
9	Решение задач с поиском оптимального решения.	Уметь Решать задачи по образцу и с применением собственного решения.	1	+
10	Урок - игра “Все что мы узнали о теории игр”	Уметь Использовать полученные знания на практике	1	+

Поурочное планирование

Урок 1

Тема урока: Что такое игра.

Тип рока: объяснение нового материала.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся познавательные интересы, мышление; развивать культуру высказывания собственного мнения.

Воспитательная: приучать учащихся к внимательности при объяснении нового материала.

Практическая: иметь представление об играх, уметь приводить свои примеры.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради.

Основные понятия: игра, выигрыш, виды игр.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Так как это первый урок, то вы должны объяснить учащимся, чем они будут заниматься на следующих уроках этого курса. Что же касается непосредственно этого урока, то он должен пройти в виде беседы на тему различных игр, то есть вы рассказываете о играх, приводите какие-то свои примеры, попросите учеников рассказать о играх. Спросите, в какие игры они играют и что им нравятся. Также вам необходимо затронуть некоторые определения и записать их в тетради. Все что им необходимо законспектировать желательно, оформить в виде презентации. Ближе к концу урока можно предложить поиграть в какую-либо игру для всего класса.

Контрольные вопросы:

1. Что такое игра?

2. Примеры игр.

3. Что такое выигрыш?

4. Назвать основные виды игр.

5. Кого можно назвать основателем Теории игр?

6. Что изучает Теория игр?

Урок 2

Тема урока: Основные понятия Теории игр.

Тип рока: комбинированный урок: объяснение нового теоретического материала и рассмотрение практических примеров.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся познавательные интересы, познавательные и творческие способности.

Воспитательная: приучать учащихся к внимательности при объяснении нового материала и к уважительному отношению к одноклассникам.

Практическая: дать определения изученным понятиям, приводить свои примеры на изученную тему.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради, раздаточный материал.

Основные понятия: игра, игроки, правила, ход, стратегии.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Продолжаете знакомить учеников с основными понятиями. Все определения, которые встретятся на этом уроке можете оформить в виде презентации. На практическом примере попытайтесь, чтобы учащиеся сами выявили основные понятия, с которыми они уже ознакомлены, то есть предлагаете им какую-нибудь игру и по ней они должны определить, где правила, сколько игроков и возможную стратегию.

Контрольные вопросы:

1. Что такое правила игры? Как вы это понимаете?

2. Попробуйте определить правила для крестиков и ноликов.

3. Дайте определение партии.

4. Как вы понимаете ход в игре?

5. Объясните на примере что такое стратегия.

Урок 3

Тема урока: Знакомство с программой “Теория игр в начальной школе.

Тип рока: объяснение нового материала на практических примерах.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое мышление и познавательные интересы, развивать интерес к предмету информатике.

Воспитательная: приучать учащихся быть внимательными при объяснении нового материала и во время самостоятельной работы.

Практическая: знать назначение всех кнопочек, уметь запускать игры.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: На этом уроке вы знакомите учащихся с программой “Теория игр в начальной школе. Сначала вы продемонстрируйте им проект, расскажите как все работает и устроено, у учащихся могут возникнуть вопросы., так что будьте готовы ответить. Убедившись, что они усвоили основные принципы работы дайте им возможность все посмотреть самостоятельно.

Контрольные вопросы:

1. Приведите примеры игр и игровых ситуаций из данной программы?

2. Как запустить справку о какой-либо игре?

3. Как запустить саму игру?

4. Можно ли выбирать игры в разном порядке?

Урок 4

Тема урока: Стратегия: понятие, виды. Оптимальный способ решения или выигрышная стратегия.

Тип рока: объяснение нового материала и рассмотрение практических примеров.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое мышление, познавательные интересы.

Воспитательная: воспитывать уважительное отношение к информатике; приучать учащихся быть внимательными при объяснении нового материала.

Практическая: знать основные определения, уметь самостоятельно приводить примеры на изученную тему.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради.

Основные понятия: стратегия, выигрышная стратегия.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Знакомите учащихся с понятием стратегии. Также необходимо донести до детей что понимается под выигрышной стратегии. Все теоретические аспекты лучше оформить в виде презентации. В качестве примеров можно привести некоторые игры из программы.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение стратегии.

2. Как вы думаете можно использовать стратегии в каких-либо жизненных ситуациях?

3. Что такое оптимальная стратегия. Как вы это понимаете?

4. Приведите свои примеры оптимальных стратегий.

Урок 5

Тема урока: Строим дерево игры (игровой ситуации).

Тип рока: объяснение нового материала и рассмотрение практических примеров.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое и образное мышление, активизировать мозговые процессы.

Воспитательная: приучать учащихся к внимательности при объяснении нового материала и уважительному отношению к друг другу.

Практическая: уметь строить дерево игры, приводить свои примеры.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради.

