ЕвклСЦдова СЦ неевклСЦдова геометрСЦСЧ

дипломная работа: Математика

Документы: [1]   Word-202465.doc Страницы: Назад 1 Вперед

ЗмСЦст


Введення

Глава I. Розвиток геометрСЦСЧ

1.1 РЖсторСЦя геометрСЦСЧ

1.2 Постулати ЕвклСЦда

1.3 АксСЦоматика Гильберта

1.4 РЖншСЦ системи аксСЦом геометрСЦСЧ

Глава II. НеевклСЦдовСЦ геометрСЦСЧ в системСЦ Вейля

2.1 Елементи сферичноСЧ геометрСЦСЧ

2.2 ЕлСЦптична геометрСЦя на площинСЦ

2.3 ГеометрСЦя Лобачевского в системСЦ Вейля

2.4 РСЦзнСЦ моделСЦ площини Лобачевского. НезалежнСЦсть 5-го постулату ЕвклСЦда вСЦд СЦнших аксСЦом Гильберта

Висновок

Список лСЦтератури

Введення


Будь-яка теорСЦя сучасноСЧ науки вважаСФться СФдино вСЦрноСЧ, поки не створена наступна. Це своСФрСЦдна аксСЦома розвитку науки.

Цей факт багаторазово пСЦдтверджувався. ФСЦзика Ньютона переросла в релятивСЦстську фСЦзику, а та у квантову. ТеорСЦя флогСЦстону стала хСЦмСЦСФю, а самозародження мишей СЦз бруду обернулося бСЦологСЦСФю. Така доля всСЦх наук, СЦ не можна сказати, що сьогоднСЦшнСФ вСЦдкриття через двадцять рокСЦв не виявиться грандСЦозною помилкою. Але це теж нормально - ще Ломоносов говорив: "АлхСЦмСЦя - мати хСЦмСЦСЧ: дочка не винувата, що СЧСЧ мати дурнувата».

Доля ця не обСЦйшла й геометрСЦю. ТрадицСЦйна ЕвклСЦдова геометрСЦя переросла в неевклСЦдову, геометрСЦю Лобачевского. Саме цьому роздСЦлу математики, його СЦсторСЦСЧ й особливостям СЦ присвячений цей проект.

У данСЦй дипломнСЦй роботСЦ я хочу показати, що крСЦм геометрСЦСЧ, що вивчають у школСЦ (ГеометрСЦСЧ ЕвклСЦда або вживаноСЧ геометрСЦСЧ), СЦснуСФ ще одна геометрСЦя, геометрСЦя Лобачевского. Ця геометрСЦя СЦстотно вСЦдрСЦзняСФться вСЦд евклСЦдовоСЧ, наприклад, у нСЦй затверджуСФться, що через дану крапку можна провести нескСЦнченно багато прямих, паралельних данСЦй прямСЦй, що сума кутСЦв трикутника менше 180?? У геометрСЦСЧ Лобачевского не СЦснуСФ прямокутникСЦв, подСЦбних трикутникСЦв СЦ так далСЦ.

Я вибрав дану тему з кСЦлькох причин: теорСЦя геометрСЦСЧ Лобачевского допомагаСФ глянути по-СЦншому на навколишнСЦй нас мир, це цСЦкавий, незвичайний СЦ прогресивний роздСЦл сучасноСЧ геометрСЦСЧ, вона даСФ матерСЦал для мСЦркувань - у нСЦй не все просто, не все ясно з першого погляду, щоб неСЧ зрозумСЦти, потрСЦбно мати фантазСЦю й просторову уяву. СитуацСЦя з геометрСЦСФю Лобачевского й геометрСЦСФю ЕвклСЦда багато в чому схожа на ситуацСЦю з ТеорСЦСФю вСЦдносностСЦ Ейнштейна й класичною фСЦзикою. ГеометрСЦя Лобачевского й Ейнштейна це прогресивнСЦ взаСФмозалежнСЦ теорСЦСЧ, що виконуються на величезних величинах СЦ вСЦдстанях, СЦ, що залишаються вСЦрними на наближеннях до нуля. У просторовСЦй моделСЦ використовуСФться не звичайна евклСЦдова площина, а скривлений простСЦр, на якому вСЦрна теорСЦя Лобачевского.

евклСЦдова геометрСЦя аксСЦома площа

Глава I. Розвиток геометрСЦСЧ


1.1 РЖсторСЦя геометрСЦСЧ


ГеометрСЦя - це одна з найдавнСЦших наук. ДослСЦджувати рСЦзнСЦ просторовСЦ форми здавна спонукувало людей СЧхня практична дСЦяльнСЦсть. Давньогрецький учений Едем Родоський в IV столСЦттСЦ до нашоСЧ ери писала: "ГеометрСЦя була вСЦдкрита СФгиптянами, СЦ виникла при вимСЦрСЦ ЗемлСЦ. Цей вимСЦр було СЧм необхСЦдно внаслСЦдок розлиття рСЦки Нил, що постСЦйно змивала границСЦ. НемаСФ нСЦчого дивного, що ця наука, як СЦ СЦншСЦ, виникла з потреби людини».

УважаСФться, що геометрСЦя почалася в так званоСЧ РЗонийськоСЧ школСЦ. РЗСЧ засновником уважаСФться Фалес Милетський (640-540 (546?) рр. до н.е.). ВСЦн уважався одним СЦз семи мудрецСЦв ГрецСЦСЧ, першим математиком, астрономом СЦ фСЦлософом. ВСЦн довСЦв, що кути при пСЦдставСЦ рСЦвнобедреного трикутника рСЦвнСЦ, що вертикальнСЦ кути рСЦвнСЦ, що дСЦаметр дСЦлить окружнСЦсть навпСЦл СЦ ще множина теорем. Пророкування затьмарення сонця в 585 роцСЦ також приписуСФться йому.

Величезний СЦмпульс розвитку цСЦй школСЦ дав ПСЦфагор (569-470 р. до н.е.). В основному про його особистСЦ якостСЦ пишуть те ж саме, що й про Фалесе. Але до цього ще можна додати титул чемпСЦона з боксу на олСЦмпСЦйських СЦграх - звання, серед математикСЦв рСЦдке.

Незважаючи на всСЦ його досягнення, думку сучасникСЦв добре виразив ГераклСЦт: "Багато знання без розуму». Що ж, це було цСЦлком заслужене: ПСЦфагор засекречував вСЦдкриття й приписував собСЦ роботи учнСЦв. ПСЦфагор також змушував своСЧх вихованцСЦв виконувати цСЦлий звСЦд дуже дивних правил: наприклад, не доторкатися до бСЦлого пСЦвня.

Але факт СФ факт - СЦ одна з теорем ПСЦфагора тепер вСЦдома кожному - це теорема про рСЦвнСЦсть квадрата гСЦпотенузи сумСЦ квадратСЦв катетСЦв. Ця теорема настСЦльки популярна у свСЦтСЦ математикСЦв, що одних тСЦльки доказСЦв нагромадилося 39 штук.

Платон (428-348) знаменитий введенням принципу дедуктивностСЦ в математику, або принципу розвитку вСЦд простого до складного. ВСЦн також знаменитий постановкою трьох задач на побудову. Використовуючи тСЦльки циркуль СЦ лСЦнСЦйку, треба було:

РоздСЦлити кут на три частини (задача про трисекцСЦю кута).

Побудувати квадрат, рСЦвний по площСЦ даному колу (задача про квадратуру кола).

Побудувати куб, рСЦвний по об'СФму даному (задача про подвоСФння куба).

Не можливСЦсть вирСЦшення цих задач була доведена тСЦльки в 19 столСЦттСЦ, але перед цим вони встигли викликати справжню буру: наприклад, задача №2 викликала появу СЦнтегрального вирахування.

Багато первСЦсних геометричних вСЦдомостей одержали також шумеро-вавилонськСЦ, китайськСЦ й СЦншСЦ вченСЦ найдавнСЦших часСЦв. Установлювалися вони сНачало тСЦльки досвСЦдченим шляхом, без логСЦчних доказСЦв.

Як наука, геометрСЦя вперше сформувалася в ДревнСЦй ГрецСЦСЧ, коли геометричнСЦ закономСЦрностСЦ й залежностСЦ, знайденСЦ ранСЦше досвСЦдченим шляхом, були наведенСЦ в належну систему й доведенСЦ.

ЗакСЦнчився розвиток традицСЦйноСЧ геометрСЦСЧ ЕвклСЦдом. В III столСЦттСЦ до нашоСЧ ери грецький учений привело в систему вСЦдомСЦ йому геометричнСЦ вСЦдомостСЦ у великому творСЦ "Начало».

Його книга "Начало» тСЦльки до 1880 року витримала 460 видань, поступившись тСЦльки БСЦблСЦСЧ. СпосСЦб побудови став СФдино вСЦрним для всСЦх наукових праць: Перерахування основних, природних понять (Перерахування основних аксСЦом (Перерахування основних визначень (Формулювання теорем (тверджень) СЦ СЧхнСЦй доказ.

Метод доказу вСЦд противного - теж його заслуга. ВСЦн же сформулював п'ять постулатСЦв геометрСЦСЧ:

Через двСЦ крапки можна провести одну й тСЦльки одну пряму.

Пряма триваСФ нескСЦнченно.

З будь-якого центра можна провести окружнСЦсть будь-яким радСЦусом.

ВсСЦ прямСЦ кути рСЦвнСЦ мСЦж собою.

П'ятий постулат СФ своСФрСЦдним фСЦлософським каменем геометрСЦСЧ.

НеевклСЦдова геометрСЦя з'явилася внаслСЦдок довгих спроб довести V постулат ЕвклСЦда, аксСЦому паралельностСЦ. Ця геометрСЦя багато в чому дивна, незвичайна й багато в чому не вСЦдповСЦдаСФ нашим звичним уявленням про реальний свСЦт. Але в логСЦчному вСЦдношеннСЦ дана геометрСЦя не уступаСФ геометрСЦСЧ ЕвклСЦда.


1.2 Постулати ЕвклСЦда


ЕвклСЦд - автор першого логСЦчноСЧ побудови, що дСЦйшло до нас строгого, геометрСЦСЧ. У ньому виклад настСЦльки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч рокСЦв з моменту появи його працСЦ "Начало» воно було СФдиним керСЦвництвом для вивчаючу геометрСЦю.

ВлНачало» складаються з 13 книг, присвячених геометрСЦСЧ й арифметицСЦ в геометричному викладСЦ.

Кожна книга "Начало» починаСФться визначенням понять, якСЦ зустрСЦчаються вперше. Так, наприклад, першСЦй книзСЦ поданСЦ 23 визначення. Зокрема,

Визначення 1. Крапка СФ те, що не маСФ частин.

Визначення 2. ЛСЦнСЦя СФ довжини без ширини

Визначення 3. ГраницСЦ лСЦнСЦСЧ суть крапки.

СлСЦдом за визначеннями ЕвклСЦд приводить постулати й аксСЦоми, тобто твердження, прийнятСЦ без доказу.

Постулати

I. ПотрСЦбно, щоб вСЦд кожноСЧ крапки до всякоСЧ СЦншоСЧ крапки можна було провести пряму лСЦнСЦю.

II . РЖ щоб кожну пряму можна було невиразно продовжити.

III. РЖ щоб з будь-якого центра можна було описати окружнСЦсть будь-яким радСЦусом.

IV. РЖ щоб всСЦ прямСЦ кути були рСЦвнСЦ.

V. РЖ щоб щораз, коли пряма при перетинаннСЦ СЦз двома СЦншими прямими утворить СЦз ними однобСЦчнСЦ внутрСЦшнСЦ кути, сума яких менше двох прямих, цСЦ прямСЦ перетиналися з тСЦСФСЧ сторони, з якоСЧ ця сума менше двох прямих.

АксСЦоми

I. РСЦвнСЦ порСЦзно третьому рСЦвнСЦ мСЦж собою.

II. РЖ якщо до них додамо рСЦвнСЦ, то одержимо рСЦвнСЦ.

III. РЖ якщо вСЦд рСЦвних вСЦднСЦмемо рСЦвнСЦ, то одержимо рСЦвнСЦ.

IV. РЖ якщо до нерСЦвного додамо рСЦвнСЦ, то одержимо нерСЦвнСЦ.

V. РЖ якщо подвоСЧмо рСЦвнСЦ, то одержимо рСЦвнСЦ.

VI. РЖ половини рСЦвних рСЦвнСЦ мСЦж собою.

VII. РЖ сумСЦснСЦ рСЦвнСЦ.

VIII. РЖ цСЦле бСЦльше частини.

IX. РЖ двСЦ прямСЦ не можуть мСЦстити простори.

РЖнодСЦ IV СЦ V постулати вСЦдносять до числа аксСЦом. Тому п'ятий постулат СЦнодСЦ називають XI аксСЦомою. По якому принципСЦ однСЦ твердження ставляться до постулатСЦв, а СЦншСЦ до аксСЦом, невСЦдомо.

НСЦхто не сумнСЦвався в СЦстинностСЦ постулатСЦв ЕвклСЦда, що стосуСФться й V постулату. Тим часом уже зСЦ стародавностСЦ саме постулат про паралельнСЦ залучив до себе особлива увага ряду геометрСЦв, що вважали неприродним примСЦщення його серед постулатСЦв. РЖмовСЦрно, це було пов'язане з вСЦдносно меншою очевиднСЦстю й наочнСЦстю V постулату: у неявному видСЦ вСЦн припускаСФ досяжнСЦсть будь-яких, як завгодно далеких частин площини, виражаючи "астивСЦсть, що виявляСФться тСЦльки при нескСЦнченному продовженнСЦ прямих.

Можливо, що вже сам ЕвклСЦд намагався довести постулат про паралельнСЦ. На користь цього говорить та обставина, що першСЦ 28 пропозицСЦй "Начало» не опираються на V постулат. ЕвклСЦд як би намагався вСЦдсунути застосування цього постулату доти, поки використання його не стане настСЦйно необхСЦдним.

ОднСЦ математики намагалися довести постулат про паралельний, застосовуючи тСЦльки СЦншСЦ постулати й тСЦ теореми, якСЦ можна вивести з останнСЦх, не використовуючи сам V постулат. ВсСЦ такСЦ спроби виявилися невдалими. РЗхнСЦй загальний недолСЦк у тСЦм, що в доказСЦ неявно застосовувалося яке-небудь припущення, рСЦвносильне доказуваному постулату.

РЖншСЦ пропонували по-новому визначити паралельнСЦ прямСЦ або ж замСЦнити V постулат яким-небудь, на СЧхню думку, бСЦльше очевидною пропозицСЦСФю. Так, наприклад, в XI столСЦттСЦ Омар Хайям увело замСЦсть V постулату "принцип», вСЦдповСЦдно до якого двСЦ лежачСЦ в однСЦй площинСЦ збСЦжнСЦ прямСЦ перетинаються й не можуть розходитися в напрямку сходження. За допомогою цього принципу Хайям доводить, що в чотирикутнику ABCD, у якому кути при пСЦдставСЦ А и В - прямСЦ й сторони АС, ВD рСЦвнСЦ, кути С и D так само прямСЦ, а СЦз цСЦСФСЧ пропозицСЦСЧ про СЦснування прямокутника виводиться V постулат. МСЦркування Хайяма одержали оригСЦнальний розвиток в XIII столСЦттСЦ в Насиредина ат-туси, роботи якого у свою чергу стимулювали дослСЦдження Д. Валлиса. В 1663 роцСЦ Валлис довСЦв постулат про паралельний, виходячи з явного допущення, що для кожноСЧ фСЦгури СЦснуСФ подСЦбна СЧй фСЦгура довСЦльноСЧ величини. Це допущення вСЦн уважав, що випливаСФ з СЦстоти просторових вСЦдносин.

З логСЦчноСЧ точки зору результати Хайяма або Валлиса лише виявляли рСЦвносиль V постулату й деяких СЦнших пропозицСЦй геометрСЦСЧ. Так, Хайям, по сутСЦ, установив еквСЦвалентнСЦсть постулату й пропозицСЦСЧ про суму кутСЦв трикутника, а Валлис показав, що не тСЦльки з V постулату можна вивести вчення про подобу, але й обернено - СЧх ЕвклСЦдова вчення про подобу треба V постулат.

Один з пСЦдбадьорюючих способСЦв пСЦдходу до доказу п'ятого постулату, яким користувалися багато геометрСЦв XVIII СЦ першоСЧ половини XIX столСЦть, полягаСФ в тому, що п'ятий постулат замСЦняСФться його запереченням або яким-небудь твердженням, еквСЦвалентним запереченню. Опираючись на змСЦнену в такий спосСЦб систему постулатСЦв СЦ аксСЦом, доводяться всСЦлякСЦ пропозицСЦСЧ, логСЦчно з СЧСЧ що випливають. Якщо п'ятий постулат дСЦйсно випливаСФ з СЦнших постулатСЦв СЦ аксСЦом, то змСЦнена зазначеним образом система постулатСЦв мСЦ аксСЦом суперечлива. Тому рано або пСЦзно ми прийдемо у двом взаСФмно, що виключають висновкам. Цим СЦ буде доведений п'ятий постулат.

Саме таким шляхом намагалися довести п'ятий постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт (1728-1777) СЦ А.М. Лежандр (1752-1833).

ДослСЦдження Саккери були опублСЦкованСЦ в 1733 роцСЦ за назвою "ЕвклСЦд, очищений вСЦд усяких плям, або досвСЦд, що встановлюСФ найпершСЦ принципи унСЦверсальноСЧ геометрСЦСЧ».

