Теория поля и элементы векторного анализа
СОДЕРЖАНИЕ: Элементы математической теории скалярных и векторных полей Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.Элементы математической теории скалярных и векторных полей
Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.
Определение 1
Полем называется совокупность значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных в каждой точке рассматриваемой области.
Если рассматриваемая величина
а) скаляр , то поле называется скалярным, например
– поле плотности
б) вектор , то поле называется векторным
– поле скоростей
в) тензор , то поле называется тензорным
– поле напряжений.
Определение 2
Если значения рассматриваемых величин не изменяются
во времени
, то поле называется стационарным
(установившимся), если же они изменяются
во времени
, то поле называется нестационарным.
Здесь мы остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.
Скалярное поле ![](images/image-8409079.png)
Характеристики скалярного поля
1) Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня
(см. рис.)
2) Градиент поля определяется как вектор, составленный из частных производных
(1)
Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля можно представить в виде:
, (2)
где .
3) Производная по направлению
(см. рис. 2) определяется как проекция градиента на данное направление
(3)
Частный случай: производная по нормали :
(4)
4) Частные и полные производные по времени
Рассмотрим нестационарное скалярное поле:
Скорость изменения r в фиксированной точке равна
и называется частной
производной (локальной
производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено скалярное поле (рис. 3)
Скорость изменения r вдоль траектории определяется как полная производная по t от сложной функции и равна:
(5)
– конвективная производная, она связана с перемещением точки (частицы) из одной точки пространства в другую.
Замечание :
Оператор «набла » – это греческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форме напоминающий перевернутый треугольник.
Характеристики векторного поля
1) Векторная линия
– кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора , отвечающего этой точке (см. рис. 4)
и
– коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно,
|| =
= l
= l
(6)
2) Производная от вектора по направлению определяется следующим образом:
(7)
– направляющие косинусы вектора
, в декартовой системе координат.
Доказательство :
Учтем, что
и так далее, подставим в , получим:
+
+
Итак, мы доказали
.
3) Частная и полная производные по времени от вектора
(9)
Доказательство :
4) Поток вектора через поверхность. Дивергенция
– поток векторной величины через элементарную площадку (элементарный поток)
(11)
векторный поток через незамкнутую площадку;
(12)
поток вектора через замкнутую площадку.
–
поток вектора скорости через поверхность S равен объему жидкости, протекающей через эту площадку поверхности за единицу времени.
По теореме Остроградского-Гаусса (рис. 7)
(13)
Сжимая объем и, следовательно
получим, используя теорему осреднения
(14)
Следовательно, можно определить как предел
(15)
Пример :
В гидродинамике поле скоростей имеет
дивергенция равна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему из данной точки пространства за одну секунду, т.е. равна мощности источника жидкости (если
0).
Если 0, то в этих точках пространства расположен сток жидкости, с мощностью
.
5. Циркуляция вектора вдоль линии
Роток векторного поля
Элементарная циркуляция вектора вдоль линии dl
равна (рис. 8а)
(16)
Циркуляция вектора вдоль замкнутой линии L
(рис. 8б)
(17)
Пусть контур L ограничивает некоторую поверхность S (рис. 8в). Используем теорему Стокса и преобразуем интеграл по кривой L в интеграл по поверхности S :
(18)
Роток (вихрь) вектора определяется как
(19)
Определение
Циркуляция
вектора вдоль замкнутого контура равна потоку его ротора
через поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 9)
(20)
Потенциальное векторное поле
Определение :
Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярная величина
, такая, что
– называется скалярным потенциалом поля.
Свойства потенциального поля
1. В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е.
Доказательство:
2. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)
3. Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках.
Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках.
отсюда получаем
4. Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми.
Доказательство от противоположного:
Допустим, что есть замкнутая векторная линия L
. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура и, следовательно, и циркуляция по нему больше нуля
, что противоречит свойству 2.
5. Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов.
Соленоидальное векторное поле
Определение :
Векторное поленазывается соленоидальным (вихревым), если существует векторная величина
такая, что
= rot
– называется векторным потенциалом поля
.
Свойства соленоидального поля
1. Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство div
= 0, т.е. его поток через всякую замкнутую поверхность, погруженную в поле, = 0. Следовательно, соленоидальные поля лишены источников и стоков.
Замечание : Это свойство можно положить в определение.