Основные понятия: условие задачи, дерево игры.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Объясните для начала, что мы понимаем под деревом игры, затем что это нам дает, то есть это более наглядное представление условий задачи, и исходя из чего можно его построить. А также, что можно найти благодаря построению такого дерева. Продемонстрируйте в качестве примера несколько игр с готовыми деревьями, все это лучше оформить в виде презентации. После чего, попробуйте с учащимися построить к какой-нибудь игре дерево.

Контрольные вопросы:

1. Что такое дерево игры?

2. Как можно его построить?

3. Для чего мы строим деревья игр?

4. Можно ли по дереву игровой ситуации определить выигрышную стратегию?

Урок 6

Тема урока: Строим дерево игры (игровой ситуации).

Тип рока: закрепление на практике изученного материала.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое и образное мышление

Воспитательная: приучать учащихся к самостоятельному выполнению задания, а также к уважительному отношению к друг другу.

Практическая: уметь строить деревья по условию игры (задачи).

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради.

Основные понятия: условие задачи, дерево игры, выигрышная стратегия.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Теоретический материал по этой теме вы уже объяснили, теперь вам нужно закрепит его на практике с учащимися. Пусть они сами попробуют построить деревья игры. Условия задач лучше оформить в виде презентации.

Контрольные вопросы:

1. Что такое дерево игры?

2. Как можно его построить?

3. Можно ли по уже готовому дереву сформулировать условие задачи?

4. Что кроме условия задачи можно определить по дереву игры?

Урок 7

Тема урока: Решение однотипных игр в картинках.

Тип рока: объяснение нового материала на практических примерах.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое мышление, познавательные интересы.

Воспитательная: приучать учащихся к внимательности при выполнении заданий и к активному участию на уроке.

Практическая: уметь решать однотипные задачи по примеру.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради, раздаточный материал.

Основные понятия: условие игровой ситуации, дерево игры.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: На этом уроке вы рассматриваете решение однотипных задач. Условия задач лучше представить в виде презентации. При объяснении задачи можете уже привлекать детей к решению, так как у них могут появиться свои варианты. Вам будет необходимо заготовить картинки к задачкам, чтобы использовать их при решении.

Урок 8

Тема урока: Решение различных игр (игровых ситуаций).

Тип рока: объяснение нового материала и рассмотрение практических примеров.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое и образное мышление, познавательные интересы, воображение.

Воспитательная: приучать учащихся к внимательности при объяснении нового материала и к активному участию на уроке.

Практическая:: уметь решать задачи различного типа.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради.

Основные понятия: стратегия, условие игровой ситуации, дерево игры

Методические рекомендации учителя по проведению урока: На примерах покажите решение нескольких задач и дайте возможность учащимся самим попробовать что-нибудь решить. Условия задач лучше представить в виде презентации.

Урок 9

Тема урока: Решение задач с поиском оптимального решения.

Тип рока: объяснение нового материала и рассмотрение практических примеров.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое и образное мышление, познавательные интересы и воображение.

Воспитательная: приучать учащихся к самостоятельному решению задачи

Практическая: уметь указать оптимальный способ решения

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради.

Основные понятия: стратегия, условие игры (игровой ситуации), дерево игры

Методические рекомендации учителя по проведению урока: На примерах показываете решение различных задач, также напомните учащимся что такое оптимальное решение (выигрышная стратегия), которое нужно будет определить в ходе решения. Условия задач лучше представить в виде презентации.

Урок 10

Тема урока: “Все что мы узнали о теории игр

Тип рока: самостоятельная работа.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся логическое и образное мышление, познавательные интересы, активизировать мозговые процессы.

Воспитательная: приучать учащихся к самостоятельному выполнению работы.

Практическая: знать все понятия курса, уметь решать основные игры.

Методические и технические средства: проектор, компьютер, доска, маркер, тетради, раздаточный материал.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Подводите итог всего ранее изученного. Учащимся необходимо выполнить предложенные вами задания. Перед выполнением повторите с ними некоторые основные моменты изученного материала. Текст итогового занятия приведен в приложении 2.

2.6 Педагогический эксперимент

Педагогический эксперимент был проведен во время педагогической практики в МОУ СОШ № 153 города Челябинска. Эксперимент проводился во время учебных занятий в 3^В классе.

На занятиях были рассмотрены такие темы как: “Что такое игра”, “Основные понятия теории игр”, также был продемонстрирован программный продукт. Учащимся были доступно объяснены основные теоретические моменты, а для того чтобы их больше увлечь были разобраны некоторые игры в качестве примеров.

Во время занятий ученики проявили заинтересованность и увлечение данной темой. Все уроки проходили в оживленной атмосфере. Использование данной игровой методики повысило внимание учащихся, позволило разнообразить учебный процесс, повысить качество усвоенного материала.

2.7 Описание программного продукта

Данная программа представляет собой игровое поле из девяти клеточек. Каждая клетка это отдельная игра или ситуация, требующая выбор оптимальной стратегии (рис.7).