Саккери виходив з розгляду чотирикутника СЦз двома прямими кутами при пСЦдставСЦ й СЦз двома рСЦвними бСЦчними сторонами й . РЖз симетрСЦСЧ фСЦгури щодо перпендикуляра до середини пСЦдстави треба, що кути при вершинах СЦ рСЦвнСЦ. Якщо прийняти п'ятий постулат СЦ, отже, ЕвклСЦдову теорСЦю паралельних, то можна встановити, що кути й прямСЦ й - прямокутник. Обернено, як доводить Саккери, якщо хоча б в одному чотирикутнику зазначеного виду кути при верхнСЦй пСЦдставСЦ виявляться прямими, то буде мати мСЦiе ЕвклСЦдов постулат про паралельнСЦ. Бажаючи довести цей постулат Саккери робить три можливих припущення: або кути й прямСЦ, або тупСЦ, або гострСЦ (гСЦпотези прямого, гострого й тупого кута). Для доказу п'ятого постулату необхСЦдно спростувати гСЦпотези гострого й тупого кута. ЗовсСЦм точними мСЦркуваннями Саккери приводить до протирСЦччя гСЦпотезу тупого кута. СлСЦдом за тим, прийнявши гСЦпотезу гострого кута, вСЦн виводить досить що далеко йдуть СЧСЧ наслСЦдки для того, щоб СЦ тут одержати протирСЦччя. Розвиваючи цСЦ наслСЦдки Саккери будуСФ складну геометричну систему, не мСЦстячи про протирСЦччя тСЦльки тому, що отриманСЦ СЧм висновки не вСЦдповСЦдають звичним уявленням про розташування прямих. У результатСЦ вСЦн "знаходить» логСЦчне протирСЦччя, але в результатСЦ обчислювальноСЧ помилки.

РЖдеСЧ Ламберта, розвиненСЦ СЧм у творСЦ "теорСЦя паралельних лСЦнСЦй» (1766р.), близько примикають до мСЦркувань Саккери.

ВСЦн розглядаСФ чотирикутник СЦз трьома прямими кутами. Щодо четвертого кута так само виникають три гСЦпотези: цей кут прямий, тупий або гострий. ДовСЦвши еквСЦвалентнСЦсть п'ятого постулату гСЦпотезСЦ прямого кута й звСЦвши до протирСЦччя гСЦпотезу тупого кута, Ламберт, подСЦбно Саккери, змушений займатися гСЦпотезою гострого кута. Вона приводить Ламберта до складноСЧ геометричноСЧ системи, у якСЦй йому не вдалося зустрСЦти логСЦчного протирСЦччя. Ламберт нСЦде у своСФму творСЦ не затверджуСФ, що V постулат СЧм доведений, СЦ приходить до твердого висновку, що й всСЦ СЦншСЦ спроби в цьому напрямку не привели до мети.

ВлДоказом ЕвклСЦдова постулату, - пише Ламберт, - можуть бути доведенСЦ настСЦльки далеко, що залишаСФться, очевидно, незначний дрСЦб'язок. Але при ретельному аналСЦзСЦ виявляСФться, що в цьому гаданому дрСЦб'язку й полягаСФ вся суть питання; звичайно вона мСЦстить або доказувану пропозицСЦю, або рСЦвносильний йому постулат».

БСЦльше того, розвиваючи систему гСЦпотези гострого кута, Ламберт виявляСФ аналогСЦю цСЦСФСЧ системи зСЦ сферичною геометрСЦСФю й у цьому вбачаСФ можливСЦсть СЧСЧ СЦснування.

ВлЯ схильний навСЦть думати, що третя гСЦпотеза справедлива на якСЦй-небудь мнимСЦй сферСЦ. Повинна ж бути причина, внаслСЦдок якоСЧ вона на площинСЦ далеко не пСЦддаСФться спростуванню, як це легко може бути зроблене СЦз другою гСЦпотезою».

Лежандр у своСФму доказСЦ п'ятого постулату розглядаСФ три гСЦпотези щодо суми кутСЦв трикутника.

Сума кутСЦв трикутника дорСЦвнюСФ двом прямим.

Сума кутСЦв трикутника бСЦльше двох прямих.

Сума кутСЦв трикутника менше двох прямих.

ВСЦн довСЦв, що перша гСЦпотеза еквСЦвалентна п'ятому постулату, друга гСЦпотеза неможлива; СЦ прийнявши третю гСЦпотезу приходить до протирСЦччя, неявно скориставшись у доказСЦ п'ятим постулатом через один з його еквСЦвалентСЦв.

У результатСЦ проблема паралельних залишалася до Начало XIX столСЦття недозволеноСЧ й положення здавалося безвихСЦдним. Великий знавець питання угорський математик Фаркаш Бояи в 1820 роцСЦ писав своСФму синовСЦ Яношу: "Молю тебе, не роби тСЦльки й ти спроб здолати теорСЦю паралельних лСЦнСЦй: ти затратиш на це увесь свСЦй час, а пропозицСЦСЧ цього ви не доведете всСЦ разом. Не намагайся здолати теорСЦю паралельних лСЦнСЦй нСЦ тим способом, що ти повСЦдомляСФш мене, нСЦ яким-небудь СЦншим. Я вивчив всСЦ шляхи до кСЦнця: я не зустрСЦв нСЦ однСЦСФСЧ СЦдеСЧ, який би я не розробляв. Я пройшов весь безпросвСЦтний морок цСЦСФСЧ ночСЦ, СЦ всякий свСЦточ, усяку радСЦсть життя я в нСЦй поховав... Цей безпросвСЦтний морок... нСЦколи не проясниться на землСЦ, СЦ нСЦколи нещасний рСЦд людський не буде володСЦти чим-небудь зробленим навСЦть у геометрСЦСЧ. Це бСЦльша й вСЦчна рана в моСЧй душСЦ...». БезпросвСЦтний морок, про яке з гСЦркотою писав старший Бойяи, розсСЦяв Лобачевский СЦ, трохи пСЦзнСЦше, Я. Бояи.

Але багатовСЦковСЦ спроби доказу п'ятого постулату ЕвклСЦда привели зрештою до появи новоСЧ геометрСЦСЧ, що вСЦдрСЦзняСФться вСЦд евклСЦдовоСЧ тем, що в нСЦй V постулат не виконуСФться. Ця геометрСЦя тепер називаСФться неевклСЦдовоСЧ, а в РосСЦСЧ маСФ СЦм'я Лобачевского, що вперше опублСЦкував роботу з СЧСЧ викладом.

РЖ однСЦСФСЧ з передумов геометричних вСЦдкриттСЦв Н. И. Лобачевского (1792-1856) був саме його матерСЦалСЦстичний пСЦдхСЦд до проблем пСЦзнання. Лобачевский ВСЦн був твердо впевнений в об'СФктивному й не залежному вСЦд людськоСЧ свСЦдомостСЦ СЦснуваннСЦ матерСЦального свСЦту й у можливостСЦ його пСЦзнання. У мовСЦ "Про найважливСЦшСЦ предмети виховання» (Казань, 1828) Лобачевский спСЦвчутливо наводить слова Ф. Бекона: "залишСЦть трудитися дарма, намагаючись витягти з одного розуму всю мудрСЦсть; запитуйте природу, вона зберСЦгаСФ всСЦ СЦстини й на всСЦ питання вашСЦ буде вСЦдповСЦдати вам неодмСЦнно й задовСЦльно». У своСФму творСЦ "Про початки геометрСЦСЧ», що СФ першою публСЦкацСЦСФю вСЦдкритоСЧ СЧм геометрСЦСЧ, Лобачевский писав: "першСЦ поняття, з яких починаСФться яка-небудь наука, повиннСЦ бути яснСЦ й наведенСЦ до найменшого числа. ТодСЦ тСЦльки вони можуть служити мСЦцною й достатньою пСЦдставою навчання. ТакСЦ поняття здобуваються почуттями; уродженим - не повинне вСЦрити». Тим самим Лобачевский вСЦдкидав СЦдею про апрСЦорний характер геометричних понять, що пСЦдтримувалася И. Кантом.

ПершСЦ спроби Лобачевского довести п'ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року вСЦн переконався в тСЦм, що V постулат не залежить вСЦд СЦнших аксСЦом геометрСЦСЧ ЕвклСЦда й 11(23) лютого 1826 року зробив на засСЦданнСЦ факультету казанського унСЦверситету доповСЦдь "Стислий виклад Начало геометрСЦСЧ зСЦ строгим доказом теореми про паралельний», у якому були викладенСЦ початки вСЦдкритоСЧ СЧм "уявлюваноСЧ геометрСЦСЧ», як вСЦн називав систему, що пСЦзнСЦше одержала назву неевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ. ДоповСЦдь 1826р. увСЦйшов до складу першоСЧ публСЦкацСЦСЧ Лобачевского по неевклСЦдовСЦй геометрСЦСЧ - статтСЦ "Про початки геометрСЦСЧ», надрукованоСЧ в журналСЦ Казанського унСЦверситету "Казанський вСЦсник» в 1829-1820р. подальшому розвитку й додаткам вСЦдкритоСЧ СЧм геометрСЦСЧ були присвяченСЦ мемуари "Уявлювана геометрСЦя», "Застосування уявлюваноСЧ геометрСЦСЧ до деяких СЦнтегралСЦв» СЦ "НовСЦ початки геометрСЦСЧ з повною теорСЦСФю паралельних», опублСЦкованСЦ в "Учених записках» вСЦдповСЦдно в 1835, 1836 СЦ 1835-1838 р. Перероблений текст "УявлюваноСЧ геометрСЦСЧ» з'явився у французькому перекладСЦ в БерлСЦнСЦ, там же в 1840р. вийшли окремою книгою нСЦмецькою мовою "ГеометричнСЦ дослСЦдження з теорСЦСЧ паралельних лСЦнСЦй» Лобачевского. НарештСЦ, в 1855 СЦ 1856 р. вСЦн видав у КазанСЦ на росСЦйськСЦй СЦ французькСЦй мовах "ПангеометрСЦю».

Високо оцСЦнив "ГеометричнСЦ дослСЦдження» Гаусс, що провСЦв Лобачевского (1842) у члени-кореспонденти Геттингенського вченого суспСЦльства, що було по сутСЦ АкадемСЦСФю наук гановерського королСЦвства. Однак у пресСЦ в оцСЦнкою новоСЧ геометричноСЧ системи Гаусс не виступив.

Висока оцСЦнка гауссом вСЦдкриття Лобачевского була пов'язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х рокСЦв XVIII в. займався теорСЦСФю паралельностСЦ лСЦнСЦй, прийшов до тих же висновкам, що й Лобачевский. СвоСЧ погляди по цьому питанню Гаусс не публСЦкував, вони збереглися тСЦльки в його чорнових записках СЦ в деяких листам до друзСЦв. В 1818 р. у листСЦ до австрСЦйського астронома Герлингу (1788-1864) вСЦн писав: "Я радуюся, що ви маСФте мужнСЦсть висловитися так, нСЦби Ви визнавали хибнСЦсть нашоСЧ теорСЦСЧ паралельних, а разом з тим СЦ всСЦСФСЧ нашоСЧ геометрСЦСЧ. Але оси, гнСЦздо яких Ви потривожите, полетять Вам на голову»; очевидно, пСЦд "потривоженими осами» Гаусс мав на увазСЦ прихильникСЦв традицСЦйних поглядСЦв на геометрСЦю, а також апрСЦорСЦзму математичних понять.

Незалежно вСЦд Лобачевского й Гаусса до вСЦдкриття неевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ прийшов угорський математик Янош Бояи (1802-1860), син Ф. Бояи.

Коли Я. Бояи прийшов до тих же СЦдеям, що Лобачевский СЦ Гаусс, батько не зрозумСЦв його, однак запропонував надрукувати короткий виклад його вСЦдкриття у виглядСЦ додатка до свого посСЦбника з математики, що вышли в 1832р. Повна назва працСЦ Я. Бояи - "Додаток, що мСЦстить науку про простСЦр, абсолютно щиру, що не залежить вСЦд СЦстинностСЦ або хибностСЦ XI аксСЦоми ЕвклСЦда (що a priori нСЦколи вирСЦшено бути не може)» СЦ його звичайно коротко називають просто "Апендикс». ВСЦдкриття Я. Бояи не було визнано при його життСЦ; Гаусс, якому Ф. Бояи послав "Апендикс", зрозумСЦв його, але нСЦяк не сприяв визнанню вСЦдкриття Я. Бояи.


1.3 АксСЦоматика Гильберта


Хоча в сучасному аксСЦоматичному викладСЦ геометрСЦСЧ ЕвклСЦда не завжди користуються аксСЦоматикою Гильберта, приведемо СЧСЧ, як першу повну, незалежну й несуперечливу систему аксСЦом.

ВсСЦ двадцять аксСЦом системи Гильберта пСЦдроздСЦленСЦ на п'ять груп.

Група I мСЦстить вСЦсСЦм аксСЦом приналежностСЦ.

Група II мСЦстить чотири аксСЦоми порядку.

Група III мСЦстить п'ять аксСЦом конгруентностСЦ.

Група IV мСЦстить двСЦ аксСЦоми безперервностСЦ.

Група V мСЦстить одну аксСЦому паралельностСЦ.

Переходимо до формулювання аксСЦом по групах. Одночасно будемо вказувати деякСЦ твердження, що випливають СЦз аксСЦом.

I. АксСЦоми приналежностСЦ

I, 1. ЯкСЦ б не були двСЦ крапки A СЦ B, СЦснуСФ пряма a, що належать цСЦ крапки.

I, 2. ЯкСЦ б не були двСЦ крапки A СЦ B, СЦснуСФ не бСЦльше однСЦй прямСЦй, який належать цСЦ крапки.

I, 3. КожнСЦй прямСЦй a належать принаймнСЦ двСЦ крапки. РЖснують принаймнСЦ три крапки, що не належать однСЦй прямСЦй.

ЗазначенСЦ три аксСЦоми вичерпують список аксСЦом приналежностСЦ планСЦметрСЦСЧ. НаступнСЦ п'ять аксСЦом разом СЦз зазначеними трьома завершують список аксСЦом приналежностСЦ стереометрСЦСЧ.

I, 4. ЯкСЦ б не були три крапки A, B СЦ C, що не належать однСЦй прямСЦй, СЦснуСФ площина ?, що належать цСЦ три крапки. КожноСЧ площини належить хоча б одна крапка.

I, 5. ЯкСЦ б не були три крапки A, B СЦ C, що не належать однСЦй прямСЦй, СЦснуСФ не бСЦльше однСЦСФСЧ площини, який належать цСЦ крапки.

I, 6. Якщо двСЦ приналежнСЦ прямСЦ a рСЦзнСЦ крапки A СЦ B належать деякСЦй площинСЦ ?, те кожна приналежнСЦй прямСЦй a крапка належить зазначенСЦй площинСЦ.

I, 7. Якщо СЦснуСФ одна крапка A, що належить двом площинам ? СЦ ?, те СЦснуСФ принаймнСЦ ще одна крапка B, що належить обом цим площинам.

I, 8. РЖснують принаймнСЦ чотири крапки, що не належать однСЦСФСЧ площини.

З метою використання звичноСЧ для нас геометричноСЧ лексики домовимося ототожнювати мСЦж собою наступнСЦ вираження: 1) "крапка А належить прямСЦй a (площини О±)», 2) "пряма а (площина О±) проходить через крапку А» 3) "крапка А лежить на прямСЦй а (площини О±)» 4) "крапка А СФ крапкою прямСЦй а (площини О±)» СЦ тому подСЦбнСЦ.

Теорема 1. ДвСЦ рСЦзнСЦ прямСЦ не можуть мати бСЦльше однСЦСФСЧ загальноСЧ крапки.

Теорема 2. ДвСЦ площини або зовсСЦм не мають загальних крапок, або мають загальну пряму, на якСЦй лежать всСЦ СЧхнСЦ загальнСЦ крапки.

Теорема 3. Площина й не лежача на нСЦй пряма не можуть мати бСЦльше однСЦСФСЧ загальноСЧ крапки.

Теорема 4. Через пряму й не лежачу на нСЦй крапку, або через двСЦ рСЦзнСЦ прямСЦ СЦз загальною крапкою проходить одна й тСЦльки одна площина.

Теорема 5. Кожна площина мСЦстить принаймнСЦ три крапки.

II. АксСЦоми порядку

II, 1. Якщо крапка B прямСЦй а лежить мСЦж крапками А и С тСЦСФСЧ ж прямоСЧ, то А, У и С - рСЦзнСЦ крапки зазначеноСЧ прямоСЧ, причому В лежить також СЦ мСЦж С и А.

II, 2. ЯкСЦ б не були двСЦ рСЦзнСЦ крапки А и С, на обумовленСЦй ними прямСЦй СЦснуСФ принаймнСЦ вона крапка В така, що З лежить мСЦж А и В.

II, 3. Серед будь-яких трьох крапок, що лежать на однСЦй прямСЦй СЦснуСФ не бСЦльше однСЦСФСЧ крапки, що лежить мСЦж двома СЦншими.

СформульованСЦ три аксСЦоми ставляться до розташування об'СФктСЦв на прямСЦй СЦ тому називаються лСЦнСЦйними аксСЦомами порядку. Нижче остання аксСЦома порядку ставиться до розташування геометричних об'СФктСЦв на площинСЦ. Для того, щоб сформулювати цю аксСЦому, уведемо поняття вСЦдрСЦзка.

Пари рСЦзних крапок А и В назвемо вСЦдрСЦзком СЦ будемо позначати символом АВ або ВА. Крапки прямСЦй, обумовленоСЧ А и В, що лежать мСЦж ними, будемо називати внутрСЦшнСЦми крапками, або просто крапками вСЦдрСЦзка АВ. РЖншСЦ крапки зазначеноСЧ прямоСЧ будемо називати зовнСЦшнСЦми крапками вСЦдрСЦзка АВ.

