Теория вероятности
СОДЕРЖАНИЕ: Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.Контрольная работа
по дисциплине: Теория вероятностей
2009г.
Контрольная работа № 1
Вариант 1.
Задача № 1.
Условие:
Из 10 изделий, среди которых 4 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, что среди них одно бракованное.
Решение:
Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 деталей вынуть три, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 3:
По условию задачи из трех извлеченных изделий одно бракованное, а два годные. Таким образом mA :
Найдем вероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей одна окажется бракованной:
Ответ: вероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей одна окажется бракованной равна 0,5
Задача № 2
Условие:
Известны вероятности независимых событий А, В и С:
Р (А) = 0,5; Р (В) = 0,4; Р (С) = 0,6.
Определить вероятность того, что а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б) произойдет не более 2 событий.
Решение:
а) Для того чтобы найти вероятность того, что произойдет хотя бы 1 событие, найдем вероятность того, что ни одно событие не произойдет (обозначим эту вероятность P 0 ). Так как события независимы по условию, вероятность P 0 равна произведению вероятностей того, что не произойдет каждое отдельное событие.
Таким образом, вероятность того, что не произойдет:
событие А: А0 = 1 - 0,5 = 0,5
событие В: В0 = 1 - 0,4 = 0,6
событие С: С0 = 1 - 0,6 - 0,4
Воспользуемся правилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что ни одно событие не произойдет:
P 0 = А0 *В0 *С0 =0,5*0,6*0,4 = 0,12
Ситуация, при которой не произойдет ни одно событие, и ситуация, при которой произойдет хотя бы одно событие, образуют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:
P + P 0 = 1, откуда следует, что
P = 1 - P 0 = 1 - 0,12 = 0,88.
б) Для того, чтобы найти вероятность того, что произойдет не более 2 событий, найдем вероятность того, что произойдут все три события, и обозначим как Р1 :
Р1 = А*В*С = 0,5*0,4,*0,6 = 0,12
Ситуация, при которой произойдут все 3 события, и ситуация, при которой произойдет не более 2 событий (от 0 до 2), составляют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:
P + Р1 = 1, откуда следует, что
P = 1 - Р1 = 1 - 0,12 = 0,88.
Ответ:
а) вероятность того, что произойдет по крайней мере одно событие, равна 0,88
б) вероятность того, что произойдет не более двух событий, равна 0,88
Задача № 3
Условие:
Вероятности попадания в цель: первого стрелка - 0,6; второго - 0,7; третьего - 0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всех трех.
Решение:
Для того чтобы найти вероятность попадания в цель хотя бы 1 стрелка, найдем вероятность того, что ни один из стрелков не попадет в цель (обозначим эту вероятность через P 0 ). Так как попадания различных стрелков в цель следует считать независимыми событиями, вероятность P 0 равна произведению вероятностей того, что промажет каждый из стрелков.
Событие, состоящее в том, что некоторый стрелок попадет в цель, и событие, состоящее в том, что он промажет, составляют полную систему событий. Сумма вероятностей двух этих событии равна единице.
Таким образом, вероятность того, что
А) промажет 1 стрелок равна: 1 - 0,6 = 0,4
Б) промажет 2 стрелок равна: 1 - 0,7 = 0,3
В) промажет 3 стрелок равна: 1 - 0,8 = 0,2
Воспользуемся правилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что промажут все трое стрелков:
P 0 = 0,4*0,3*0,2 = 0,024
Событие, состоящее в том, что не попадет в цель ни один из стрелков, и событие, состоящее в том, что попадет хотя бы один, образуют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:
P + P 0 = 1, откуда следует, что
P = 1 - P 0 = 1 - 0,024 = 0,976
Ответ: вероятность попадания в цель хотя бы одного стрелка при одновременном выстреле всех трех равна 0,976 (или 97,6%)
Задача № 4
Условие:
Известно, что 80% продукции стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно.
Решение:
1) Найдем вероятность того, что стандартная продукция будет признана годной:
Р1 = 0,8*0,9 = 0,72 (72% продукции)
2) Найдем вероятность того, что нестандартная продукция будет признана годной:
Р2 = 0,2*0,3 = 0,06 (6% продукции)
3) Таким образом, упрощенный контроль признает годной Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукции)
4) Найдем вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно:
0,8*0,82 = 0,656
Ответ: вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно, равна 0,656.
Задача № 5
Условие:
Имеется 4 радиолокатора. Вероятность обнаружить цель для первого - 0,86; для второго - 0,9; для третьего - 0,92; для четвертого - 0,95. Включен один из них. Какова вероятность обнаружить цель?
Решение:
Обозначим через А событие - цель обнаружена, а возможные события (гипотезы) обнаружения цели 1-м, 2-м, 3-м или 4-м локаторами - через, соответственно, В1 , В2 , В3 и В4 .
По условию задачи включен один из четырех локаторов, следовательно, вероятность обнаружения цели:
Р (В1 ) = Р (В2 ) = Р (В3 ) = Р (В4 ) = 1\4.
Соответствующие условные вероятности (по условию задачи) обнаружения цели равны:
Р (A|В1 ) = 0,86; Р (A|В2 ) = 0,9; Р (A|В3 ) = 0,92; Р (A|В4 ) = 0,95.
Таким образом, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность обнаружения цели равна:
Ответ: вероятность обнаружения цели равна 0,9075
Контрольная работа № 2
Вариант 1.
Задача № 1.
Условие:
Известна вероятность события А: р (А) = 0,3. Дискретная случайная величина x - число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание m x и дисперсию D x .