Рис.7. Окно программы

Прежде чем выбрать какое-нибудь поле, необходимо ознакомиться с условиями и требованиями. Для этого нужно нажать . После чего откроется Справка.

Например, вы выбрали первое поле. Игра в нем называется “Два цветка” (рис.8).

Рис.8. Окно игры “Два цветка”

Для выигрыша вам нужно набрать нечетное количество цветков. В противном случае вы проиграете. Вы можете щелкать по цветкам, тем самым выбирая их. По нажатию на кнопку “Показать”, начинается игра, и компьютер показывает свое количество цветков. После чего выводится сообщение об исходе игры. Для того чтобы сыграть еще раз нажмите кнопку “Сброс

Делим торт.

Сначала ознакомитесь со справкой. Для того чтобы начать игру нужно нажать кнопку внизу, после чего появляется черная линия, которая делит торт. Вы делите торт, а компьютер в это время выбирает одну из частей. После чего выдается сообщение об исходе игры (рис.9).

Рис.9. Окно игры “Делим торт”

Крестики-нолики.

Рассматривается обычная игра в крестики-нолики с игровым полем 3х3 (рис.10).

Рис.10. Окно игры “Крестики Нолики”

Баше.

Сначала ознакомьтесь со Справкой, в которой все подробно изложено, что от вас требуется. Затем в игровом поле, в самом верхнем левом окошке можете указать количество камней на ваше усмотрение. В верхнем правом окошке указано максимальное количество камней, которое можно взять. После чего нажимаете кнопку “Игра и в нижнем окне пишете количество камней, которое вы хотите взять и нажимаете Enter. Играете до тех пор, пока не закончатся камни (рис.11).

Рис.11. Окно игры “Баше

Пальцы.

Здесь вы играете на очки. Для начала ознакомьтесь со Справкой. Когда запустите саму игру, в окошке вам нужно будет указать то количество пальцев, которое вы хотите показать. Для выигрыша вам нужно показать больше пальцев, чем противник. Затем нажимаете кнопку “Показать и компьютер покажет свои пальцы. После чего появится сообщение об итоге, то есть, кто из вас победил. Для того чтобы сыграть еще раз нажмите кнопку “Сброс” (рис.12).

Рис.12. Окно игры “Пальцы ”

Лыжник.

Представьте, что вы едете на лыжах и вам на встречу едет другой лыжник. Вы решаете уступить или нет. В зависимости от вашего решения в итоге вы получите соответствующее время (рис.13).

Рис.13. Окно игровой ситуации “Лыжник

Станции.

Имеется две станции, на которые необходимо выставить товар. В зависимости от того, как вы это сделаете, вы заработаете соответствующее количество денег. Расчет осуществляется по нажатию на кнопу “!!! ” (рис.14).

Рис.14. Окно игровой ситуации “Станции”

Мороженое на пляже.

Летом на пляже очень жарко. По обоим концам пляжа находятся ларьки с мороженным. Отдыхающие готовы переплатить за мороженное рубль лишь бы не идти лишнее 50 метров. Проект можно запустить по нажатию на кнопку с картинкой мороженого (рис.15).

Рис.15. Окно игровой ситуации “Мороженое на пляже ”

Аукцион печенья.

Имеется пакет с печеньем, сколько в нем печенья никому не известно. Вы в верхнем левом углу пишите то количество печенья, которое хотите взять. Также есть другие игроки, которые тоже запрашивают какое-то количество. Затем по нажатию на кнопку происходит сортировка всех запросов, начиная с наименьшего, и выводится результат. В случае если запросили слишком много, то ни чего не получите. Если же есть несколько одинаковых заказов, то печенье делится между ними поровну. Оставшееся печенье достается “ведущему (рис.16).

Рис.16. Окно игровой ситуации “Аукцион печенья

Выводы по II главе

Педагогический эксперимент проводился во время педагогической практики в МОУ СОШ № 153 г. Челябинска. Эксперимент был проведен во время учебных занятий в 3^В классе.

Практика показала, что использование данной методики повысило интерес учащихся, позволило разнообразить учебный процесс, улучшить качество усвоенного материала. Занятия проводились с использованием разработанной обучающей программы “Теория игр в начальной школе и электронного пособия.

Исходя из того что, использование компьютера в учебно-воспитательном процессе возрастает все больше и больше, поэтому разработанный проект был весьма интересен и полезен для детей.

Выступая как средство обучения, компьютер повышает эффективность работы на уроке, вовлекая учеников в познавательный мир информации.

По сколько данный проект несет не только на некий игровой смысл, а также направлен на развитие логического мышления, то в связи с этим, учащиеся будут лучше подготовлены к жизни в постоянно меняющемся мире.

Так как данный проект направлен на начальную школу, то в соответствии с этим были выделены некоторые методы и приемы работы на уроке. Всем известно, что ведущей деятельностью у учащихся начальной школы является игра, поэтому, игра как метод обучения являлся основным.

Просмотрев некоторые программы по информатике для начальной школы, оказалось, что некоторые из них затрагивают элементы Теории игр. Сюда можно отнести программы Горячева А.В. и Семеновой А.Л.