II, 4 (АксСЦома Паша). Якщо А, У и С - три крапки, що не лежать на однСЦй прямСЦй, СЦ а - якась пряма в площинСЦ, обумовленоСЧ цими крапками, не утримуюча нСЦ однСЦСФСЧ СЦз зазначених крапок СЦ минаюча через деяку крапку вСЦдрСЦзка АВ, то ця пряма проходить також або через деяку крапку вСЦдрСЦзка АС, або через деяку крапку вСЦдрСЦзка ВР.

ПСЦдкреслимо, що з одних аксСЦом порядку II, 1 - 4 ще не випливаСФ, що будь-який вСЦдрСЦзок маСФ внутрСЦшнСЦ крапки. Однак залучаючи ще аксСЦоми приналежностСЦ I, 1 - 3 можна довести наступне твердження:

Теорема 6. ЯкСЦ б не були двСЦ рСЦзнСЦ крапки А и В на прямСЦй, ними обумовленоСЧ, СЦснуСФ принаймнСЦ одна крапка С, що лежить мСЦж А и В.

Теорема 7. Серед будь-яких трьох крапок однСЦСФСЧ прямоСЧ завжди СЦснуСФ одна крапка, що лежить мСЦж двома СЦншими.

Теорема 8. Якщо крапки А, У и С не належать однСЦй прямСЦй СЦ якщо деяка пряма а перетинаСФ якСЦ-небудь два з вСЦдрСЦзкСЦв АВ, ВР СЦ АС, то ця пряма не перетинаСФ третСЦй СЦз зазначених вСЦдрСЦзкСЦв.

Теорема 9. Якщо В лежить на вСЦдрСЦзку АС, СЦ С - на вСЦдрСЦзку ВD, то В и С лежать на вСЦдрСЦзку АD.

Теорема 10. Якщо З лежить на вСЦдрСЦзку АD, а В - на вСЦдрСЦзку АС, то В лежить також на вСЦдрСЦзку АD, а С - на вСЦдрСЦзку BD.

Теорема 11. МСЦж будь-якими двома крапками прямоСЧ СЦснуСФ нескСЦнченно багато СЦнших СЧСЧ крапок.

Теорема 12. Нехай кожна СЦз крапок С и D лежить мСЦж крапками А и В. ТодСЦ якщо М лежить мСЦж С и D, те М лежить СЦ мСЦж А и В.

Теорема 13. Якщо крапки С и D лежать мСЦж крапками А и В, то всСЦ крапки вСЦдрСЦзка СD належать вСЦдрСЦзку АВ (у цьому випадку ми будемо говорити, що вСЦдрСЦзок СD лежить усерединСЦ вСЦдрСЦзка АВ).

Теорема 14. Якщо крапка З лежить мСЦж крапками А и В, то 1) нСЦяка крапка вСЦдрСЦзка АС не може бути крапкою вСЦдрСЦзка CВ, 2) кожна вСЦдмСЦнна вСЦд РЖз крапка вСЦдрСЦзка АВ належить або вСЦдрСЦзку АС, або вСЦдрСЦзку СВ.

ЗазначенСЦ твердження дозволяють упорядкувати множину крапок будь-якСЦй прямСЦй СЦ вибрати на цСЦй прямСЦй напрямок.

Будемо говорити, що двСЦ рСЦзнСЦ крапки А и В прямСЦй a лежать по рСЦзнСЦ сторони (по одну сторону) вСЦд третьоСЧ крапки Про ту ж пряму, якщо крапка Про лежить (не лежить) мСЦж А и В.

РЖз зазначених вище тверджень випливаСФ наступна теорема.

Теорема 15. ДовСЦльна крапка Про кожну пряму а розбиваСФ всСЦ СЦншСЦ крапки цСЦСФСЧ прямоСЧ на два непустих класи так, що будь-якСЦ двСЦ крапки прямСЦй а, що належать тому самому класу, лежать по одну сторону вСЦд ПРО, а будь-якСЦ двСЦ крапки, що належать рСЦзним класам, лежать по рСЦзнСЦ сторони вСЦд О.

Таким чином, завдання на будь-якСЦй прямСЦй двох рСЦзних крапок О и Е визначаСФ на цСЦСФСЧ прямий промСЦнь або напСЦвпряму ОЕ, що володСЦСФ тим "астивСЦстю, що будь-яка СЧСЧ крапка й крапка Е лежать по одну сторону вСЦд О.

Вибравши на прямСЦй а двСЦ рСЦзнСЦ крапки О и Е, ми можемо тепер визначити порядок проходження крапок на прямСЦй за наступним правилом: 1) якщо А и В - будь-якСЦ крапки променя ОЕ, то будемо говорити, що А передуСФ В, якщо А лежить мСЦж О и В, 2) будемо говорити, що крапка Про передуСФ будь-якСЦй крапцСЦ променя ОЕ, 3) будемо говорити, що будь-яка крапка, що належить тСЦй же прямСЦй СЦ не приналежна лучу ОЕ, передуСФ як крапцСЦ ПРО, так СЦ будь-яку крапку променя ОЕ, 4) якщо А и В - будь-якСЦ крапки, що не належать лучу ОЕ, то ми будемо говорити, що А передуСФ В, якщо В лежить мСЦж А и О.

Легко перевСЦрити, що для обраного нами порядку проходження крапок прямСЦй а справедлива "астивСЦсть транзитивностСЦ: якщо А передуСФ В, а В передуСФ З, те А передуСФ С.

АксСЦоми, наведенСЦ вище, дозволяють упорядкувати й крапки, що належать довСЦльноСЧ площини ?.

Теорема 16. Кожна пряма а, що належить площини О±, роздСЦляСФ не лежачСЦ на нСЦй крапки цСЦСФСЧ площини на два непустих класи так, що будь-якСЦ двСЦ крапки А и В з рСЦзних класСЦв визначають вСЦдрСЦзок АВ, що мСЦстить крапку прямСЦй а, а будь-якСЦ двСЦ крапки А и АтАЩ з одного класу визначають вСЦдрСЦзок ААтАЩ, усерединСЦ якого не лежить жодна крапка прямСЦй а.

У вСЦдповСЦднСЦсть СЦз твердженням цСЦСФСЧ теореми ми можемо говорити, що крапки А и АтАЩ (одного класу) лежать у площинСЦ О± по одну сторону вСЦд прямСЦй а, а крапки А и В (рСЦзних класСЦв) лежать у площинСЦ О± по рСЦзнСЦ сторони вСЦд прямСЦй а.

III. АксСЦоми конгруентностСЦ

III, 1. Якщо А и В - двСЦ крапки на прямСЦй а, АтАЩ - крапка на тСЦй же прямСЦй або на СЦншСЦй прямСЦй а', то по дану вСЦд крапки АтАЩ сторону прямСЦй а' найдеться, СЦ притСЦм тСЦльки одна, крапка ВтАЩ така, що вСЦдрСЦзок А'тАЩ конгруентний вСЦдрСЦзку АВ. Кожний вСЦдрСЦзок АВ конгруентний вСЦдрСЦзку ВА.

III, 2. Якщо вСЦдрСЦзки А'' СЦ АтАЭBтАЭ конгруентнСЦ тому самому вСЦдрСЦзку АВ, то вони конгруентнСЦ й мСЦж собою.

III, 3. Нехай АВ СЦ ВР - два вСЦдрСЦзки прямСЦй а, що не мають загальних внутрСЦшнСЦх крапок, А'' СЦ B'' - два вСЦдрСЦзки тСЦй же прямСЦй, або СЦншСЦй прямСЦй а', що також не мають загальних внутрСЦшнСЦх крапок. ТодСЦ якщо вСЦдрСЦзок АВ конгруентний вСЦдрСЦзку А'', а вСЦдрСЦзок ВР конгруентний вСЦдрСЦзку B'', те вСЦдрСЦзок АС конгруентний вСЦдрСЦзку А''.

СформульованСЦ три аксСЦоми ставляться до конгруентностСЦ вСЦдрСЦзкСЦв. Для формулювання наступних аксСЦом нам знадобляться поняття кута СЦ його внутрСЦшнСЦх крапок.

Пари напСЦвпрямих h СЦ k, що виходять СЦз однСЦСФСЧ й тСЦСФСЧ ж крапки О и не лежачих на однСЦй прямСЦй, називаСФться кутом СЦ позначаСФться символом або .

Якщо напСЦвпрямСЦ задаються двома своСЧми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом або . У силу теореми 4 будь-якСЦ два променСЦ h СЦ k, тридцятилСЦтнСЦ кут , визначають, СЦ притСЦм СФдину, площина О±.

ВнутрСЦшнСЦми крапками будемо називати тСЦ крапки площини О±, якСЦ, по-перше, лежать по ту сторону вСЦд прямоСЧ, що мСЦстить промСЦнь h, що й будь-яка крапка променя k, СЦ, по-друге, лежать по ту сторону вСЦд прямоСЧ, що мСЦстить промСЦнь k, що й будь-яка крапка променя h.

III, 4. Нехай данСЦ на площинСЦ О±, пряма а' на цСЦй же або на якСЦй-небудь СЦншСЦй площинСЦ О±тАЩ СЦ задана певна сторона площини О±тАЩ вСЦдносно прямСЦй а'. Нехай hтАЩ - промСЦнь прямСЦй а', що виходить СЦз деякоСЧ крапки ОтАЩ. ТодСЦ на площинСЦ О±тАЩ СЦснуСФ один СЦ тСЦльки один промСЦнь kтАЩ такий, що конгруентний , СЦ при цьому всСЦ внутрСЦшнСЦ крапки лежать по задану сторону вСЦд прямСЦй а'. Кожний кут конгруентний самому собСЦ.

III, 5. Нехай А, У и С - три крапки, що не лежать на однСЦй прямСЦй, АтАЩ, BтАЩ СЦ СтАЩ - СЦншСЦ три крапки, що також не лежать на однСЦй прямСЦй. ТодСЦ якщо вСЦдрСЦзок АВ конгруентний вСЦдрСЦзку А'тАЩ, вСЦдрСЦзок АС конгруентний вСЦдрСЦзку А'тАЩ СЦ конгруентний , те конгруентний СЦ конгруентний

Домовимося тепер про порСЦвняння неконгруентних вСЦдрСЦзкСЦв СЦ кутСЦв.

Будемо говорити, що вСЦдрСЦзок АВ бСЦльше вСЦдрСЦзка А'', якщо на прямСЦй, обумовленоСЧ крапками А и В, найдеться лежача мСЦж цими крапками крапка З така, що вСЦдрСЦзок АС конгруентний вСЦдрСЦзку А'В'. Будемо говорити, що вСЦдрСЦзок АВ менше вСЦдрСЦзка А'', якщо вСЦдрСЦзок А'' бСЦльше вСЦдрСЦзка АВ.

СимволСЦчно той факт, що вСЦдрСЦзок АВ менше вСЦдрСЦзка А'' (конгруентний вСЦдрСЦзку А'') будемо записувати так:


АВ<A'' (AB=A'').


Будемо говорити, що бСЦльше , якщо в площинСЦ, обумовленоСЧ , найдеться промСЦнь ОС, всСЦ крапки якого СФ внутрСЦшнСЦми крапками , такий, що конгруентний . Будемо говорити, що менше , якщо бСЦльше .

За допомогою аксСЦом приналежностСЦ, порядку й конгруентностСЦ можна довести цСЦлий ряд теорем елементарноСЧ геометрСЦСЧ. Сюди ставляться: 1) три широко вСЦдомСЦ теореми про конгруентнСЦсть (рСЦвностСЦ) двох трикутникСЦв, 2) теорема про конгруентнСЦсть вертикальних кутСЦв, 3) теорема про конгруентнСЦсть всСЦх прямих кутСЦв, 4) теорема про одиничнСЦсть перпендикуляра, опущеного СЦз крапки на пряму, 5) теорема про одиничнСЦсть перпендикуляра, проведеного до даноСЧ крапки прямСЦй, 6) теорема про зовнСЦшнСЦй кут трикутника, 7) теорема про порСЦвняння перпендикуляра й похилоСЧ.

IV. АксСЦоми безперервностСЦ

За допомогою аксСЦом приналежностСЦ, порядку й конгруентностСЦ ми зробили порСЦвняння вСЦдрСЦзкСЦв, що дозволяСФ укласти, яким СЦз трьох знакСЦв <, = або > зв'язанСЦ цСЦ вСЦдрСЦзки.

Зазначених аксСЦом, однак, недостатньо 1) для обТСрунтування можливостСЦ вимСЦру вСЦдрСЦзкСЦв, що дозволяСФ поставити у вСЦдповСЦднСЦсть кожному вСЦдрСЦзку певне речовинне число, 2) для обТСрунтування того, що зазначена вСЦдповСЦднСЦсть СФ взаСФмно однозначним.

Для проведення такого обТСрунтування варто приСФднати до аксСЦом I, II СЦ III двСЦ аксСЦоми безперервностСЦ.

IV, 1 (аксСЦома АрхСЦмеда). Нехай АВ СЦ СD - довСЦльнСЦ вСЦдрСЦзки. ТодСЦ на прямСЦй, обумовленоСЧ крапками А и В СЦснуСФ кСЦнцеве число крапок А1, А2, ..., Аn, розташованих так, що крапка А1 лежить мСЦж А и А2, крапка А2 лежить мСЦж А1 СЦ А3, ..., крапка Аn-1 лежить мСЦж Аn-2 СЦ Аn, причому вСЦдрСЦзки АА1, А1А2, ..., Аn-1An конгруентнСЦ вСЦдрСЦзку CD СЦ крапка В лежить мСЦж А и Аn.

IV, 2 (аксСЦома лСЦнСЦйноСЧ повноти). СукупнСЦсть всСЦх крапок довСЦльноСЧ прямоСЧ а не можна поповнити новими об'СФктами (крапками) так, щоб 1) на поповненСЦй прямСЦй були визначенСЦ спСЦввСЦдношення "лежить мСЦж» СЦ "конгруентний», визначений порядок проходження крапок СЦ справедливСЦ аксСЦоми конгруентностСЦ III, 1 - 3 СЦ аксСЦома АрхСЦмеда IV, 1, 2) стосовно колишнСЦх крапок прямСЦй певнСЦ на поповненСЦй прямСЦй спСЦввСЦдношення "лежить мСЦж» СЦ "конгруентний» зберСЦгали старий змСЦст.

ПриСФднання до аксСЦом I, 1 - 3, II СЦ III, 1- 3 аксСЦоми АрхСЦмеда дозволяСФ поставити у вСЦдповСЦднСЦсть кожнСЦй крапцСЦ довСЦльноСЧ прямоСЧ а певне речовинне число х, називане координатою цСЦСФСЧ крапки, а приСФднання ще й аксСЦоми лСЦнСЦйноСЧ повноти дозволяСФ затверджувати, що координати всСЦх крапок прямСЦй а вичерпують множину всСЦх речовинних чисел. Користуючись цим, можна обТСрунтувати метод координат.

V. АксСЦома паралельностСЦ

Сама остання аксСЦома граСФ в геометрСЦСЧ особливу роль, визначаючи подСЦл геометрСЦСЧ на двСЦ логСЦчно несуперечливСЦ й взаСФмно виключають один одного системи: ЕвклСЦдову й неевклСЦдову геометрСЦСЧ.

У геометрСЦСЧ ЕвклСЦда ця аксСЦома формулюСФться так.

V. Нехай а - довСЦльна пряма й А - крапка, що лежить поза прямСЦй а, тодСЦ в площинСЦ О±, обумовленою крапкою А и прямоСЧ а СЦснуСФ не бСЦльше однСЦй прямСЦй, що проходить через А и не перетинаСФ а.

Довгий час геометри намагалися з'ясувати, чи не СФ аксСЦома паралельностСЦ наслСЦдком всСЦх СЦнших аксСЦом. Це питання було вирСЦшено Миколою РЖвановичем Лобачевским, що довСЦв незалежнСЦсть аксСЦоми V вСЦд аксСЦом I - IV.

По-СЦншому результат Лобачевского можна сформулювати так: якщо до аксСЦом I - IV приСФднати твердження, що заперечуСФ справедливСЦсть аксСЦоми V, те наслСЦдку всСЦх цих положень будуть становити логСЦчно несуперечливу систему (неевклСЦдову геометрСЦю Лобачевского).

Систему наслСЦдкСЦв, що випливають СЦз одних тСЦльки аксСЦом I - IV звичайно називають абсолютною геометрСЦСФю. Абсолютна геометрСЦя СФ загальною частиною як евклСЦдовоСЧ, так СЦ неевклСЦдовоСЧ геометрий, тому що всСЦ пропозицСЦСЧ, якСЦ можуть бути доведенСЦ тСЦльки за допомогою аксСЦом I - IV, вСЦрнСЦ як у геометрСЦСЧ ЕвклСЦда, так СЦ в геометрСЦСЧ Лобачевского.

Доказ несуперечностСЦ аксСЦоматики Гильберта

Щоб довести несуперечнСЦсть якоСЧсь теорСЦСЧ Х, необхСЦдно з матерСЦалу СЦнший, свСЦдомо несуперечливоСЧ, теорСЦСЧ А побудувати така модель, у котроСЧ виконуються всСЦ аксСЦоми теорСЦСЧ Х. Якщо ц удасться, теорСЦю Х можна вважати несуперечливоСЧ. Отже, для того, щоб довести несуперечнСЦсть гильбертовой системи, необхСЦдно побудувати таку модель евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ, у якСЦй виконувалися б всСЦ аксСЦоми, запропонованСЦ Гильбертом.