Доказательство основывается на том, что
=
Следствие = 0
как следствие этого свойства получаем, что поток вектора соленоидального поля через две одинаково ориентированные поверхности S
1
и S
2
, опирающиеся на один и тот же контур L
, одинаков.
2. Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков.
Доказательство:
Отрезок векторной трубки, ограниченный сечениями S
1
, S
2
и S
d
, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную в соленоидальное поле. Поэтому
, но
, т.к.
.
Учитывая, что и
направлены в противоположные стороны, и вводя (–
), получим
отсюда следует
3. В соленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля. Так как , то векторные линии поля
не могут начинаться или кончаться в области поля, иначе в…? будет существовать сток или исток, что противоречит свойству 1.
4. Сумма соленоидальных векторных полей есть соленоидальное поле.
Потенциальное несжимаемое поле. Гармоническое поле
,
отсюда следует
=
Это поле часто называют гармоническим или полем Лапласа.
Резюме
По заданному полю мы всегда можем найти поля u
и
. Справедливо и обратное утверждение: по известным u
и
всегда можно найти искомое поле
.
Пусть поле известно, тогда потенциалы u
и
находятся из уравнений:
Если u
и известны, тогда векторное поле
определяется из уравнений:
Эти уравнения всегда разрешимы.
Теорема о разложимости произвольного векторного поля
Произвольное векторное поле всегда может быть представлено в виде суммы потенциального
и соленоидального
полей.
Задано
где ;
и, следовательно
Потенциалы и u
должны удовлетворять следующему соотношению:
1.
но дивергенция соленоидального поля должна быть равна 0.
отсюда
2.
(**)
Для определения и u
получили два дифференциальных уравнения, которые всегда имеют решения и, следовательно, произвольное поле
всегда можно представить в виде суммы потенциального
и соленоидального
полей.
Нахождение векторного поля по его характеристикам
Для нахождения и u
нужно решить систему четырех уравнений
Пусть известны характеристики векторного поля
(1)
или в интегральной форме:
Будем искать распределение поля . Для этого разложим его на потенциальное
и вихревое
.
=
+
(2)
Подставляя (2) в уравнение (1), получим систему уравнений для отыскания :
(3)
Потенциальное поле удобно представить через градиент
(4)
т.к. в этом случае приходится находить всего лишь одну скалярную величину вместо трех. Подставляем (4) в первое уравнение (3), получаем уравнение
– уравнение Пуассона (5)
Его решение известно и имеет следующий вид:
. (6)
Соленоидальное (вихревое) поле будем искать через векторный потенциал
(7)
Тогда для получаем следующее уравнение:
(8)
Т.к. поле тоже векторное, то для его нахождения кроме rot
необходимо задать еще одно условие на div
. В качестве такого условия (которое заранее ниоткуда не вытекает) удобно выбрать div
= 0 (это называется калибровкой Кирхгофа). В этом случае уравнение (8) упрощается
(8а)
и его решение имеет вид:
(9)
Следовательно, искомое поле равно:
Интегральные соотношения теории векторного поля
1. Теорема Остроградского-Гаусса
2. Теорема Стокса
3. Теорема Грина
(первая форма)
(вторая форма)
4. Интеграл от скаляра по замкнутому контуру
5. Интеграл от по объему
Используя теорему о среднем при находим
– источник
– сток
6. Циркуляция вектора вдоль линии
Роток векторного поля
– элементарная циркуляция вектора вдоль линии L
– циркуляция вектора вдоль замкнутой линии.
Теорема Стокса
Механический смысл ротора векторного поля
Рассмотрим движение твердого тела. Линейная скорость произвольной точки
равна твердого тела равна
где – скорость полюса
– мгновенная угловая скорость
Представим
Следовательно, компоненты скоростей т.М равны
В фиксированный момент времени t
переменными являются только координаты т. , все остальные величины
,
являются постоянными
=
Дифференцирование скалярных и векторных полей
Скалярное поле
Векторное поле
Таблица 1. Операции 2-го порядка
Скалярное поле j | Векторное поле А | ||
![]() |
![]() |
![]() |
|
grad |
нет |
|
нет |
div | ![]() |
Нет | ![]() |
rot | ![]() |
нет | ![]() |
Таблица 2. Дифференцирование произведений
![]() |
![]() |
![]() |
|
grad |
нет |
нет |
|
div | ![]() |
нет | ![]() |
rot | ![]() |
нет |
|