Таким образом, во II главе исследования мы разработали и апробировали элективный курс “Элементы Теории игр в начальной школе и программно-методическую поддержку к нему в виде программы “Теории игр в начальной школе. А также был разработан электронный учебник и методические рекомендации для учителя.

Заключение

Таким образом, в процессе исследования были реализованы следующие задачи:

Изучены основные теоретические положения в рамках исследуемой темы.

Отобраны задачи для практической реализации и составлены к ним алгоритмы решения.

Разработан программный продукт, который реализует некоторые задачи из теории игр.

Разработан и адаптирован школьный элективный курс по изучению темы теории игр для учащихся начальной школы;

Составлены методические рекомендации к данному курсу.

Разработана программно-методическая поддержка курса в виде электронного учебника “Элементы Теории игр и методических рекомендаций для учителя.

Проведено внедрение курса “Элементы Теории игр в начальной школе в 3 классе школы №153 г. Челябинска.

Таким образом, поставленную цель и гипотезу можно считать достигнутыми, а задачи выполненными.

Поэтому мы предполагаем, что можно вводить теорию игр в начальной школе, так как ведущей деятельностью у детей этого возраста является игра. Через игру легче и лучше усваивается новый материал. Когда урок проходит в нетрадиционной форме, а, к примеру, в игровой, то учащиеся принимают более активное участие на занятие, в этом случае можно даже привлечь тех детей, которые мало активны.

Список использованной литературы

1. Агапова Р. О трех поколениях компьютерных технологий обучения в школе. // Информатика и образование. -1994. - №2.

2. Айламазьян А.М. Актуальные методы воспитания и обучения: деловая игра (Учебное пособие для студентов). М.: МГУ, 1989.

3. Акор Р., М. Сашени. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1971, - 421 с., ил.

4. Алексюк А.Н. Проблема методов обучения в общеобразовательной школе.М., 1979.

5. Антипов И.Н. Играем и программируем // Начальная школа, № 5, 6, 1992

6. Антипов И.И., Боковнев О.А., Степанов М.Е. О преподавании информатики в младших классах. // Информатика и образование, № 5, 1993.

7. Багленова А.Л. Принципы обучения школьников основам экранной грамотности. // Специалист. - 1992 - №5.

8. Белавина И.Г. Восприятие ребенком компьютера и компьютерных игр. // Вопрос психологии. - 1993. - №3.

9. Блекуэлл Л., Гиршик М.А. Теория игр и статистических решений. - М.: Иностранная литература. 1958.

10. Босова Л.Л. Занимательные задачи по информатике. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 119 с.

11. Босова Л.Л. Развивающие задачи. - М: Информатика и образование, 1999.

12. Брыксина О.Ф. Информационные минутки на уроках в начальной школе. // Информатика, № 6, 2000.

13. Буцин Е.С. Обучение младших школьников началам информатики. // Информатика и образование. - 1991. - №3.

14. Вагнер Р. Основы исследования операций: в 3х т. Пер. с англ. - М.: Мир, 1973.

15. Венгер А.А. Игра как вид деятельности // Вопросы психологии, №.3, 1978

16. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Сов. радио, 1972, 392 с., ил.

17. Венцель Е.С. Элементы теории игр. -М, 1961.

18. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. Сб. пер. - М.: Мир, 1976, - 248 с., ил.

19. Вилкас Э.Й. Понятие оптимальности в теории игр. - В кн.: Современные направления теории игр. _ Вильнюс, 1976.

20. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр. - УМН, 1970, т.25, вып.2 (152).

21. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

22. Гершунский Б.С. Компьютеризация в среде образования. -М., - 1987.

23. Глушко А.И. Компьютерный класс в школе. // Информатика и образование. - 1994. - №4.

24. Гребенев И.В. Методические проблемы компьютеризации обучения в школе. // Педагогика - 1994. - №5.

25. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Изд.2. - Киев: Высш. Школа, 1979, - 512 с., ил.

26. Зинченко Г.П. ЭВМ в начальной школе. // Информатика и образование. -1991. - №3.

27. Исследование операций в 2х т. Пер. с англ. / Под ред. Дж. Маудера, С. Элмаграби. - М.: Мир, 1981, т.1 - 712 с.6 т.2 - 677 с., ил.

28. Каракозов М.С. Формирование навыка работы с клавиатурой. // Информатика и образование. - 1994. - №2.

29. Карелин В. Методы оптимизации. Метод. пособие. - Таганрог: Изд. ТРТИ, 1978, - 31 с.

30. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. - М.: Мир, 1964.

31. Кернер И.Я. Дидактическая система методов обучения. М.: Знание, 1976.

32. Кершан Б. И др. Основы компьютерной грамотности. -М., 1993.

33. Кини Р.Л., Райфа Х. Применение решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981, - 560 с., ил.

34. Клейман Т.М. Школы будущего: Компьютеры в процессе обучения. -М.: Радио и связь, 1997.