Для побудови такоСЧ моделСЦ, необхСЦдна вищезгадана свСЦдомо несуперечлива теорСЦя. У моделСЦ, побудованоСЧ Гильбертом, такою теорСЦСФю служить теорСЦя дСЦйсних чисел. РЖдея побудови моделСЦ складалася в розглядСЦ системи координат на площинСЦ. У такСЦй системСЦ кожнСЦй крапцСЦ М площини вСЦдповСЦдають два числа х и в - СЧСЧ координати. Щоб зрозумСЦти суть побудови моделСЦ забудемо про площину й наявноСЧ на нСЦй координатнСЦй системСЦ, "крапками» будемо називати впорядкованСЦ пари дСЦйсних чисел (х; у) тобто пари (х; у) СЦ (в; х) з рСЦзними х и в будемо вважати рСЦзними. Тепер спробуСФмо визначити "пряму». ЗгадаСФмо, що кожна пряма описуСФться в координатах лСЦнСЦйним рСЦвнянням виду ax + by + c = 0, де хоча б один з коефСЦцСЦСФнтСЦв a СЦ b вСЦдмСЦнний вСЦд нуля. Наприклад, рСЦвняння прямСЦй, не паралельноСЧ осСЦ ординат, маСФ вигляд в = kx + l, або, що те ж саме, ax + by + c = 0, де a = k, b = -1, c = l. Якщо ж пряма паралельна осСЦ ординат, СЧй вСЦдповСЦдаСФ рСЦвняння x = p (тобто рСЦвняння ax + by + c = 0, де a = 1, b = 0, c = -p;). При цьому якщо всСЦ коефСЦцСЦСФнти рСЦвняння ax + by + c = 0 помножити на те саме число k тЙа 0, те отримане рСЦвняння буде описувати ту ж пряму. Ми ж у своСЧй моделСЦ будемо називати "прямСЦй» будь-яке лСЦнСЦйне рСЦвняння виду ax + by + c = 0, у якому хоча б один з коефСЦцСЦСФнтСЦв a СЦ b вСЦдмСЦнний вСЦд нуля, причому коефСЦцСЦСФнти розглядаються з точнСЦстю до ненульового множника пропорцСЦйностСЦ (при k тЙа 0 рСЦвняння ax + by + c = 0 СЦ (ak)x + (bk)y + kc = 0 уважаються однСЦСФСЧ й тСЦй же прямСЦй).

ДалСЦ, "крапка» (х1; в1) лежить на "прямСЦй», якщо числа х1 СЦ в1 задовольняють зазначеному рСЦвнянню. Як бачимо, для визначення "прямих», "крапок» СЦ розташування "крапок» на "прямСЦй» досить обпертися на теорСЦю дСЦйсних чисел. Легко перевСЦрити, що в зазначенСЦй моделСЦ виконуються, наприклад, такСЦ аксСЦоми:

1. Через двСЦ рСЦзнСЦ "крапки» проходить "пряма»

2. На "прямСЦй» СФ не менш двох "крапок»

Легко визначити випадок, при якому одна СЦз трьох "крапок» лежить на "прямСЦй» "мСЦж» двома СЦншими. Коли A(x1; y1), B(x2; y2) СЦ C(x3; y3) - три "крапки», що лежать на однСЦй "прямСЦй», "крапка» B уважаСФться розташованоСЧ "мСЦж» A СЦ C за умови, що число x2 укладено мСЦж числами x1 СЦ x3 (якщо x1 = x2 = x3, то y2 укладено мСЦж y1 СЦ y3). ТодСЦ очевидно, що

3. РЖз трьох "крапок», що лежать на однСЦй "прямСЦй», одна й тСЦльки одна розташована мСЦж двома СЦншими.

Виконуються й СЦншСЦ аксСЦоми порядку (зокрема, аксСЦома Паша). ПомСЦтимо, що ми спецСЦально не СЦлюструСФмо змСЦст аксСЦом кресленнями, оскСЦльки при чисто аксСЦоматичному викладСЦ не слСЦд використовувати звичнСЦ геометричнСЦ подання.

Будемо говорити, що двСЦ "прямСЦ» a1x + b1y + c1 = 0 СЦ a2x + b2y + c2 = 0 "паралельнСЦ», якщо коефСЦцСЦСФнти a1, b1 СЦ a2, b2 пропорцСЦйнСЦ. Це можна коротко записати рСЦвнСЦстю a1b2 - a2b1 = 0. Неважко перевСЦрити, що двСЦ "паралельнСЦ» "прямСЦ» або не мають нСЦ однСЦСФСЧ загальноСЧ "крапки», або збСЦгаються (у звичайнСЦй геометрСЦСЧ теж часто приймають, що пряма паралельна самоСЧ собСЦ). БСЦльше того,

4. Через будь-яку "крапку» A1(x1; y1) проходить одна й тСЦльки одна "пряма», паралельна даноСЧ "прямСЦй» Ax + By + C = 0.

РЖнакше кажучи, у зазначенСЦй моделСЦ виконуСФться аксСЦома паралельностСЦ. Можна тут говорити й про довжини вСЦдрСЦзкСЦв, СЦ про величини кутСЦв. Наприклад, "вСЦдстанню» мСЦж двома "крапками» A1(x1; y1) СЦ A2(x2; y2) називаСФться число


A1A2 =


ДалСЦ, у звичнСЦй евклСЦдовСЦй геометрСЦСЧ справедлива теорема косинусСЦв:


cos C =


(величина кута З дорСЦвнюСФ арккосинусу правоСЧ частини рСЦвностСЦ. Можна заперечити, що тригонометричнСЦ функцСЦСЧ (СЦ, зокрема, косинус) визначаються геометрично й обСЦйтися без звичайноСЧ евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ в цьому випадку неможливо.

Однак це невСЦрно. У математичному аналСЦзСЦ доводиться, що функцСЦя cos x задаСФться нескСЦнченним рядом


cos x = ,


який сходиться для будь-якого дСЦйсного x. Таким чином, у розглянутСЦй моделСЦ припустимо говорити й про вСЦдстанСЦ, СЦ про величини кутСЦв.

Так само легко перевСЦрити, що в нСЦй виконуються й аксСЦоми конгруентностСЦ (зокрема, перша й друга ознаки рСЦвностСЦ трикутникСЦв). У пСЦдсумку всСЦ гильбертови аксСЦоми (якСЦ виявляють собою розвиток СЦ уточнення аксСЦом ЕвклСЦда) у розглянутСЦй моделСЦ виконуються. Це й означаСФ, що система аксСЦом евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ умовно несуперечлива. РЖнакше кажучи, вона несуперечлива, якщо несуперечливо теорСЦю дСЦйсних чисел.


1.4 РЖншСЦ системи аксСЦом геометрСЦСЧ


Повернемося, однак, до евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ. У цей час систему аксСЦом Гильберта часто замСЦняють еквСЦвалентноСЧ СЧй системою. Ми приведемо тСЦ групи аксСЦом однСЦСФСЧ такоСЧ системи, по яких вона вСЦдрСЦзняСФться вСЦд вищевикладеноСЧ системи (групи аксСЦом порядку й руху, що замСЦняСФ в цСЦй системСЦ групу аксСЦом конгруентностСЦ).

Перевага цСЦСФСЧ системи полягаСФ в тСЦм, що вона дозволяСФ простСЦше й швидше одержати первСЦснСЦ геометричнСЦ факти, краще, як здаСФться, описуСФ "астивостСЦ основних геометричних об'СФктСЦв з погляду звичних уявлень.

II. АксСЦоми порядку

Будемо думати, що на прямСЦй СФ два напрямки, взаСФмно протилежних один одному, СЦ по вСЦдношенню кожному з них кожна пара крапок А и В перебуваСФ у вСЦдомому вСЦдношеннСЦ, що виражаСФться словом "передувати». Це вСЦдношення позначаСФться знаком <, так що вираження "А передуСФ В» можна символСЦчно записати так:

А < B.


ПотрСЦбно, щоб зазначене вСЦдношення для крапок на прямСЦй задовольняло нижченаведеним п'яти аксСЦомам.

II, 1. Якщо А < У в одному напрямку, то В < А в протилежному напрямку.

II, 2. В одному СЦз двох напрямкСЦв А < У виключаСФ В < А.

II, 3. В одному СЦз двох напрямкСЦв якщо А < У и В < З, те А < С.

II, 4. В одному СЦз двох напрямкСЦв для кожноСЧ крапки В найдуться крапки А и С такСЦ, що А < B < C.

Кожне СЦз тверджень аксСЦом II, 2 - 4 ставиться до одному СЦз двох напрямкСЦв на прямСЦй. По аксСЦомСЦ II, 1 воно вСЦрно також СЦ для протилежного напрямку.

Перш нСЦж сформулювати останню аксСЦому, визначимо деякСЦ поняття. Нехай а - пряма й А - крапка на нСЦй. При фСЦксованому напрямку на прямСЦй крапка А розбиваСФ СЧСЧ на двСЦ частини (напСЦвпрямСЦ), для кожноСЧ крапки Х однСЦСФСЧ з них Х < А, а для кожноСЧ крапки Х СЦншСЦй напСЦвпрямСЦй А < X. Очевидно, ця розбивка прямоСЧ на частинСЦ не залежить вСЦд обраного на нСЦй напрямку (аксСЦома II, 1).

Нехай А и В - двСЦ крапки прямСЦй а. Якщо для крапки РЖз прямоСЧ а виконуСФться умова А < C < В або В < C < А, то ми будемо говорити, що крапка З лежить мСЦж крапками А и В. Очевидно, "астивСЦсть крапки лежати мСЦж двома даними не залежить вСЦд напрямку на прямСЦй. Частина прямСЦй а, всСЦ крапки якоСЧ лежать мСЦж А и В, ми будемо називати вСЦдрСЦзком АВ, а крапки А и В - кСЦнцями вСЦдрСЦзка.

II, 5. Пряма а, що лежить у площинСЦ ?, розбиваСФ цю площину на двСЦ напСЦвплощини так, що якщо X СЦ Y - двСЦ крапки однСЦСФСЧ напСЦвплощини, то вСЦдрСЦзок XY не перетинаСФться СЦз прямСЦй а, якщо ж X СЦ Y належать рСЦзним напСЦвплощинам, то вСЦдрСЦзок XY перетинаСФться СЦз прямСЦй а.

З аксСЦом приналежностСЦ (зв'язку), якСЦ в цСЦй системСЦ аксСЦом аналогСЦчнСЦ аксСЦомам приналежностСЦ Гильберта, СЦ аксСЦом порядку виводяться наступнСЦ наслСЦдки.

Теорема 1. Серед крапок А, В, З на прямСЦй а одна й тСЦльки одна лежить мСЦж двома СЦншими.

Теорема 2. Кожний вСЦдрСЦзок мСЦстить принаймнСЦ одну крапку.

Теорема 3. Якщо В - крапка вСЦдрСЦзка АС, то вСЦдрСЦзки АВ СЦ ВР належать АС, тобто кожна крапка вСЦдрСЦзка АС СЦ кожна крапка вСЦдрСЦзка ВР належить вСЦдрСЦзку АС.

Теорема 4. Якщо В - крапка вСЦдрСЦзка АС СЦ X - крапка того ж вСЦдрСЦзка, вСЦдмСЦнна вСЦд В, то вона належить або вСЦдрСЦзку АВ, або ВР.

Теорема 5. Нехай О± - площина, СЦ а - лежача на нСЦй пряма, b - СЦнша пряма, або напСЦвпряма, або вСЦдрСЦзок у тСЦй же площинСЦ О±.

ТодСЦ, якщо b не перетинаСФ а, те всСЦ крапки b лежать по одну сторону вСЦд а, тобто в однСЦй з напСЦвплощин, обумовлених прямСЦй а.

Нехай А, У и С - три крапки, що не лежать на однСЦй прямСЦй. ФСЦгура, складена СЦз трьох вСЦдрСЦзкСЦв АВ, ВР СЦ АС називаСФться трикутником, крапки А, У и С - вершинами трикутника, а вСЦдрСЦзки АВ, ВР СЦ АС - сторонами трикутника.

Теорема 9. Нехай АВС - трикутник у площинСЦ О± СЦ а - пряма в цСЦй площинСЦ, не минаюча нСЦ через одну СЦз крапок А, В, С. ТодСЦ якщо ця пряма перетинаСФ сторону АВ, те вона перетинаСФ й притСЦм тСЦльки одну СЦз двох СЦнших сторСЦн ВР або АС.

Не можна не помСЦтити, що остання наведена теорема майже аналогСЦчна аксСЦомСЦ Паша, що входить у систему Гильберта (див. сторСЦнку 9), СЦ вСЦдрСЦзняСФться вСЦд СЧСЧ тСЦльки тим, що в аксСЦомСЦ не затверджуСФться одиничнСЦсть другоСЧ пересСЦчноСЧ сторони трикутника.

III. АксСЦоми руху

У данСЦй системСЦ група аксСЦом конгруентностСЦ замСЦнена цСЦСФю групою аксСЦом. ВтСЦм, третСЦ групи аксСЦом обох систем в остаточному пСЦдсумку виконують ту саму задачу, визначаючи рСЦзними способами тСЦ самСЦ явища (група аксСЦом конгруентностСЦ в Гильберта визначаСФ вСЦдносини конгруентностСЦ прямо, аксСЦоми руху - через своСЧ наслСЦдки).

Отже, будемо вимагати, щоб СЦснували такСЦ вСЦдбиття крапок, прямих СЦ площин на крапки, прямСЦ й площини, СЦменованСЦ рухами, що задовольняють наступним аксСЦомам.

III, 1. Кожний рух Н зберСЦгаСФ вСЦдношення приналежностСЦ.

Тобто, якщо крапка А належить прямСЦй а (площини О±), те СЧСЧ образ при русСЦ Н (позначуваний НА) належить образу прямоСЧ На (вСЦдповСЦдно образу площини НО±).

III, 2. Кожний рух Н зберСЦгаСФ вСЦдношення порядку на прямСЦй.

Це означаСФ, як, напевно, уже догадався читач, що кожному СЦз двох напрямкСЦв на прямСЦй а можна зСЦставити такий напрямок на прямСЦй На, що щораз, коли для крапок X СЦ Y прямСЦй а маСФ мСЦiе X < Y, для вСЦдповСЦдних СЧм крапок прямоСЧ На маСФ мСЦiе HX < HY.

РЖз цих двох аксСЦом треба, що кожний рух переводить напСЦвпряму в напСЦвпряму, напСЦвплощина в напСЦвплощину.

III, 3. Руху утворять групу.

Це значить:

а) ЗСЦставлення Н0 кожному елементу х (крапцСЦ, прямСЦй, площини) його самого СФ рух. Цей рух називаСФться тотожним.

б) Якщо рух Н1 зСЦставляСФ довСЦльному елементу х елемент y, а рух Н2 зСЦставляСФ y елемент z, те зСЦставлення елементу х елемента z СФ рух. Воно позначаСФться Н2Н1 СЦ називаСФться добутком рухСЦв.

в) Для кожного руху Н СЦснуСФ рух Н-1 таке, що Н-1Н=Н0. Рух Н-1 будемо називати зворотним.

III, 4. Якщо при русСЦ Н пряма h, як цСЦле, СЦ СЧСЧ початкова крапка А залишаються нерухливими, то всСЦ крапки напСЦвпрямСЦй h залишаються нерухливими.

III, 5. Для кожноСЧ пари крапок А и В СЦснуСФ рух Н, котре переставляСФ СЧх мСЦiями: НА=В, НВ=А

III, 6. Для кожноСЧ пари променСЦв h, k (напСЦвпрямих), що виходять СЦз однСЦСФСЧ крапки, СЦснуСФ рух Н, СЧх що переставляСФ: Нh=k, Hk=h.

III, 7. Нехай О± СЦ ОІ - будь-якСЦ площини, а й b - прямСЦ в цих площинах, А и В - крапки на прямих а й b. ТодСЦ СЦснуСФ рух, що переводить крапку А в У, задану напСЦвпряму прямСЦй а, обумовлену крапкою А, - у задану напСЦвпряму прямСЦй b, обумовлену крапкою В, задану напСЦвплощину площини О±, обумовлену прямСЦй а, - у задану напСЦвплощину площини ОІ, обумовлену прямСЦй b.

Теорема 10. Нехай О± - площина, СЦ а - приналежна СЧй пряма. ТодСЦ якщо рух Н переводить кожну з напСЦвплощин площини О±, обумовлених прямСЦй а, у себе й залишаСФ нерухливими крапки прямСЦй а, те воно СФ тотожним.

ДСЦйсно, тотожний рух Н0 маСФ зазначеними в теоремСЦ "астивостями Н, а отже, по аксСЦомСЦ III, 7 збСЦгаСФться з ним.

Визначимо тепер поняття конгруентностСЦ. ФСЦгуру F1 ми будемо називати конгруентнСЦй фСЦгурСЦ F2, якщо СЦснуСФ рух Н, що переводить F1 в F2: HF1=F2. РЖз групових "астивостей руху (аксСЦома III, 3) випливають наступнСЦ "астивостСЦ вСЦдносини конгруентностСЦ:

Кожна фСЦгура F конгруентна сама собСЦ.

ДСЦйсно, тотожний рух Н0 переводить F в F.

Якщо фСЦгура F1 конгруентна F2, то фСЦгура F2 конгруентна F1.

СправдСЦ, якщо Н - рух, що переводить фСЦгуру F1 в F2, то рух Н-1 переводить фСЦгуру F2 у фСЦгуру F1.

Якщо фСЦгура F1 конгруентна F2, а фСЦгура F2 конгруентна фСЦгурСЦ F3, то фСЦгура F1 конгруентна F3.