Решение:
1) Вычислим вероятности р (х i ) по формуле Бернулли:
, где, р
= 0,3; q
= 1 - р
= 0,7; n
= 3; х
= x.
Таким образом, получим ряд распределения случайной величины x:
| Значения x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Вероятности р (х i ) | 0,343 | 0,441 | 0,189 | 0,027 |
Графически ряд распределения случайной величины x выглядит следующим образом:
2) Найдем математическое ожидание m x :
Математическим ожиданием m
x
дискретной случайной величины 
называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е.
3) Найдем дисперсию D x :
Дисперсией D
x
дискретной случайной величины 
называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.:
Ответ:
Ряд распределения случайной величины x:
| Значения x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Вероятности р (х i ) | 0,343 | 0,441 | 0,189 | 0,027 |
математическое ожидание m x = 0,9;
дисперсия D x = 0,63
Задача № 2
Условие:
Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения х1 и х2 (х1 х2 ):
| xi | х1 | х2 |
| рi | 0,4 | 0,6 |
Известны числовые характеристики случайной величины: Мx = 3,6; Dx = 0,24. Требуется определить значения х1 и х2 .
Решение:
Поскольку
, 0,4х1
+ 0,6х2
= 3,6
Для того, чтобы найти х1 и х2 , необходимо решить систему уравнений:
Выразим из первого уравнения х1 и подставим во второе:
Решаем второе уравнение:
Умножим всю строку на 5:
Умножим всю строку на 2:
Разделим на 3:
Учитывая условие х1 х2 , получаем, что подходит только 1 вариант.
Ответ: х1 = 3, х2 = 4
Задача № 3
Условие
Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
если 0 x 1,при других х
Найти постоянную С, функцию распределения F (x), математическое ожидание Мx и дисперсию Dx случайной величины x.
Решение:
Свойство плотности распределения:
, 
Получаем, что С = 3.
, 
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Ответ: С = 3, М = , D = 3/80
Задача № 4.
Условие:
Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 56 и среднеквадратичным отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна Р = 0,95
Решение:
Поскольку, по условию задачи, случайная величина x имеет нормальное распределение, а также известна вероятность Р = 0,95, то является возможным использование правила трех сигм, а именно данной его части:
Подставив имеющиеся по условию задачи данные, получим следующий интервал, симметричный относительно математического ожидания:
.
Ответ:
.
Задача № 5.
Условие:
Известно распределение системы двух дискретных величин (x, h).
x h |
1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0,16 | 0,12 | 0,14 | 0,08 |
| 1 | 0,08 | 0,10 | 0,09 | 0,08 |
| 2 | 0,06 | 0,04 | 0,03 | 0,02 |
Определить частные, условные (при x = 1, h = 0) распределения и числовые характеристики системы случайных величин mx , Dx , mh , Dh , Kx, h , rx, h ; а также найти вероятность попадания двумерной случайной величины (x, h) в область
.
Решение:
Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в столбцах:
Р (x = 1) = Р (x = 1, h = 0) + Р (x = 1, h = 1) + Р (x = 1, h = 2) = 0,16 + 0,08 + 0,06 = 0,3
Р (x = 2) = Р (x = 2, h = 0) + Р (x = 2, h = 1) + Р (x = 2, h = 2) = 0,12 + 0,10 + 0,04 = 0,26
Р (x = 3) = Р (x = 3, h = 0) + Р (x = 3, h = 1) + Р (x = 3, h = 2) = 0,14 + 0,09 + 0,03 = 0,26
Р (x = 4) = Р (x = 4, h = 0) + Р (x = 4, h = 1) + Р (x = 4, h = 2) = 0,08 + 0,08 + 0,02 = 0,18
Частное распределение для h получается суммированием вероятностей в строках:
Р (h = 0) = Р (h = 0, x = 1) + Р (h = 0, x = 2) + Р (h = 0, x = 3) + Р (h = 0, x = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08 = 0,5
Р (h = 1) = Р (h = 1, x = 1) + Р (h = 1, x = 2) + Р (h = 1, x = 3) + Р (h = 1, x = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08 = 0,35
Р (h = 2) = Р (h = 2, x = 1) + Р (h = 2, x = 2) + Р (h = 2, x = 3) + Р (h = 2, x = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,15
Полученные данные можно представить в виде таблицы:
x h |
1 | 2 | 3 | 4 | |
| 0 | 0,16 | 0,12 | 0,14 | 0,08 | 0,5 |
| 1 | 0,08 | 0,10 | 0,09 | 0,08 | 0,35 |
| 3 | 0,06 | 0,04 | 0,03 | 0,02 | 0,15 |
| 0,3 | 0,26 | 0,26 | 0,18 |
Вычислим математическое ожидание mx :
Вычислим математическое ожидание mh :
Вычислим дисперсию Dx :
Вычислим дисперсию Dh :
Условное распределение x/h=0:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
 |
 |
 |
 |
 |
Условное распределение h/x=1:
| x | 0 | 1 | 3 |
 |
 |
 |
 |
Вычислим ковариацию Kx, h :
Вычислим коэффициент корреляции rx, h :
Вероятность попадания двумерной случайной величины (x, h) в область:
- эллипс.
x h |
1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0,16 | 0,12 | 0,14 | 0,08 |
| 1 | 0,08 | 0,10 | 0,09 | 0,08 |
| 2 | 0,06 | 0,04 | 0,03 | 0,02 |
К необходимому условию подходят только точки (1; 0) и (2;)
Ответ: mx = 2,32, Dx = 1,1776, mh = 0,80, Dh =1,06, Kx, h = - 0,056, rx, h = - 0,0501.
Вероятность попадания двумерной случайной величины (x, h) в область:
= 0,028 (2,8%).