35. Крупская Н.К. Методические заметки. Педагогическое сочинение. М., т.3.1959.

36. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. М., 1981.

37. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. - СПб.: Лань, МИК, 1996.

38. Луначарский А.В. Учитель, учись. Учительская газета. №1, 1984.

39. Миркин Б.Г. Проблемы группового выбора. М., Наука, 1974.

40. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., Наука, 1970.

41. Оуэн Г. Теория игр. - М.: Наука, 1971.

42. Паращин А. В, Паращин В.П. Активные методы обучения. -Новосибирск: НГПУ, 1991.

43. Партхасаратхи Т., Рачхаван Т. Некоторые вопросы игр двух лиц. М., Мир, 1974.

44. Первин С.П. Дети, компьютеры и коммуникации. // Информатика и образование. -1994. - №4.

45. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Паретооптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982, - 256 с., ил.

46. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учебное пособие для университетов: / - М.: Высш. шк., Книжный дом Университет, 1998. - 304с.: ил.

47. Программа курса информатики для начальной школы по комплекту учебных пособий А.Л. Семенова.

48. Программа пропедевтического курса информатики А.В. Горячева.

49. Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н.Н. Моисеева, М., Наука, 1979, 464с.

50. Солпостер Джуди. Дети и компьютер. - М., 1996

51. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

52. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. (Библиотечка Квант, выпуск 56).

Приложения

Приложение 1

Описание игр

Практическая часть этой работы будут состоять из следующих игр, реализованных в программном виде:

Крестики - нолики

Рассматривается обычная игра “Крестики - нолики. Для начала давайте вспомним правила этой игры. Перед вами игровое поле 3х3 (см. рис.17).

О	Х	О
Х	Х	О
Х	О	Х

Рис.17.

Вы выбираете чем бы будете ходить либо крестиком либо ноликом. Как правило, крестики ходят первыми. Можно поставить крестик (нолик) в любое место на поле. Необходимо выстроить ряд (либо по вертикали, либо по горизонтали, либо по диагонали) из крестиков (ноликов). Кому удастся это сделать первым, тот и победил. Но, так как вы будете ходить по очереди, это не так-то просто будет сделать.

Выигрышная стратегия, при условии, что вы ходите первым (см. рис.18):

о

х

о	о
х
х

о	о	х
х	о
х

о	о	х
х	о
х	х

Рис.18.

Делим торт.

Компьютер разрезает торт на две части. В это время вы, не видя как разрезан торт, выбираете ту часть, которую хотите взять. Для того чтобы выиграть вам нужно угадать большую часть. В случаи если части окажутся равными, то ничья. В следующий раз вы режете торт, а компьютер выбирает (рис. 19).

Рис. 19. Дерево игры “Делим торт”

3. Два цветка

Вы и компьютер одновременно показываете один или два цветка. Потом считают сумму показанных цветков, она может быть получена от двух до четырех (1 и 1, 1 и 2, 2 и 2). Если сумма является четной (2 или 4), компьютер выигрывает у вас; если же сумма является нечетной, то вы выигрываете у компьютера (рис. 20).

Рис. 20. Дерево игры “Два цветка”

4. Пальцы

Вы и компьютер играете на очки. Вы оба одновременно показываете сколько-то пальцев.

Если количество пальцев оказалось одинаковым, то ничья.

Если число пальцев, показанных вами и компьютером, отличается на единицу, то тот, кто показал меньше пальцев, получает два очка.

В остальных случаях, тот, кто показал больше пальцев, получает одно очко (рис.21).

Рис.21. Дерево игры “Пальцы

Про лыжников.

Два спортсмена бегут по лыжной трассе друг другу на встречу. Перед каждым из них стоит выбор либо уступить, либо не уступить. Тот, кто уступит дорогу потеряет на этом 2 секунды, иначе если никто не уступит и они столкнутся, то будут распутываться 10 секунд (рис.22).

Рис.22. Дерево игры “Про лыжников

Торговцы на станции

На станции Шершни трое местных продавцов, Андрей, Василий и Семен, продают пассажирам, соответственно, ткань, нитки и иголки. Утром приходят сразу два поезда, поэтому каждый спешит выставить свой товар на первой или второй платформе. Если продавец работает на платформе в одиночку, его выручка от продажи товаров пассажирам соответствующего поезда определяется из таблицы:

Таблица 5

Платформа	Андрей	Василий	Семен
1	80	60	60
2	100	40	40

Если в одном месте продаются и ткань и нитки, то этих товаров удастся продать на 50 процентов больше, из-за того что эти товары дополняют друг друга. Впрочем если продавец ниток и продавец иголок находятся на одной платформе, то вследствие конкуренции оба выручают вдвое меньше, чем когда они находятся на разных платформах (рис.23).

Первая платформа Вторая платформа

Рис.23. Дерево игры “Торговцы на станции”

Продавцы мороженого на пляже.