ДСЦйсно, якщо Н' - рух, що переводить фСЦгуру F1 в F2, а Н'' - рух, що переводить фСЦгуру F2 в F3, то рух Н''Н' переводить F1 в F3.

Уперше подСЦбну систему запропонував через десять пСЦсля появи гильбертовой аксСЦоматики ФрСЦдрСЦх Шур.

Через ще десять рокСЦв нСЦмецький математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Ельмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, - 8.12.1955, ЦюрСЦх) створив векторну аксСЦоматику геометрСЦСЧ. У Вейля первСЦсними СФ поняття "крапка» СЦ "вектор», а пряма й вСЦдрСЦзок визначаються з СЧхньою допомогою. РД аксСЦоми додавання векторСЦв (означаючСЦ, що вектори утворять комутативну групу), аксСЦоми множення вектора на дСЦйсне число, аксСЦоми вСЦдкладання векторСЦв (зокрема, аксСЦома трикутника: ), аксСЦоми скалярного добутку векторСЦв СЦ аксСЦома розмСЦрностСЦ (для планСЦметрСЦСЧ в нСЦй затверджуСФться: якщо данСЦ три ненульових вектори , СЦ , те який-небудь СЦз них виражаСФться у виглядСЦ комбСЦнацСЦСЧ двох СЦнших: ). При заданих крапцСЦ А и ненульовому векторСЦ пряма (А, ) визначаСФться як множина всСЦх крапок М, для яких вектор пропорцСЦйний , тобто найдеться таке дСЦйсне число t, що . ДалСЦ визначаються вСЦдрСЦзки, кути, багатокутники, окружнСЦсть СЦ СЦншСЦ фСЦгури: наприклад, вСЦдстань мСЦж А и В - як квадратний корСЦнь зСЦ скалярного квадрата вектора , тобто . Теорема ПСЦфагора легко доводиться за допомогою скалярного добутку, а аксСЦома паралельностСЦ - за допомогою векторного визначення прямоСЧ й аксСЦоми рСЦвномСЦрностСЦ.

На закСЦнчення вСЦдзначимо, що гильбертова аксСЦоматика повнСЦстю уточнила не цСЦлком зроблену систему аксСЦом, створену ЕвклСЦдом бСЦльше двох тисяч рокСЦв тому. АксСЦоматика ФрСЦдрСЦха Шура й аксСЦоматика Германа Вейля зв'язали геометрСЦю з поняттями групи перетворень СЦ векторного простору, якСЦ вСЦдСЦграють найважливСЦшу роль у багатьох роздСЦлах сучасноСЧ математики, фСЦзики, економСЦки, хСЦмСЦСЧ, бСЦологСЦСЧ й СЦнших областей знання.


Глава II. НеевклСЦдовСЦ геометрСЦСЧ в системСЦ Вейля


2.1 Елементи сферичноСЧ геометрСЦСЧ


У цьому пунктСЦ розглянутСЦ елементи так званоСЧ сферичноСЧ геометрСЦСЧ - геометрСЦСЧ сфери ЕвклСЦдова простору. Найкоротшими (геодезичними) або прямими лСЦнСЦями на сферСЦ СФ бСЦльшСЦ окружностСЦ, тобто такСЦ окружностСЦ, площини яких проходять через центр даноСЧ сфери.

Тому що будь-якСЦ два бСЦльших кола перетинаються, то в сферичнСЦй геометрСЦСЧ не здСЦйснюСФться нСЦ постулат ЕвклСЦда, нСЦ аксСЦома паралельностСЦ Лобачевского. У цСЦй геометрСЦСЧ не виконуСФться також ряд СЦнших фактСЦв абсолютноСЧ геометрСЦСЧ.

Наприклад, прямСЦ в сферичнСЦй геометрСЦСЧ замкнутСЦ й на них неможливо встановити поняття крапки, що лежить "мСЦж» для трьох крапок, тому що кожну СЦз цих крапок на окружностСЦ можна вважати крапкою, що лежить мСЦж двома СЦншими. ДвСЦ крапки на великому колСЦ визначають два вСЦдрСЦзки й прямСЦ мають кСЦнцеву довжину. Таким чином, аксСЦоми порядку в сферичнСЦй геометрСЦСЧ повиннСЦ описувати "астивостСЦ циклСЦчного розташування крапок на прямСЦй. РЖ все-таки, незважаючи на зазначенСЦ розходження в сферичнСЦй геометрСЦСЧ СФ багато "астивостей, аналогСЦчних вСЦдповСЦдним "астивостям в евклСЦдовСЦй геометрСЦСЧ й геометрСЦСЧ Лобачевского. ЦСЦ геометрСЦСЧ, включаючи й геометрСЦю досить малих шматкСЦв сфери, в основних питаннях не протиставляються мСЦж собою, а копСЦюють один одного.

ВСЦзьмемо на сферСЦ три крапки А, В, З, що не лежать в однСЦй площинСЦ СЦз центром Про дану сферу. СукупнСЦсть цих крапок СЦ дуг АВ, ВР СЦ АС бСЦльших окружностей, менших пСЦвоберту, називаСФться сферичним трикутником АВС. Крапки А, В, С називаються вершинами сферичного трикутника, а дуги, АВ, ВР, АС тАФ його сторонами. Кутом А сферичним трикутником АВС називаСФться, кут мСЦж дотичними, проведеними до дуг АВ СЦ АС у крапцСЦ СЧхнього перетинання А. Очевидно, цей кут СФ лСЦнСЦйним кутом двогранного кута, утвореного площинами бСЦльших окружностей АВ СЦ АС. Ясно, що сферичний трикутник можна одержати за допомогою тригранного кута, якщо перетнути його сферою, центр якоСЧ буде збСЦгатися з вершиною даного кута. СправдСЦ, у перетинаннСЦ сфери СЦз гранями даного тригранного кута одержимо сферичний трикутник.

ЗСЦ шкСЦльного курсу геометрСЦСЧ вСЦдомо, що в тригранному кутСЦ будь-який його плоский кут менше суми двох СЦнших плоских кутСЦв СЦ бСЦльше СЧхньоСЧ рСЦзницСЦ. У геометрСЦСЧ сфери цСЦй пропозицСЦСЧ вСЦдповСЦдаСФ наступна теорема. У всякому сферичному трикутнику кожна сторона менше суми двох СЦнших його сторСЦн СЦ бСЦльше СЧхньоСЧ рСЦзницСЦ.

На пСЦдставСЦ цСЦСФСЧ теореми, як СЦ у звичайнСЦй планСЦметрСЦСЧ, доводиться, що в сферичному трикутнику проти бСЦльшоСЧ сторони лежить бСЦльший кут СЦ, обернено, проти бСЦльшого кута лежить бСЦльша сторона.

У цСЦй геометрСЦСЧ СФ сферичнСЦ двукутники - фСЦгури бСЦльше простСЦ, чим сферичнСЦ трикутники. Сферичний двукутник по визначенню, представляСФ частину сфери, обмежену двома бСЦльшими пСЦвколами, що перетинаються у двох дСЦаметрально протилежних крапках.

СиметрСЦя сфери щодо дСЦаметральноСЧ площини й поворот СЧСЧ навколо дСЦаметра на даний кут, мабуть, являють собою приклади перетворень сфери, при яких вСЦдстанСЦ мСЦж будь-якими двома крапками дорСЦвнюСФ вСЦдстанСЦ мСЦж СЧхнСЦми образами. Приведемо загальне визначення.

Перетворення сфери, при яких зберСЦгаються вСЦдстанСЦ мСЦж будь-якими двома СЧСЧ крапками, називаються рухами. Сферична геометрСЦя вивчаСФ "астивостСЦ фСЦгур, що зберСЦгаються при будь-яких рухах сфери.

ПолярнСЦ трикутники

Усяка площина , що проходить через центр сфери, перетинаСФ цю сферу по великСЦй окружностСЦ. КСЦнцСЦ А, А' дСЦаметра, перпендикулярного площини , називаються полюсами цСЦСФСЧ окружностСЦ. У цьому випадку бСЦльша окружнСЦсть називаСФться полярою крапок А и А'.

Очевидно, всСЦ крапки поляри вилученСЦ вСЦд свого полюса на вСЦдстань, рСЦвне R/2, де R позначаСФ радСЦус даноСЧ сфери. Ясно також, що якщо дана крапка вилучена вСЦд двох крапок великоСЧ окружностСЦ на вСЦдстань R/2, то вона СФ полюсом цСЦСФСЧ великоСЧ окружностСЦ. Перейдемо тепер до визначення полярного трикутника.

Якщо вершини трикутника АВС СФ полюсами сторСЦн СЦншого сферичного трикутника А1У1С1, то цей останнСЦй називаСФться полярним трикутником стосовно даного.

Таким чином, радСЦус-вектор перпендикулярний векторам СЦ , тобто



АналогСЦчно будемо мати



ЗвСЦдси треба, що якщо трикутник А1У1С1 буде полярним до трикутника АВС, то трикутник АВС у свою чергу буде полярним стосовно трикутника А1У1С1.

Таким чином, сферичнСЦ трикутники АВС СЦ А1У1С1, взаСФмно полярнСЦ один одному.

Будемо позначати вершини й кути сферичного трикутника бСЦльшими буквами латинського алфавСЦту А, В, С, а протилежнСЦ СЧм сторони тАФ вСЦдповСЦдними малими буквами того ж алфавСЦту а, Ь, с. Вершини й протилежнСЦ СЧм сторони полярного трикутника будемо позначати тими ж буквами з СЦндексами А1, В1, С1, вСЦдповСЦдно a1, b1, c1.

ЛСЦнСЦйнСЦ елементи трикутника тут СЦ в подальших формулах входять у виглядСЦ вСЦдносин до радСЦуса сфери, тому доцСЦльно ввести наступне поняття наведеноСЧ довжини. ВСЦдстань мСЦж двома крапками на сферСЦ, вСЦднесене до СЧСЧ радСЦуса, будемо називати наведеною вСЦдстанню.

Доведемо наступну пропозицСЦю про взаСФмно полярнСЦ трикутники.

Теорема. Кут одного сферичного трикутника й вСЦдповСЦдна йому наведена сторона взаСФмно полярного трикутника доповнюють один одного до , тобто



СЦ т.д. Тому що


(*)


Те з (*) треба, що



Таким чином, виводимо



АналогСЦчно доводяться СЦншСЦ рСЦвностСЦ:



Перейдемо до висновку деяких формул сферичноСЧ геометрСЦСЧ.

Формули прямокутного трикутника в сферичнСЦй геометрСЦСЧ

Перейдемо до висновку деяких формул сферичноСЧ геометрСЦСЧ. Нехай в евклСЦдовому просторСЦ нам дана сфера радСЦуса R. ВСЦзьмемо на нСЦй прямокутний трикутник AВС зСЦ сторонами a, b, з, якСЦ будуть дугами бСЦльших кСЦл вСЦдповСЦдно ВР, СА й АВ, причому вмовимося вважати (мал. 2). ОстаннСФ означаСФ, що дотичнСЦ в крапцСЦ З, проведенСЦ до бСЦльших дуг СА, СВ, перпендикулярнСЦ. З'ясуСФмо зв'язок мСЦж лСЦнСЦйними й кутовими елементами даного прямокутного трикутника.

Опустимо СЦз крапки В перпендикуляри ВР1, СЦ ВА1 на прямСЦ ОС СЦ ОА ЕвклСЦдова простору. РЖз трикутника ОВС1, маСФмо


(*)


АналогСЦчно СЦз трикутникСЦв OBA1 СЦ BA1C1 треба, що


(**)


КрСЦм СЦз цих трьох спСЦввСЦдношень BC1 СЦ BA1, одержимо


(1.1)


Формула (1.1) показуСФ, що синус наведеного катета рСЦвняСФться синусу наведеноСЧ гСЦпотенузи, помноженому на синус протилежного кута трикутника.

У попереднСЦм мСЦркуваннСЦ пСЦдстава С1, перпендикуляра ВР1, може збСЦгатися СЦз центром сфери або бути лСЦвСЦше його на дСЦаметрСЦ ОС. Але можна переконатися, що одержуванСЦ нижче формули, як СЦ формула (1.1), будуть завжди справедливСЦ. До речСЦ вСЦдзначу ще раз, що розглядаються тСЦльки такСЦ сферичнСЦ трикутники, якСЦ визначаються його вершинами й найменшими дугами бСЦльших окружностей, попарно СЧх з'СФднуючими.

З'ясуСФмо зв'язок гСЦпотенузи c з катетами а й b. РЖз трикутника ОВС1, маСФмо


(1.2)


ДалСЦ СЦз трикутника ОВА1 СЦ ОС1А1 треба, що



КрСЦм СЦз отриманих трьох рСЦвностей ОС1 СЦ ОА1 будемо мати

. (1.3)


Ця формула виражаСФ теорему ПСЦфагора: косинус наведеноСЧ гСЦпотенузи прямокутного трикутника рСЦвняСФться добутку косинусСЦв наведених катетСЦв. АналогСЦчним образом виводяться СЦншСЦ формули. Наприклад, СЦз прямокутного трикутника А1ВР1 треба, що


(1.4)


ДалСЦ, тому що


те з (1.2) маСФмо


(1.5)


З СЦншого боку,


(1.6)


З (*, 1.4- 1.6) випливаСФ, що


(1.7)


Поряд СЦз цСЦСФю формулою справедлива також парна формула


(1.7')


Перемножуючи останнСЦ два спСЦввСЦдношення, одержимо



ВСЦдкидаючи ненульовСЦ спСЦвмножники й застосовуючи теорему ПСЦфагора, остаточно будемо мати


(1.8)

ВСЦзьмемо тепер СЦнше вираження А1С1 через соs A. Тому що



те з (**) СЦ (1.5-1.6), маСФмо



ЗвСЦдси треба, що


(1.9)


З (1.1) випливаСФ також, що



ОстаннСЦ двСЦ рСЦвностСЦ дають



Або


(1.10)


ДоведенСЦ формули прямокутного трикутника можна виписати, користуючись так званим правилом Непера. Щоб сформулювати це правило, умовимося розташовувати елемент прямокутного трикутника а, В, з, А, b у зазначеному на циклСЦчному порядку.

Для кожного СЦз цих елементСЦв попереднСЦй СЦ наступний елементи називаються прилеглими, а СЦншСЦ два елементи тАФ протилежними. Для катета b, наприклад, елементи a, А будуть прилеглими, а елементи з, В тАФ протилежними. Прилеглими елементами для гСЦпотенузи СФ кути A СЦ В, а протилежними тАФ катети а й b.

СформулюСФмо тепер правило Непера. Косинус будь-якого елемента сферичного прямокутного трикутника рСЦвняСФться добутку синусСЦв протилежних елементСЦв або добутку котангенсСЦв прилеглих елементСЦв. Якщо пСЦд знаком функцСЦСЧ коштуСФ катет, то тригонометрична функцСЦя мСЦняСФться на сумСЦжну - синус а косинус, тангенс на котангенс СЦ навпаки. ПомСЦтимо також, що у всСЦх формулах довжини катетСЦв СЦ гСЦпотенузи дСЦляться на радСЦус сфери R.

Формули косокутного трикутника в сферичнСЦй геометрСЦСЧ

Одержимо сНачало теорему косинусСЦв. Нехай АВС довСЦльний сферичний трикутник. Опустимо з вершини У висоту ВD. Застосовуючи до трикутника ВDС теорему Пифагора, одержимо


,


де d=AD, a=BC, b=BC, AB=c.

Перепишемо попередню рСЦвнСЦсть, другий множник формули косинуса рСЦзницСЦ:


.(1.11)

Перший СЦ третСЦй множники в першому членСЦ правоСЧ частини по теоремСЦ ПСЦфагора дають . Спростимо другий член у правСЦй частинСЦ. Тому що


,


те замСЦняючи по формулСЦ (1.9) на , одержимо



Таким чином, з (1.11) треба, що


(1.12)


Ця залежнСЦсть, що виражаСФ сторону сферичного трикутника через двСЦ СЦншСЦ сторони в косинус протилежного кута, називаСФться теоремою косинусСЦв.

Доведемо тепер теорему синусСЦв. РЖз прямокутного трикутника АВ СЦ ВDС (мал. 6) одержуСФмо



ЗвСЦдси треба, що


Якщо опустити тепер висоту з вершини А, то будемо мати



Отже


(1.13)


ЦСЦ залежностСЦ сторСЦн СЦ синусСЦв протилежних кутСЦв становлять теорему синусСЦв сферичного трикутника АВС.

Друга теорема косинусСЦв

Припустимо, що сферичний трикутник А1У1С1, СФ полярним до даного трикутника АВС. Застосовуючи до нього теорему косинусСЦв, одержимо



Але в силу формул (див. ПолярнСЦ трикутники), маСФмо



ЗамСЦняючи в попереднСЦй рСЦвностСЦ сторони й кути тСЦльки що виписаними вираженнями, одержимо


Або


(*)


Формула й становить змСЦст 2-й теореми косинусСЦв: Косинус кута сферичного трикутника дорСЦвнюСФ добутку косинусСЦв двох СЦнших кутСЦв, узятому зСЦ зворотним знаком, СЦ складеному з добутком синусСЦв тих же кутСЦв на косинус наведеноСЧ протилежноСЧ сторони. АналогСЦчнСЦ двСЦ формули можна одержати круговою замСЦною лСЦнСЦйних СЦ кутових елементСЦв даного трикутника АВС.

РЖз другоСЧ теореми косинусСЦв треба, що в сферичнСЦй геометрСЦСЧ не СЦснуСФ нерСЦвних трикутникСЦв з вСЦдповСЦдно рСЦвними кутами. РЖнакше кажучи, якщо кути, одного сферичного трикутника дорСЦвнюють вСЦдповСЦдним кутам СЦншого сферичного трикутника, те такСЦ трикутники рСЦвнСЦ.

На закСЦнчення встановимо лише збСЦг формул сферичноСЧ геометрСЦСЧ для фСЦгур з малими лСЦнСЦйними розмСЦрами з вСЦдповСЦдними формулами евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ.

Про сферичну геометрСЦю в малому

Нехай лСЦнСЦйнСЦ розмСЦри а, b, зСЦ сферичного трикутника малСЦ в порСЦвняннСЦ з радСЦусом сфери R. Очевидно, цСЦ умови можна здСЦйснити за рахунок малостСЦ зазначених лСЦнСЦйних розмСЦрСЦв або за рахунок вибору досить великого значення R. З формули, що виражаСФ теорему косинусСЦв, треба



З огляду на в цСЦй рСЦвностСЦ члени до другого порядку малостСЦ включно, одержимо теорему косинусСЦв евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ:

(1.14)


У випадку прямокутного сферичного трикутника з кутом маСФмо cos A=0 СЦ формула (1.12) у межСЦ приводить до спСЦввСЦдношення


,


тридцятимСЦльйонну теорему ПСЦфагора в геометрСЦСЧ ЕвклСЦда. Це рСЦвнСЦсть треба також з (1.14) при .

Тому що при малих розмСЦрах наведених сторСЦн СЧхнСЦ синуси в першому наближеннСЦ пропорцСЦйнСЦ аргументам, то з (1.13) випливають два зв'язки


,


теорему синусСЦв в евклСЦдовСЦй геометрСЦСЧ.

Отже, формули сферичноСЧ геометрСЦСЧ для фСЦгур з малими лСЦнСЦйними розмСЦрами в порСЦвняннСЦ з радСЦусом сфери збСЦгаються з вСЦдповСЦдними формулами евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ. АналогСЦчний результат одержимо нижче при розглядСЦ формул геометрСЦСЧ Лобачевского.


2.2 ЕлСЦптична геометрСЦя на площинСЦ


Були показанСЦ найпростСЦшСЦ факти сферичноСЧ геометрСЦСЧ, у якСЦй усякСЦ двСЦ прямСЦ перетинаються у двох дСЦаметрально протилежних крапках. Для того, щоб звСЦльнитися вСЦд зазначеного недолСЦку й прийти до новоСЧ геометрСЦСЧ, у якСЦй прямСЦ мали б не бСЦльше однСЦСФСЧ загальноСЧ крапки, умовимося вважати всяку пару дСЦаметрально протилежних крапок сфери за одну крапку. Отриману нову поверхню пСЦсля такого ототожнення пар крапок сфери будемо називати елСЦптичною площиною й позначати символом S2.

Ясно, що одержимо ту ж площину, якщо будемо будувати множини векторСЦв ЕвклСЦдова простору вСЦдношенню еквСЦвалентностСЦ в якСЦй тодСЦ й тСЦльки тодСЦ, коли вектори й непропорцСЦйнСЦ.

ПрямСЦ елСЦптичноСЧ площини виходять СЦз бСЦльших кСЦл у результатСЦ зазначеного ототожнення пара крапок СЦ будуть як СЦ ранСЦше замкнутими лСЦнСЦями. Але побудована площина S2 стала принципово новим об'СФктом математичного дослСЦдження.

Залишаючись замкнутою поверхнею, вона втратила "астивСЦсть двобСЦчностСЦ. ЕлСЦптична площина СФ однобСЦчною поверхнею, тобто, розфарбовуючи яку-небудь одну сторону цСЦСФСЧ поверхнСЦ, розфарбуСФмо СЧСЧ по обидва боки. В елСЦптичнСЦй геометрСЦСЧ вСЦдсутнСФ поняття крапки, що лежить мСЦж двома СЦншими, якщо вони СЦнцСЦдентнСЦ прямСЦй, тому що двСЦ крапки на прямСЦй визначають два взаСФмно додаткових вСЦдрСЦзки. У цСЦй геометрСЦСЧ можна встановити поняття подСЦлу двох пар крапок А, У и М, N, СЦнцСЦдентних прямСЦй. Пари A, B роздСЦляСФ пари М, N, якщо крапки М, N лежать у рСЦзних вСЦдрСЦзках, певних на данСЦй прямСЦй крапками А и В. Можна переконатися, що пари крапок A, У роздСЦляСФ пари М, N тодСЦ й тСЦльки тодСЦ, коли подвСЦйне вСЦдношення


(АВМ) = АМ/ВМ:АN/ВN


чотирьох крапок А, В, М, N негативно.

ЗрозумСЦло, елСЦптичну площину можна уявити собСЦ також у виглядСЦ пСЦвсфери, у якоСЧ дСЦаметрально протилежнСЦ крапки екватора вважаються за одну крапку. Об'СФкти новоСЧ моделСЦ перебувають у певних зСЦставленнях з об'СФктами вСЦдомоСЧ моделСЦ на сферСЦ. Завдяки цьому без звертання до аксСЦом виводимо, що цСЦ двСЦ моделСЦ реалСЦзують ту саму геометрСЦю.

Проектування СЦз центра о ЕвклСЦдова простору на площину, дотичну до сфери в крапцСЦ З, де ОС , переводить прямСЦ елСЦптичноСЧ площини в прямСЦ евклСЦдовоСЧ площини . Якщо до крапок дотичноСЧ площини приСФднати невласнСЦ крапки, то побудоване центральне проектування буде взаСФмно однозначним вСЦдображенням всСЦх крапок елСЦптичноСЧ площини на всСЦ крапки розширеноСЧ евклСЦдовоСЧ (проективноСЧ) площини. Не будемо виписувати систему аксСЦом елСЦптичноСЧ геометрСЦСЧ й помСЦтимо лише, що СЧСЧ можна одержати з аксСЦом проективноСЧ геометрСЦСЧ й аксСЦом конгруентностСЦ.

ВсСЦ поняття площини S2 переводяться по вСЦдображенню в деякСЦ поняття двомСЦрноСЧ проективноСЧ геометрСЦСЧ. ЗСЦставлення вСЦдповСЦдних геометричних образСЦв отриманоСЧ проективноСЧ моделСЦ характеризуСФться наступною таблицею:


Влкрапка»

крапка проективноСЧ площини

Влпряма»

пряма проективноСЧ площини

ВлрСЦвнСЦсть вСЦдрСЦзкСЦв»

рСЦвнСЦсть прообразСЦв вСЦдрСЦзкСЦв


Велике достоСЧнство проективноСЧ моделСЦ полягаСФ в тому, що крапки й прямСЦ в нСЦй зображуються звичними для нас образами. Однак, при вивченнСЦ "астивостей конгруентних фСЦгур сферична модель стаСФ бСЦльше зручною.

ПомСЦтимо також, що прямСЦ й площини зв'язування о ЕвклСЦдова простору визначають нову модель площини S2, що вСЦдповСЦдають геометричнСЦ образи якоСЧ представляються наступною таблицею:


S2

Зв'язування прямих СЦ площин в Е3

Влкрапка»

Площина зв'язування

ВлподСЦл двох пар крапок»

ПодСЦл двох пар прямих того самого пучка прямих

ВлвСЦдстань мСЦж двома крапками»

Величина, пропорцСЦйна куту, мСЦж двома прямими зв'язування


РеалСЦзацСЦя елСЦптичноСЧ площини у виглядСЦ сфери, у якоСЧ дСЦаметрально протилежнСЦ крапки ототожненСЦ, дозволяСФ на цСЦй площинСЦ ввести координати (х, в, z), зв'язанСЦ спСЦввСЦдношенням


x2+y2+z2=R2;

де R називаСФться радСЦусом кривизни, а зворотна величина квадрата радСЦуса тАФ кривизною. У цих координатах вСЦдстань а мСЦж двома крапками А (х1, в1, z1) СЦ В(х2, в2, z2 ) визначаСФться по формулСЦ


. (2.1)


ВСЦдношення вСЦдстанСЦ мСЦж крапками до радСЦуса кривизни називаСФться наведеною вСЦдстанню. ДвСЦ крапки площини S2 називаються полярними, якщо вСЦдповСЦдним цим крапкам прямСЦ тривимСЦрного ЕвклСЦдова простору ортогональнСЦ. РЖнакше кажучи, полярнСЦ крапки характеризуються тим, що наведена вСЦдстань мСЦж ними рСЦвняСФться . ВСЦдрСЦзок прямСЦй, обмежений полярно сполученими крапками, називаСФться напСЦвпрямСЦй. Пряма складаСФться СЦз двох напСЦвпрямих СЦ маСФ довжину, рСЦвну . Очевидно, геометричне мСЦiе крапок, полярних данСЦй крапцСЦ А (х1, в1, z1), утворить пряму


(2.1')


Ця пряма називаСФться полярою крапки A, а крапка А - полюсом прямСЦй (2.1').

ПрямСЦ, перпендикулярнСЦ прямСЦй, перетинаються в СЧСЧ полюсСЦ. Обернено, усяка пряма, що проходить через полюс даноСЧ прямоСЧ, буде перпендикулярноСЧ до цСЦСФСЧ прямоСЧ. ЗвСЦдси треба, що через кожну крапку площини, вСЦдмСЦнну вСЦд полюса даноСЧ прямоСЧ, можна провести СФдиний перпендикуляр до цСЦСФСЧ прямоСЧ. ЦСЦ "астивостСЦ безпосередньо випливають СЦз визначення полюсСЦв СЦ поляр.

У геометрСЦСЧ S2 можна побудувати взаСФмно однозначне вСЦдображення мСЦж крапками й прямими, при якому кожнСЦй крапцСЦ вСЦдповСЦдаСФ СЧСЧ полярна пряма, а кожнСЦй прямСЦй - СЧСЧ полюс. Таке вСЦдображення називаСФться полярним вСЦдображенням. В елСЦптичнСЦй площинСЦ одиничноСЧ кривизни полярне вСЦдображення переводить двСЦ прямСЦ а, b у такСЦ крапки А, В, що вСЦдстань мСЦж цими крапками рСЦвняСФться куту мСЦж даними прямими. ЗвСЦдси випливаСФ так званий принцип подвСЦйностСЦ в елСЦптичнСЦй планСЦметрСЦСЧ: якщо в якСЦй-небудь теоремСЦ елСЦптичноСЧ геометрСЦСЧ замСЦнити слова "крапка», "пряма», "вСЦдстань» СЦ "кут» вСЦдповСЦдно на слова "пряма», "крапка», "кут» СЦ "вСЦдстань», те в результатСЦ одержимо також справедливу пропозицСЦю в цСЦй геометрСЦСЧ. Прикладом двоСЧстих пропозицСЦй, тобто пропозицСЦй, що виходять одне з СЦншого, зазначеного правила СФ наступне: будь-якСЦ двСЦ крапки визначають пряму, СЧм СЦнцСЦдентну; будь-якСЦ двСЦ прямСЦ визначають крапку, СЧм СЦнцСЦдентну.

Знайдемо тепер вСЦдстанСЦ мСЦж двома нескСЦнченно близькими крапками М (х, в, z) СЦ MтАЩ (х + dх, в + dу, z + dz). З формули (2.1) треба, що


. (2.2)


ЗвСЦдки з точнСЦстю до нескСЦнченно малих другого порядку включно маСФмо


ds=-2(xdx+ydy+zdz).


З огляду на, що координати крапки (х + dх, в + dу, z + dz) задовольняють рСЦвностСЦ


(х + dх)2 +(в + dу)2+ (z + dz)2 =R2,


будемо мати


2(хdх + уdу + zdz) + dx2 + dу2 + dz2 = 0.

ds2 = dx2 + dу2 + dz2. (2.2')


Отримана формула приводить до очевидного висновку про те, що в малому геометрСЦя елСЦптичноСЧ площини збСЦгаСФться зСЦ сферичною геометрСЦСФю. Зокрема, формули (1.12) СЦ (1.13) вСЦдповСЦдно теорему косинусСЦв СЦ синусСЦв, справедливСЦ й в елСЦптичнСЦй геометрСЦСЧ. Формула 2.2' показуСФ також, що руху елСЦптичноСЧ площини S2 представляються обертаннями й вСЦдбиттями ЕвклСЦдова простору E3 навколо Начало координат. ЗазначенСЦ рухи визначаються ортогональними матрицями. Так називаються матрицСЦ, у яких сума квадратСЦв елементСЦв кожного стовпця рСЦвняСФться одиницСЦ, а сума добуткСЦв вСЦдповСЦдних елементСЦв рСЦзних стовпцСЦв рСЦвняСФться нулю. Тому що матрицСЦ, що вСЦдрСЦзняються знаками, СЦндуцСЦрують те саме рух в елСЦптичнСЦй площинСЦ, то група рухСЦв останньоСЧ зв'язана.

Площа трикутникСЦв в елСЦптичнСЦй геометрСЦСЧ

Нехай в елСЦптичнСЦй площинСЦ даний трикутник AВС, позначеноСЧ на мал. 8 номером I. Як вСЦдомо, на данСЦй площинСЦ породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. ЦСЦ трикутники позначенСЦ на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя елСЦптична площина кСЦнцева й маСФ площу, рСЦвну 2 R2 , то площа частини площини, обмеженоСЧ вертикальними кутами А трикутника I, рСЦвняСФться



АналогСЦчно, площа частин елСЦптичноСЧ площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутника AВС, рСЦвнСЦ 2R2B, 2R2С. З СЦншого боку, сума всСЦх трьох знайдених площ становить площу всСЦСФСЧ елСЦптичноСЧ площини з доданою подвоСФною площею SАВС даного трикутника АВС. У результатСЦ одержуСФмо


.

ЗвСЦдси випливаСФ, що


SАВС = R2(A + B + C - ). (2.3)


Ця формула показуСФ, що площа трикутника пропорцСЦйна його дефекту. Можна довести, що в геометрСЦСЧ Лобачевского площа трикутника АВС визначаСФться по формулСЦ, аналогСЦчноСЧ (2.3),


SАВС = k2( - A - B - C ),


де k тАФ радСЦус кривизни.

ОкружнСЦсть

ОкружнСЦстю називаСФться геометричне мСЦiе крапок М(х, в, z), що вСЦдстоять вСЦд даноСЧ крапки А(х11,z1) на дану вСЦдстань r. Крапка A називаСФться центром окружностСЦ, r - СЧСЧ радСЦусом.

До поняття окружностСЦ можна прийти СЦншим шляхом, вСЦдправляючись вСЦд пучкСЦв прямих СЦ вСЦдповСЦдних крапок на прямих даного пучка. ЦСЦ допомСЦжнСЦ поняття тут уводяться так само, як у геометрСЦСЧ Лобачевского. СукупнСЦсть прямих, що перетинаються в данСЦй крапцСЦ A, називаСФться пучком прямих першого роду. Крапка А називаСФться центром пучка. Пучком прямих другого роду називаються прямСЦ площини, перпендикулярнСЦ данСЦй прямСЦй а. Неважко переконатися, що цСЦ пучки двоСЧстСЦ один одному. СправдСЦ, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональне перетинаСФ всСЦ прямСЦ пучка й розглянута сукупнСЦсть прямих СФ пучком прямих другого роду. Обернено, прямСЦ пучка другого роду проходять через полюс осСЦ пучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямих одночасно СФ пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежать вСЦдповСЦдно на прямих тиn даного пучка прямих. ЦСЦ крапки М, N називаються вСЦдповСЦдними, якщо вСЦдрСЦзок МN утворить рСЦвнСЦ однобСЦчнСЦ кути СЦз прямими т и n. НайпростСЦша крива тут визначаСФться так само, як у планСЦметрСЦСЧ Лобачевского. Ця крива по визначенню СФ множиною крапок, що вСЦдповСЦдають крапцСЦ М на прямСЦй т даного пучка. Отримана в такий спосСЦб найпростСЦша крива одночасно СФ окружнСЦстю радСЦуса r СЦз центром у крапцСЦ А и еквидистантой з висотою r' = R/2 тАФ r. Можна встановити, що окружнСЦсть ортогональне розсСЦкаСФ прямСЦ свого пучка.

З (2.1) треба, що рСЦвняння окружностСЦ СЦз центром у крапцСЦ А(х11,z1) СЦ радСЦусом r < R/2 приводиться до виду:


. (2.4)


НаявнСЦсть подвСЦйного знака пояснюСФться тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може мати значення рСЦзних знакСЦв.

ПомСЦтимо, що множина крапок, вСЦддалених вСЦд двох крапок A, В, складаСФться СЦз двох взаСФмно перпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямСЦй, певноСЧ даними крапками. Одна СЦз цих прямих дСЦлить навпСЦл один вСЦдрСЦзок АВ, а СЦнша - додатковий. ЗвСЦдси випливаСФ СЦснування однСЦСФСЧ й тСЦльки однСЦСФСЧ окружностСЦ, описаноСЧ бСЦля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що не належать прямСЦй, визначають на елСЦптичнСЦй площинСЦ чотири трикутники. Таким чином, через три крапки А, В, З, що не лежать на однСЦй прямСЦй, можна провести чотири окружностСЦ, якСЦ на сферичнСЦй моделСЦ визначаються наступними трСЦйками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначають крапки, дСЦаметрально протилежнСЦ вСЦдповСЦдно до крапок А, В, С.