На городском пляже стоят два ларька с мороженым. Продавцы независимо друг от друга устанавливают цены. Выглядит это примерно так:

Отдыхающие равномерно распределены по пляжу и загорают. В этот день очень жарко, поэтому каждый готов переплатить за мороженое рубль, только бы не идти лишние 100 метров по горячему песку (рис.24).

Рис.24. Дерево игры “Продавцы мороженого на пляже

Аукцион печенья.

Имеется пакет с печеньем, который нужно поделить между несколькими участниками. Сколько печенья в пакете никому не известно. Каждый участник тайно от других пишет на листке бумаги свое имя и сколько печенья он бы хотел получить. Все заявки упорядочиваются по возрастанию, после чего ведущий по очереди выдает каждому запрошенное им количество, начиная с тех кто написал самое меленькое количество печенья. Если в некоторый момент печенье заканчивается, то те кто заявили слишком много, увы, остаются ни с чем. (Если оставшегося печенья оказывается не достаточно, чтобы обслужить несколько одинаковых заказов, то делим между ними поровну) Если же остались лишние печенья, то они достаются ведущему (рис.25).

Рис.25. Дерево игры “Аукцион печенья”

Баше

В игре вы ходите по очереди. На столе лежит куча камней, количество камней никому не известно. В свой ход можно взять от одного до четырех камней. Выигрывает тот, кто своим ходом оставляет пустой стол (рис.26).

Рис.26. Дерево игры “Баше

Приложение 2

Контрольная работа

Тестовые задания (максимальное количество баллов = 8).

Теоретические:

1) Выберете правильный вариант. Что называется последовательностью действий ограниченных определенными правилами?

Задача

Игра

Ситуация

2) Выберете правильный вариант. Кем могут определятся правила игры?

Участниками игры

Одним из участников игры

Компьютер

3) Выберете правильный вариант. Что можно назвать положительным исходом игры?

Проигрыш

Приз

Выигрыш

4) Выберете правильный вариант. Что мы подразумеваем под правилами игры?

Система неизвестных

Система решений

Система условий

5) Выберете правильный вариант. Кого можно назвать основоположником Теории игр?

Джон фон Нейман

Исаак Ньютон

Архимед

6) Выберете правильный вариант. Игры можно классифицировать как:

Одно-выигрышные и много выигрышные

Одноходовые и многоходовые

Одношаговые и многошаговые

7) Выберете правильный вариант. Что может служить примером случайного хода?

Бросание монеты

Шахматы

Игра в карты

8) Выберете правильный вариант. Участники игрового процесса это -

Люди

Игроки

Ученики

Практические задания (максимальное количество баллов =12)

I вариант

1) Из исходного рисунка попробуйте сформулировать условие задачи, которая начинается так - У вас с товарищем имеется по 2 цветка. Вы и ваш товарищ одновременно показываете один или два цветка. Потом считают сумму показанных цветков, она может быть получена от двух до четырех (см. рис.27).

Рис.27. Дерево игры.

2) Определите выигрышную стратегию следующей игры: В игре вы ходите по очереди. На столе лежит куча камней, количество камней никому не известно. В свой ход можно взять от одного до четырех камней. Выигрывает тот, кто своим ходом оставляет пустой стол.

II вариант

1) Попробуйте сформулировать правила игры в Крестики-Нолики.

2) Попробуйте нарисовать дерево решения следующей задачи:

Вы и ваш товарищ играете на очки. Вы оба одновременно показываете сколько-то пальцев. Если количество пальцев оказалось одинаковым, то ничья. Если число пальцев, показанных вами и товарищем, отличается на единицу, то тот, кто показал меньше пальцев, получает два очка. В остальных случаях, тот, кто показал больше пальцев, получает одно очко.

Таким образом, максимальное количество баллов, которые может набрать учащийся = 20 (8 +12). Что соответствует уровням компетенций учащихся следующим образом: 7 - 10 - 1 уровень; 11 - 15 - 2 уровень; 16 - 20 - 3 уровень;

Приложение 3

Урок 1.

Тема урока: Что такое игра.

Тип рока: объяснение нового материала.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся познавательные интересы, мышление; развивать культуру высказывания собственного мнения.

Воспитательная: приучать учащихся к внимательности при объяснении нового материала.

Практическая: иметь представление об играх, уметь отвечать на вопросы учителя, уметь приводить свои примеры.

Методические и технические средства: проектор, доска, маркер, тетради

Основные понятия: игра, выигрыш, виды игр.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Так как это первый урок, то вы должны объяснить учащимся чем они будут заниматься на следующих уроках этого курса. Что же касается непосредственно этого урока, то он должен пройти в виде беседы на тему различных игр, то есть вы им рассказываете о играх, приводите какие-то свои примеры, просите их о чем-нибудь рассказать. Спросите, в какие игры они играют и что им нравятся. Также вам необходимо затронуть некоторые определения и записать их в тетради. Все что им необходимо законспектировать желательно оформить в виде презентации. Ближе к концу урока можно предложить поиграть в какую-либо игру для всего класса.