Розглянемо коротенько "астивостСЦ пар окружностей в елСЦптичнСЦй площинСЦ. У сферичнСЦй геометрСЦСЧ двСЦ окружностСЦ, як СЦ в евклСЦдовСЦй площинСЦ, можуть не перетинатися один з одним, стосуватися або перетинатися у двох крапках. В елСЦптичнСЦй геометрСЦСЧ "астивостСЦ пара окружностей бСЦльше рСЦзноманСЦтнСЦ. Щоб переконатися в цьому, припустимо, що елСЦптична площина СЦнтерпретована у виглядСЦ сфери, у якоСЧ дСЦаметрально протилежнСЦ крапки ототожненСЦ. У цьому випадку, окружнСЦсть елСЦптичноСЧ площини представляСФться на такСЦй сферСЦ у виглядСЦ двох окружностей, що лежать у паралельнСЦ й рСЦвновСЦддалених вСЦд центра сфери площинах. Обернено, двСЦ окружностСЦ, отриманСЦ вСЦд перетинання сфери симетричними щодо СЧСЧ центра площинами, зображують в елСЦптичнСЦй геометрСЦСЧ одну окружнСЦсть. ЗробленСЦ зауваження дозволяють скласти уявлення про новСЦ випадки взаСФмних положень двох окружностей у порСЦвняннСЦ зСЦ сферичною або евклСЦдовою планСЦметрСЦСФю.


2.3 ГеометрСЦя Лобачевского в системСЦ Вейля


Про псевдоевклСЦдовСЦ планСЦметрСЦСЧ

а) В евклСЦдовСЦй площинСЦ, як вСЦдомо, формула квадрата вСЦдстанСЦ мСЦж двома крапками М(х1, х2) СЦ N1, в2) у декартовой, прямокутнСЦй системСЦ координат представляСФться у виглядСЦ


d(M,N)2=(y1 - x1)2+(y2 - x2)2. (3.1)


Кут мСЦж векторами ОМ СЦ ОN обчислюСФться зСЦ спСЦввСЦдношення


. (3.2)


Перша формула по сутСЦ виражаСФ теорему ПСЦфагора для прямокутного трикутника з катетами, рСЦвними абсолютним величинам СЦ гСЦпотенузою МN. Друга ж формула представляСФ собою формулу косинуса рСЦзницСЦ кутСЦв, утворених вСЦдповСЦдно ОМ СЦ ON c координатним вектором .

Тепер змСЦнимо формули (3.1) СЦ (3.2) СЦ будемо визначати вСЦдстань мСЦж зазначеними двома крапками й величини даних кутСЦв по формулах вСЦдповСЦдно

d(M,N)=(y1 - x1)2 - (y2 - x2)2 (3.3)

(3.4)


КолишнСЦ пари крапок тепер будуть мати СЦншСЦ вСЦдстанСЦ» а колишнСЦ кути - СЦншСЦ величини. Це по сутСЦ нова своСФрСЦдна двомСЦрна геометрСЦя.

Щоб пСЦдкреслити наявнСЦсть СЦншоСЧ метрики й не плутати новСЦ вСЦдстанСЦ й величини кутСЦв зСЦ старими, умовимося називати координатну площину (x1, x2) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклСЦдовою площиною.

б) Для бСЦльшоСЧ аналогСЦСЧ з евклСЦдовою геометрСЦСФю доцСЦльно ввести новий скалярний добуток векторСЦв як добуток СЧхнСЦх довжин на косинус кута мСЦж ними. Ясно, що цей добуток векторСЦв вСЦдрСЦзняСФться вСЦд звичайного скалярного добутку тих же векторСЦв, тому що довжини векторСЦв (вСЦдстань мСЦж початковоСЧ його й кСЦнцевоСЧ крапками) СЦ косинус кута розумСЦСФться в змСЦстСЦ псевдоевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ.

Не будемо далСЦ перераховувати наслСЦдкСЦв з формул (3.3), (3.4) СЦ дамо аксСЦоматичне визначення псевдоевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ. Робиться це в такий спосСЦб.

ЗамСЦсть аксСЦоми IV, 3 вейлевськоСЧ аксСЦоматики, у якСЦй говориться про те, що скалярний квадрат вектора ненегативний, уводиться СЦнша аксСЦома IV, 3' про СЦснування ненульових векторСЦв першого, другого, СЦ третього типСЦв, скалярнСЦ квадрати яких вСЦдповСЦдно позитивнСЦ, негативнСЦ й дорСЦвнюють нулю.

ВсСЦ СЦншСЦ аксСЦоми Вейля зберСЦгаються без змСЦни в псевдоевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ. Звичайно, припускаСФмо, що аксСЦоми розмСЦрностСЦ III вСЦдповСЦдним чином погодженСЦ. Якщо мова йде про площину, то в аксСЦомСЦ III, 1 затверджуСФться СЦснування двох лСЦнСЦйно незалежних векторСЦв, а в аксСЦомСЦ III, 2 затверджуСФться, що всякСЦ три вектори лСЦнСЦйно залежнСЦ.

СукупнСЦсть крапок називаСФться псевдоевклСЦдовою площиною, якщо цСЦ крапки СЦ СЧхнСЦ впорядкованСЦ пари (вСЦльнСЦ вектори) задовольняють аксСЦомам груп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, вектори псевдоевклСЦдовоСЧ площини задовольняють аксСЦомам /--///- IV - 1, 2, 3' СЦ утворять двомСЦрний псевдоевклСЦдовий векторний простСЦр.

У псевдоевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ афСЦнна частина повнСЦстю  збСЦгаСФться з афСЦнноСЧ частиною евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ. Але в метричних питаннях геометрСЦСЧ цСЦ значно вСЦдрСЦзняються друг  вСЦд друга, метрика простору по сутСЦ визначаСФться аксСЦомами скалярного добутку векторСЦв СЦ серед них важливу роль граСФ саме аксСЦома IV, 3'.

в) Скалярний добуток двох векторСЦв , у змСЦстСЦ псевдоевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ будемо позначати символом П. Вектори , називаються перпендикулярними, якщо СЧхнСЦй скалярний добуток дорСЦвнюСФ нулю.

Як СЦ ранСЦше число П називаСФться скалярним квадратом вектора ; корСЦнь квадратний з П якого називаСФться довжиною вектора й позначаСФться через | |.Таким чином,


,


Ясно, що довжина вектора буде позитивноСЧ, чисто мнимий або нульовий, якщо вСЦдповСЦдно скалярний квадрат П >0, П <0 або П =0. Вектори позитивноСЧ й чисто мнимоСЧ довжини називають також вСЦдповСЦдно просторовими й тимчасовими.

НенульовСЦ вектори, довжини яких дорСЦвнюють нулю, називаються СЦзотропними.

Уведемо поняття прямокутноСЧ декартовой системи координат. ПрямокутноСЧ декартовой системою координат або просто прямокутною системою координат псевдоевклСЦдовоСЧ площини називаСФться така афСЦнна система координат, вектори якоСЧ одиничнСЦ або взаСФмно перпендикулярнСЦ.

Отже, один з координатних векторСЦв псевдоевклСЦдовоСЧ площини, наприклад, буде одиничним, а СЦншоСЧ - мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатних векторСЦв прямокутноСЧ системи координат визначаються рСЦвностями


. (3.5)


Очевидно, скалярний добуток двох векторСЦв



СЦ квадрат довжини вектора в прямокутнСЦй системСЦ координат обчислюються по формулах виду


(3.6)

(3.7)


За вСЦдстань мСЦж двома крапками M(х1, х2) СЦ N(y1, y2) визначенню приймаСФться довжина вектора :


d(M,N)2=(y1 - x1) - (y2 - x2)2.


Величиною кута мСЦж векторами й називаСФться число, певне по формулСЦ


(3.8)

У правСЦй частинСЦ (3.8) чисельник позитивний, а знаменник при неСЦзотропних векторах , може бути позитивним СЦ негативним.

Якщо вектори , однСЦСФСЧ природи, тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторовСЦ або тимчасовСЦ, те, якщо ж один з векторСЦв просторовий, а СЦнший тимчасовий, то .

Неважко далСЦ довести, що чисельник в (3.8) не менше знаменника. ДСЦйсно, якщо координати векторСЦв СЦ будуть вСЦдповСЦдно 1, х2) СЦ1, в2) у деякСЦй прямокутнСЦй системСЦ координат, те


.


Отже, якщо вектори , одночасно будуть просторовими або тимчасовими, те


. (3.9)


Думаючи в цьому випадку , одержимо


. (3.10)


У псевдоевклСЦдовоСЧ площини СЦснуСФ три типи прямих залежно вСЦд природи СЧСЧ напрямного вектора, якщо напрямний вектор буде просторова, тимчасова або СЦзотропним, те пряма називаСФться вСЦдповСЦдно до просторовоСЧ, тимчасовий або СЦзотропноСЧ.

г) Перейдемо тепер до визначення поняття окружностСЦ.

ОкружнСЦстю в псевдоевклСЦдовоСЧ площини називаСФться множина СЧСЧ крапок, що вСЦдстоять вСЦд даноСЧ крапки, називаноСЧ центром на те саме вСЦдстань r; величина r називаСФться радСЦусом окружностСЦ. Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрСЦ окружностСЦ, переконаСФмося, що координати поточноСЧ крапки 1, х2) даноСЧ окружностСЦ задовольняють рСЦвнянню


.


У цСЦй геометрСЦСЧ СЦснуСФ три типи окружностей - окружностСЦ речовинного, чисто мнимого й нульового радСЦусСЦв. На мал. 13 окружностСЦ нульового радСЦуса зображуються з погляду евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ бСЦсектрисами координатних кутСЦв, окружностСЦ речовинного радСЦуса - гСЦперболами, що перетинають вСЦсь Ох1 СЦ окружнСЦсть чисто мнимого радСЦуса - гСЦперболами, що перетинають вСЦсь Ох2.

д) На закСЦнчення розглянемо коротенько руху в псевдоевклСЦдовоСЧ площини. Рух визначаСФться як перетворення, що вСЦдповСЦдають крапки якого мають тСЦ самСЦ координати щодо вихСЦдноСЧ й довСЦльно заданоСЧ прямокутних систем координат. Як СЦ в евклСЦдовСЦй геометрСЦСЧ доводиться, що рух СФ СЦзометрСЦСФю й, обернено, усяка СЦзометрСЦя СФ рухом. РЖзометрСЦя визначаСФться як перетворення, що зберСЦгаСФ вСЦдстань мСЦж двома довСЦльними крапками. Як СЦ в геометрСЦСЧ евклСЦдовоСЧ площини, руху можна роздСЦлити

на "аснСЦ рухи - руху з визначником = 1 СЦ невласнСЦ - руху з визначником = - 1. Але тепер кожну СЦз цих сукупностей у свою чергу можна роздСЦлити на двСЦ сукупностСЦ. Щоб переконатися в цьому, вСЦдзначимо попередньо наступнСЦ два зауваження.

По-перше, ясно, що просторовСЦ, тимчасовСЦ й СЦзотропнСЦ вектори при рухах залишаються вСЦдповСЦдно просторовими, тимчасовими й СЦзотропними.

По-друге, при безперервних обертаннях навколо даноСЧ крапки вектори СЦзотропного конуса вСЦдокремлюють у цСЦй крапцСЦ тимчасовСЦ вектори вСЦд просторових.

Перейдемо тепер до подальшого подСЦлу на частинСЦ рухСЦв псевдоевклСЦдовоСЧ площини. Неважко бачити, що у формулах


(3.11)


визначальне обертання, величина не звертаСФться в нуль. СправдСЦ, припустимо, що в (3.11) коефСЦцСЦСФнт рСЦвняСФться нулю. У такому випадку просторовий вектор {1, 0} при обертаннСЦ (3.11), перейшов би у вектор {0, }, що СФ тимчасовим, що неможливо. Таким чином, при змСЦнах координатних векторСЦв , викликуваних безперервними обертаннями, коефСЦцСЦСФнт буде постСЦйним.

Отже, всСЦ рухи дСЦляться на чотири типи залежно вСЦд значення визначника перетворення = 1 або = - 1 СЦ знака > 0 або < 0.

Представниками цих чотирьох типСЦв будуть, наприклад, руху з матрицями:



ПсевдоевклСЦдовий тривимСЦрний простСЦр

а) узагальнимо побудови псевдоевклСЦдовоСЧ площини на тривимСЦрнСЦ простори. АксСЦоми псевдоевклСЦдового тривимСЦрного простору збСЦгаються з аксСЦомами Вейля псевдоевклСЦдовоСЧ площини, за винятком аксСЦом розмСЦрностСЦ III. Тепер в аксСЦомСЦ III-I мова йде про СЦснування трьох лСЦнСЦйно незалежних векторСЦв, а в аксСЦомСЦ III, 2 - усякСЦ чотири вектори лСЦнСЦйно залежнСЦ.

Скалярний добуток двох векторСЦв , у псевдоевклСЦдовом просторСЦ будемо позначати, як СЦ у випадку псевдоевклСЦдовоСЧ площини, символом . Вектори , - перпендикулярнСЦ, якщо СЧхнСЦй скалярний добуток дорСЦвнюСФ нулю.

Число називаСФться скалярним квадратом вектора. Довжиною вектора називаСФться корСЦнь квадратний зСЦ скалярного квадрата цього вектора й позначаСФться через :


.


ПСЦдкореневе вираження може бути >0, <0, СЦ = 0. Довжини векторСЦв вСЦдповСЦдно до цим випадкам будуть речовиннСЦ, чисто мнимСЦ й нульовСЦ. Вектори речовинноСЧ довжини називаються також просторовими, вектори чисто мнимоСЧ довжини - тимчасовими й вектори нульовоСЧ довжини - СЦзотропними.

У псевдоевклСЦдовом просторСЦ вводиться прямокутна система координат. По визначенню так називаСФться афСЦнна система координат, вектори якоСЧ одиничнСЦ й взаСФмно перпендикулярнСЦ. Будемо розглядати так званий простСЦр Минковського, у якому СЦз трьох координатних векторСЦв прямокутноСЧ системи координат два одиничнСЦ, а третСЦй тАФ мнимо одиничний. Будемо вважати, що


(3.12)


У цСЦй системСЦ координат скалярний добуток двох векторСЦв СЦ квадрат довжини вектора, мабуть, обчислюються по формулах виду



РЖ квадрат довжини вектора, мабуть, обчислюються по формулах виду


, (3.13)

. (3.14)


За вСЦдстань мСЦж двома крапками М(x1, x2, x3) СЦ N(y1, y2, y3) по визначенню приймаСФться довжина вектора , тобто


. (3.15)


Величиною кута мСЦж векторами й називаСФться число, певне по формулСЦ


.


Якщо вектори , однСЦСФСЧ природи, тобто обоСФ просторовСЦ або тимчасовСЦ, то . БСЦльше того, , якщо для х, у виконуСФться нерСЦвнСЦсть КошСЦ й , якщо нерСЦвнСЦсть це не виконуСФться. Думаючи в останньому випадку , одержимо .

б) У псевдоевклСЦдовом просторСЦ СЦснуСФ три типи прямих залежно вСЦд природи СЧСЧ напрямного вектора. Тут СЦснують також три види площин залежно вСЦд природи СЧСЧ нормального вектора.

в) ДокладнСЦше розглянемо питання про сфери. Сферою псевдоевклСЦдова простору П3 називаСФться множина крапок цього простору, що вСЦдстоять вСЦд даноСЧ крапки А, називаноСЧ центром сфери, на те саме вСЦдстань r. Величина r називаСФться радСЦусом сфери.

Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрСЦ сфери, переконаСФмося в тСЦм, що координати х1, х2, х3 поточнСЦ крапки сфери радСЦуса r задовольняють рСЦвнянню


. (3.17')


Ясно, що першСЦ два координатних вектори прямокутноСЧ системи тут передбачаються одиничними, а третСЦй вектор - мнимо одиничним.

У псевдоевклСЦдовом просторСЦ СЦснують три типи сфери речовинного, чисто мнимого й нульового радСЦуса.

РСЦвняння сфери речовинного радСЦуса r збСЦгаСФться (3.17'), у якому величина r речовинна. Якщо сфера чисто мнимого радСЦуса r = ki, де k речовинне, то рСЦвняння (3.17') приводиться до виду


(3.17)


Якщо ж сфера буде нульового радСЦуса, то з (3.15) треба, що


. (3.18)


РСЦвняння (3.18) в евклСЦдовому просторСЦ СФ рСЦвнянням конуса, а попереднСЦ два - рСЦвняння гСЦперболоСЧдСЦв.

Ясно, що конус (3,18) складаСФться з асимптот сфер (3.17, 17'), що мають центр на Начало координат. Очевидно, асимптотичеський конус сфери збСЦгаСФться з СЦзотропним конусом СЧСЧ центра. З рСЦвняння (3.15) треба також, що на сферах псевдоевклСЦдова простори СФ прямолСЦнСЦйнСЦ утворюючСЦ - прямСЦ цСЦлком лежачСЦ на сферСЦ.

Очевидно, лСЦнСЦСФю перетинання сфери СЦз площиною СФ  окружнСЦсть. Якщо сСЦчна площина проходить через Начало  Координат, то радСЦус окружностСЦ приймаСФ значення, рСЦвне  радСЦусу сфери. ОдержуванСЦ в такий спосСЦб окружностСЦ сфери називаються бСЦльшими окружностями.

За сферичну вСЦдстань мСЦж двома крапками М ( ), N ( ) сфери приймаСФмо вСЦдстань по великСЦй окружностСЦ, що з'СФднуСФ данСЦ крапки. Очевидно, ця вСЦдстань рСЦвняСФться добутку радСЦуса сфери на значення кута, утвореного радСЦусами векторами , . Отже, сферична вСЦдстань визначаСФться по формулСЦ


. (3.19)


Якщо сфера чисто мнимого радСЦуса r = ki, то формула (3.19) приводиться до виду


.