Контрольные вопросы:

1. Что такое игра?

2. Примеры игр.

3. Что такое выигрыш?

4. Назвать основные виды игр.

5. Кого можно назвать основателем Теории игр?

6. Что изучает Теория игр?

Этапы урока:

1) Организационный момент (2 мин).

2) Объяснение нового материала (35 мин)

3) Подведение итогов и выдача домашнего задания (3 мин).

Таблица.

Этап	Учитель	Ученик	Доска	Тетрадь	Время
Организационный момент.	Здравствуйте дети. Садитесь. Меня зовут Новикова Ксения Сергеевна. Я буду вести у вас некоторое время уроки информатики.	Приветствуют учителя.	2 мин
Объяснение нового материала.	В курсе наших занятий мы с вами должны познакомится с некоторыми элементами теории игр. Значит ТИ это такой раздел математики, который изучает разного вида игры. Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с что же такое игра. Вы все наверняка играете в игры. А кто-нибудь из вас когда-нибудь задумывался о том, кто и при каких обстоятельствах их придумал? И вообще откуда появились игры. Для людей игры есть и были как развлечения, иногда даже и как соревнование. Например, игры в шашки, шахматы и карты. Ну, теперь давайте вернемся непосредственно к нашей теме. Теория игр, о которой мы с вами будем говорить, была основана Джоном фон Нейманом. Давайте попробуем сформулировать определение игры. Что нам об этом известно? То есть, при каких условиях осуществляется игра? Вы же не можете просто придумать любое название игры и сразу же в нее играть, ведь этого будет не достаточно. Не так ли? Да, правильно она идет по правилам. И так мы с вами получили, что игра - это последовательность действий ограниченных определенными правилами. Теперь откройте свои тетрадки, запишите число и тему урока “Что такое игра”. После этого - определение игры, которое на доске. Правила игры может устанавливать любой человек, который вам объясняет, как в нее играть. Также в процессе игры, сами участники могут договорится об изменение какого-либо условия. Можете привести примеры каких-нибудь игр и рассказать по каким правилам они ведутся? Хорошо. Например, всем хорошо знакомая игра в прятки. Представьте, что я не знаю как в нее играть и кто мне может объяснить как это делается? Отлично. Вот вы играете в крестики - нолики и обязательно кто из вас должен выиграть, а кто-то проиграть. Верно? И ваш выигрыш будет называться положительным исходом игры. Давайте это с вами запишем, выигрыш - положительный исход игры. Дальше мы с вами рассмотрим, какие существуют виды игр. Например, они могут быть парными, то есть игроки в процессе игры объединяются в пары. Хотя можно и играть по одному. Наверняка, многие из вас видели, как играют в бадминтон, обычно они играют один на один, а еще можно играть в парах, то есть два против два. Кто может привести пример подобной ситуации? Молодцы. Следующая классификация характеризуется количеством ходов. Игры делятся на: одноходовые - здесь выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока и многоходовые соответственно выигрыш распределяется после нескольких ходов. Примерами одноходовых игр могут служить спор на кулачках. После одного скидывания вам уже известно кто проиграл спор. Попробуйте привести свои примеры. Хорошо. Ну, а примерами многоходовых игр можно назвать игры в шашки, шахматы, карты. Какие примеры вы можете привести здесь? Хорошо. Все справились с заданием. Ну а теперь у нас отсталость еще время и я предлагаю вас сыграть в одну очень простую игру. Кто хочет принять участие, мне нужно двое желающих. Правила игры следующие: Двое играют в игру: первый называет однозначное число (то есть целое число от 1 до 9 включительно), второй прибавляет к нему еще какое-нибудь однозначное число и называет сумму, к этой сумме первый прибавляет еще какое-нибудь однозначное число и опять называет сумму и так далее. Выигрывает тот, кто первым назовет число 66.	Отвечают на поставленный вопрос. Отвечают, что она выполняется по правилам. Приводят свои примеры. Объясняют игру в прятки. Приводят свои примеры. Приводят свои примеры. Приводят свои примеры.	Что такое игра. игра - это последовательность действий ограниченных определенными правилами. Выигрыш - положительный исход игры	Что такое игра. игра - это последовательность действий ограниченных определенными правилами. Выигрыш - положительный исход игры	35 мин
Подведение итогов и выдача домашнего задания.	Сегодня на уроке мы с вами познакомились с некоторой информацией об играх, о которой вы даже никогда и не думали, о том как их классифицируют. Теперь откройте свои дневники и запишем домашнее задание. Дома вам нужно будет выучить определение игры и выигрыша. Всем спасибо. До свидания.	Записывают домашнее задание.	3 мин

Урок 2.

Тема урока: Основные понятия Теории игр.

Тип рока: комбинированный урок: объяснение нового теоретического материала и рассмотрение практических примеров.

Цели урока:

Развивающая: развивать у учащихся познавательные интересы, познавательные и творческие способности.

Воспитательная: приучать учащихся к внимательности при объяснении нового материала.

Практическая: приводить примеры на изученную тему

Методические и технические средства: проектор, доска, маркер, тетради, раздаточный материал.

Основные понятия: игра, игроки, правила, ход, стратегии.

Методические рекомендации учителя по проведению урока: Продолжаете знакомить учеников с основными понятиями. Все определения, которые встретятся на этом уроке можете оформить в виде презентации. На практическом примере попытайтесь, чтобы учащиеся сами выявили основные понятия, с которыми они уже ознакомлены, то есть предлагаете им какую-нибудь игру и по ней они должны определить где правила, сколько игроков и возможную стратегию.

Контрольные вопросы:

1. Что такое правила игры? Как вы это понимаете?

2. Попробуйте определить правила для крестиков и ноликов.

3. Дайте определение партии.

4. Как вы понимаете ход в игре?

5. Объясните на примере что такое стратегия.

Этапы урока:

1) Организационный момент (2 мин).

2) Объяснение нового материала (30 мин)

3) Применение нового материала на практике (10 мин).

4) Подведение итогов и выдача домашнего задания (3 мин).

Таблица.

Этап	Учитель	Ученик	Доска	Тетрадь	Время
Организационный момент	Здравствуйте. Садитесь. Давайте отметим отсутствующих.	2 мин
Объяснение нового материала.	На прошлом занятии мы с вами познакомились с игрой, с условиями определяющими ее, с понятием выигрыша и рассмотрели классификацию игр. Наш урок мне бы хотелось начать с опроса. Вашим домашним заданием было - выучить что такое игра и выигрыш. Кто мне скажет что такое игра? Если не можете дать точное определение, попробуйте объяснить своими словами. Выигрыш? Сегодня мы с вами познакомимся еще с некоторыми понятиями Теории игр, такими как: ход, игроки, правила игры, стратегия. Мы с вами очень много говорили о правилах игры, теперь давайте дадим определение. Под правилами игры мы понимаем систему условий, которая определяет возможные варианты действий игроков. Откройте свои тетради, запишите число и тему урока “Основные понятия Теории игр”, а также что такое правила игры. Под игроками мы подразумеваем самих участников игрового процесса. Не дамою, что это нужно записывать, ведь вы и так запомните. Партия, наверняка многие слышали это понятие, - можно назвать вариант осуществления игры каким-либо образом. Соответственно партия состоит из ходов. Ходом можно назвать допустимый вариант поведения в игре. Они бывают личные и случайные. Примером личного хода может быть игра в шахматы, а случайного бросание монеты. Еще нам осталось познакомится с таким понятием как стратегия. Точное определение стратегии следующее - совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Другими словами - это выбранная вами, определенная последовательность ходов. Подробнее можно разобрать на примере. Вы и ваш товарищ скидываетесь на кулачках, вы постоянно показываете “ножницы, думая, что возможность того, что вы выиграете больше - это и есть в данном случае ваша стратегия. Ну, а та стратегия, которая обеспечит вам наибольший выигрыш называется выигрышной стратегией. Попробуйте привести свои примеры. Теперь давайте немного запишем все, о чем мы говорили. Игроки - участники игрового процесса. Партия - вариант реализации игры каким-либо образом. Ход - допустимый вариант поведения в игре. Стратегия - совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.	Слушают. Отвечают. Записывают. Приводят примеры.	“Основные понятия Теории игр Правила игры - система условий, которая определяет возможные варианты действий игроков. Игроки - участники игрового процесса. Партия - вариант реализации игры каким-либо образом. Ход - допустимый вариант поведения в игре. Стратегия - совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.	“Основные понятия Теории игр Правила игры - система условий, которая определяет возможные варианты действий игроков. Игроки - участники игрового процесса. Партия - вариант реализации игры каким-либо образом. Ход - допустимый вариант поведения в игре. Стратегия - совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.
Применение нового материала на практике.	До конца урока у нас еще осталось время и мне бы хотелось продемонстрировать вам пример одной игровой ситуации. Сейчас все внимание на доску. Условия этой игры таковы: Вы и ваш товарищ одновременно показываете один или два цветка. Потом считаете сумму показанных цветков, она может быть получена от двух до четырех (1 и 1, 1 и 2, 2 и 2). Если сумма является четной (2 или 4), ваш товарищ выигрывает у вас; если же сумма является нечетной, то вы выигрываете у него. Например, я выбираю один цветок, а мой соперник показал 2так как сумма нечетная - я выиграла. Скажите мне, что является правилами этой игры? Ходом? Игроками? Сейчас я вам раздам цветочки из бумаги и вы попробуете поиграть с товарищами по парте.	Отвечают на вопросы.
Подведение итогов и выдача домашнего задания.	Сегодня мы познакомились еще с некоторыми понятиями, которые вам дума предстоит выучить. Запишите себе в дневник выучить определения правила игры, ход, партия, стратегия. Увидимся на следующей неделе. До свидания.	Записывают домашнее задание.

Скачать архив с текстом документа