ГеометрСЦя Лобачевского

ПереконаСФмося тепер, що геометрСЦя сфери чисто мнимого радСЦуса в псевдоевклСЦдовом просторСЦ СФ ДвомСЦрною геометрСЦСФю Лобачевского. Обмежуючись лише однСЦСФСЧ, наприклад, верхньоСЧ порожньоСЧ сфери, покажемо, що в множинСЦ СЧСЧ крапок СЦ бСЦльших окружностей здСЦйснюСФться планСЦметрСЦя Лобачевского. Для простоти цСЦ крапки можна спроектувати СЦз центра сфери на дотичну до неСЧ площина в крапцСЦ N. Криву перетинання дотичноСЧ площини з СЦзотропним конусом будемо називати абсолютом.

При проектуваннСЦ крапки пСЦвсфери перейдуть у внутрСЦшнСЦ крапки кола, обмеженого абсолютом, а бСЦльшСЦ окружностСЦ - у хорди абсолюту. Очевидно, останнСЦ СФ лСЦнСЦями перетинання площин бСЦльших окружностей СЦз внутрСЦшнСЦстю абсолюту. РЖнцСЦдентнСЦсть крапок СЦ прямих розумСЦСФться у звичайному змСЦстСЦ. Ясно, що в системСЦ крапок внутрСЦшностСЦ абсолюту СЦ його хорд аксСЦоми 1,1 - 3 виконуються. АналогСЦчно аксСЦоми II порядку й IV безперервностСЦ переходять у щирСЦ пропозицСЦСЧ геометрСЦСЧ дотичноСЧ площини. Що стосуСФться аксСЦом III групи - аксСЦом конгруентностСЦ, те вони також переходять у щирСЦ пропозицСЦСЧ тривимСЦрноСЧ псевдоевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ. При цьому вважаСФмо конгруентними тСЦ вСЦдрСЦзки (кути), яким на сферСЦ чисто мнимого радСЦуса вСЦдповСЦдають сфери дуги бСЦльших окружностей, що сполучаються при деяких, обертаннях (кути мСЦж бСЦльшими окружностями).

З'ясуСФмо тепер, яка виконуСФться аксСЦома паралельностСЦ: V або V'.

Припустимо, що нам дана на верхнСЦй пСЦвсферСЦ бСЦльша окружнСЦсть СЦ не лежача на нСЦй крапка. У зв'язуваннСЦ прямих СЦ площин, центр якого збСЦгаСФться СЦз центром сфери, цСЦСФСЧ великоСЧ окружностСЦ й крапцСЦ вСЦдповСЦдають вСЦдповСЦдно площина й пряма a зв'язування.

Очевидно, що через пряму а можна провести незлСЦченну множину площин зв'язування, що розсСЦкають пСЦвсферу по бСЦльших окружностях, що не перетинаються з даною великою окружнСЦстю. У такий спосСЦб у розглянутСЦй моделСЦ виконуСФться аксСЦома паралельностСЦ Лобачевского. РЖнакше кажучи, площинна геометрСЦя Лобачевского збСЦгаСФться з геометрСЦСФю сфери чисто мнимого радСЦуса.

ЦСЦ мСЦркування дозволяють прийняти наступне загальне визначення n-мСЦрних неевклСЦдових геометрСЦй.

НеевклСЦдовими геометрСЦями n-вимСЦрСЦв називаються геометрСЦСЧ, якСЦ породжуються на n-мСЦрних сферах, Sn речовинного або чисто мнимого радСЦуса в (n+1)-мСЦрному евклСЦдовому вСЦдповСЦдно псевдоевклСЦдовом просторСЦ. ПередбачаСФться також» що дСЦаметрально протилежнСЦ крапки цих сфер ототожненСЦ, тобто такСЦ пари крапок уважаються за одну крапку.

РЖз цього визначення треба, що при зростаннСЦ n число типСЦв неевклСЦдових просторСЦв також росте. НеевклСЦдовСЦ геометрСЦСЧ СФ геометриями найпростСЦших римановых просторСЦв певноСЧ й невизначеноСЧ метрики, що становлять так званий клас просторСЦв постСЦйноСЧ ненульовоСЧ кривизни. Кожне з таких n-мСЦрних просторСЦв допускаСФ сукупнСЦсть рухСЦв, що залежить вСЦд n(n+1)/2 параметрСЦв.

Очевидно, при n=2 одержимо елСЦптичну площину й площину Лобачевского. ГеометрСЦя, цих площин буде вСЦдповСЦдно геометрСЦСФю сфери ЕвклСЦдова простору й геометрСЦСФю сфери чисто мнимого радСЦуса в псевдоевклСЦдовом просторСЦ.

Наше найближче завдання тАФ вивести основнСЦ формули сферичного трикутника (так називаються трикутник на сферСЦ, утворений трьома дугами бСЦльших окружностей). ЦСЦ формули виражають основнСЦ математичнСЦ спСЦввСЦдношень у трикутниках геометрСЦСЧ Лобачевского.

а) СНачало доведемо так звану теорему косинусСЦв. Припустимо, що нам даний сферичний трикутник з вершинами А( ), В ( ), З ( ), кутами A, В, С и протилежними сторонами вСЦдповСЦдно а, b, с.

Очевидно, цСЦ сторони пов'язанСЦ з радСЦус-векторами вершин сферичного трикутника наступними рСЦвностями


(3.21)


Припустимо далСЦ, що дотична площина до сфери в крапцСЦ З перетинаСФ радСЦуси ОА й ОВ у крапках СЦ . ЦСЦ числовСЦ множники , радСЦусСЦв векторСЦв крапок A1 СЦ B1 визначаються зовсСЦм просто, якщо врахувати ортогональнСЦсть векторСЦв , СЦ , ДСЦйсно,


.


ЗвСЦдси на пСЦдставСЦ (3.21) треба, що


. (3.22)


Повторюючи наведенСЦ мСЦркування для СЦншоСЧ пари й ортогональних векторСЦв, одержимо


. (3.23)


Знайдемо тепер скалярний добуток векторСЦв СЦ . З одного боку, маСФмо


,


Де



Отже, на пСЦдставСЦ (3.22, 3.23) маСФмо



Тому


.


З СЦншого боку,


.


Застосовуючи потСЦм (3.21), (3.22), (3.23), одержимо


(3.25)


ПорСЦвнюючи (3.24) СЦ (3.25), мСЦстимо



Або


. (3.26)


Формула (3.26) не залежить вСЦд нашого припущення про крапки перетинання А1 СЦ В1. Ця формула виражаСФ теорему косинусСЦв сферичного трикутника сфери чисто мнимого радСЦуса: косинус гСЦперболСЦчноСЧ сторони сферичного трикутника дорСЦвнюСФ добутку косинусСЦв гСЦперболСЦчних двох СЦнших сторСЦн без добутку синусСЦв гСЦперболСЦчних цих же сторСЦн на косинус кута мСЦж ними.

б) Переходимо тепер до висновку теореми синусСЦв. Обчислимо для цього квадрат вСЦдносини . На пСЦдставСЦ (3.26), маСФмо

. (*)


Бачимо, що чисельник правоСЧ частини СФ симетричним вираженням щодо змСЦнних а, b, с. Неважко переконатися, що такою ж симетричнСЦстю щодо цих змСЦнних володСЦСФ й знаменник. СправдСЦ


(3.27)


Таким чином, квадрат шуканого вСЦдношення симетричний щодо сторСЦн а, b, с. Це означаСФ, що замСЦняючи позначення сторСЦн а, b, з СЦ кутСЦв А, В, С у круговому порядку в (*) одержимо вСЦдносини , , рСЦвнСЦ . Витягаючи СЦз цих вСЦдносин квадратних корСЦнь, одержимо формули


, (3.28)


теорему, що виражаСФ, синусСЦв сферичного трикутника в геометрСЦСЧ сфери чисто мнимого радСЦуса: синуси гСЦперболСЦчних сторСЦн сферичного трикутника ставляться як синуси протилежних кутСЦв.

в) ПомСЦтимо, що формули (3.26) СЦ (3.28) геометрСЦСЧ сфери чисто мнимого радСЦуса r = ki у псевдоевклСЦдовому просторСЦ можна одержати з вСЦдповСЦдних формул сферичного трикутника в евклСЦдовому просторСЦ, замСЦняючи на , на , на .

Застосовуючи це правило, одержимо другу теорему косинусСЦв для сферичного трикутника у випадку сфери мнимого радСЦуса:


(3.29)


РЖнакше, косинус кута сферичного трикутника дорСЦвнюСФ добутку синусСЦв двох СЦнших кутСЦв на косинус гСЦперболСЦчноСЧ сторони мСЦж цими кутами без добутку косинусСЦв двох СЦнших кутСЦв.

ЗвСЦдси треба, що якщо кути одного сферичного трикутника дорСЦвнюють вСЦдповСЦдним кутам СЦншого сферичного трикутника, те такСЦ трикутники рСЦвнСЦ.

Формули прямокутного трикутника

Припустимо, кут РЖз трикутника AВС СФ прямим. Застосовуючи теорему косинусСЦв (3.26), одержимо


. (3.30)


Ця рСЦвнСЦсть виражаСФ теорему ПСЦфагора в геометрСЦСЧ Лобачевского: косинус гСЦперболСЦчноСЧ гСЦпотенузи прямокутного трикутника рСЦвняСФться добутку косинусСЦв гСЦперболСЦчних катетСЦв. Застосовуючи формулу (3.28) будемо мати:


, (3.31)

. (3.32)


ОтриманСЦ формули можна виписати за мнемонСЦчним правилом, аналогСЦчному правилу Непера в сферичнСЦй геометрСЦСЧ.

У цих формулах зв'язуються п'ять елементСЦв прямокутного трикутника, якСЦ можна розглядати в циклСЦчному порядку . Для кожного елемента попереднСЦй СЦ наступний елементи називаються прилеглими, а СЦншСЦ два елементи - протилежними елементами. МнемонСЦчне правило формулюСФться в такий спосСЦб.

Косинус елемента прямокутного трикутника в геометрСЦСЧ Лобачевского рСЦвняСФться добутку синусСЦв протилежних елементСЦв або добутку котангенсСЦв прилеглих елементСЦв.

Якщо пСЦд знаком функцСЦСЧ входить кут, то функцСЦя розумСЦСФться в тригонометричному змСЦстСЦ. Якщо ж входить довжина, то вона дСЦлиться на радСЦус кривизни СЦ СЧхня функцСЦя розумСЦСФться в гСЦперболСЦчному змСЦстСЦ. НарештСЦ, у випадку, коли пСЦд знаком функцСЦСЧ коштуСФ катет, функцСЦя мСЦняСФться на сумСЦжну: синус - на косинус, тангенс - на котангенс СЦ навпаки.

Користуючись наведеним правилом, одержимо для кожного елемента вСЦдповСЦднСЦ вираження через прилеглСЦ й протилежнСЦ елементи прямокутного трикутника:

(3.33)


Основна формула Лобачевского

Нехай дана на площинСЦ Лобачевского пряма a СЦ крапка A, не СЦнцСЦдентна СЧй. Опустимо СЦз крапки А перпендикуляр АВ на пряму а (мал. 19). Проведемо також через крапку А пряму АТ, паралельну прямСЦй а в якому-небудь напрямку. Кут , як указували вище, називаСФться кутом паралельностСЦ, а вСЦдрСЦзку АВ. Для одержання основний формул Лобачевского, що зв'язуСФ кут паралельностСЦ ВАО = П(p) з вСЦдрСЦзком p=АВ, вСЦзьмемо на променСЦ В яку-небудь крапку С. Для прямокутного трикутника AВС, маСФмо



Будемо видаляти тепер крапку З по променСЦ нескСЦнченно, прагне при цьому до 1 СЦ в межСЦ, одержимо



ЗвСЦдси треба, що


Вставляючи в останню рСЦвнСЦсть



остаточно одержимо



Ця формула, що зв'язуСФ кут паралельностСЦ П(р) з вСЦдповСЦдним вСЦдрСЦзком р, називаСФться основною формулою Лобачевского. З СЧСЧ треба, що кут паралельностСЦ СФ монотонно убутною функцСЦСФю. Якщо вСЦдрСЦзок паралельностСЦ р прагне до нуля, то кут паралельностСЦ прагне до прямого кута, якщо ж р прагне до нескСЦнченностСЦ, то кут П(р) прагнути до нуля.

ГеометрСЦя сфери простору Лобачевского

ВСЦзьмемо в тривимСЦрному просторСЦ Лобачевского сферу радСЦуса R СЦз центром у деякСЦй крапцСЦ О. На цСЦй сферСЦ СЦндуцируСФться деяка сферична геометрСЦя. сукупнСЦсть, Що Виходить, пропозицСЦй називаСФться геометрСЦСФю сфери в просторСЦ Лобачевского. Розглянемо в цСЦй геометрСЦСЧ прямокутний трикутник AВС, утворений з дуг АВ = з, АС = b, ВР = a бСЦльших кСЦл. Дуги бСЦльших кСЦл тут, як СЦ в сферичнСЦй геометрСЦСЧ звичайного простору СФ найкоротшими для досить близьких крапок на сферСЦ. Кути мСЦж бСЦльшими колами розумСЦються як лСЦнСЦйнСЦ кути двогранних кутСЦв, утворених площинами бСЦльших кСЦл. Припустимо, що кут З даного трикутника прямоСЧ. Опустимо далСЦ СЦз крапки В перпендикуляри ВА1 СЦ ВР1 на радСЦуси ОА й ОС вСЦдповСЦдно. Застосовуючи вСЦдомСЦ формули до прямокутного трикутника ОВС1 (мал. 20), одержимо



АналогСЦчно СЦз трикутникСЦв ОВА1 СЦ А1ВР1 треба, що



КрСЦм СЦз цих трьох спСЦввСЦдношень ВР1 СЦ ВA1, одержимо формулу



спСЦвпадаючу з вСЦдповСЦдною формулою для прямокутного сферичного трикутника в евклСЦдовому просторСЦ. Виведемо тепер теорему ПСЦфагора для прямокутного трикутника ABС у геометрСЦСЧ сфери в просторСЦ Лобачевского. РЖз трикутника ОВС1 маСФмо



АналогСЦчно СЦз трикутникСЦв ОВА1 СЦ OA1C1 вСЦдповСЦдно треба, що


КрСЦм СЦз отриманих трьох рСЦвностей вСЦдрСЦзки ОС1 СЦ OA1 виводимо



Ця формула збСЦгаСФться з вСЦдповСЦдною формулою для прямокутного трикутника звичайноСЧ сферичноСЧ геометрСЦСЧ. Зазначеним способом можна переконатися, що в цСЦлому геометрСЦя сфери простору Лобачевского збСЦгаСФться з геометрСЦСФю сфери ЕвклСЦдова простору.

Про геометрСЦю Лобачевского в малому

Припустимо тепер, що в трикутнику лСЦнСЦйнСЦ розмСЦри a, b, c малСЦ в порСЦвняннСЦ з радСЦусом кривизни k простору. Це припущення свСЦдомо виконуСФться для трикутникСЦв з малими лСЦнСЦйними розмСЦрами або в просторСЦ досить малоСЧ кривизни 1/k2. Розкладаючи в статечнСЦ ряди гСЦперболСЦчнСЦ функцСЦСЧ у формулСЦ (3.26), що виражаСФ теорему косинусСЦв у геометрСЦСЧ Лобачевского, одержимо



З огляду на тут члени до другого порядку малостСЦ включно, будемо мати


a2 = b2 + c2 - 2 bc cosA.


Ця залежнСЦсть мСЦж елементами трикутника виражаСФ теорему косинусСЦв в евклСЦдовСЦй геометрСЦСЧ. У випадку прямокутного трикутника cosA=0; отже,


a2 = b2 + c2


т. е. справедлива теорема Пифагора. ДалСЦ при наших припущеннях синуси гСЦперболСЦчнСЦ у формулСЦ (3.28) у першому наближеннСЦ пропорцСЦйнСЦ аргументам, тому



т. е. сторони трикутника пропорцСЦйнСЦ синусам протилежних кутСЦв. ОстаннСЦ три рСЦвностСЦ дозволяють затверджувати, що формули геометрСЦСЧ Лобачевского для фСЦгур з малими лСЦнСЦйними розмСЦрами збСЦгаються з вСЦдповСЦдними формулами евклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ.


2.4 РСЦзнСЦ моделСЦ площини Лобачевского. НезалежнСЦсть 5-го постулату ЕвклСЦда вСЦд СЦнших аксСЦом Гильберта


У попередньому параграфСЦ познайомилися з основними формулами двомСЦрноСЧ геометрСЦСЧ Лобачевского, якСЦ в той же час були формулами геометрСЦСЧ сфери чисто мнимого радСЦуса в псевдоевклСЦдовом просторСЦ.

Ця сфера, по сутСЦ, СФ одна з можливих моделей площини Лобачевского. РЖнша модель - модель Бельтрами-Клейна. Вона вийшла з першоСЧ моделСЦ шляхом центрального проектування крапок сфери на яку-небудь СЧСЧ дотичну площину. Остання, мабуть, буде евклСЦдовою площиною.

Площина Лобачевского в моделСЦ Бельтрами-Клейна зображуСФться у виглядСЦ внутрСЦшностСЦ кола, причому прямСЦ зображуються хордами. ПересСЦчнСЦ прямСЦ зображуються пересСЦчними хордами. Якщо загальна крапка буде прагнути по однСЦй СЦз прямих до нескСЦнченностСЦ, то паралельнСЦ прямСЦ будуть зображуватися хордами, загальна крапка яких належить абсолюту (обмежуючоСЧ внутрСЦшнСЦсть кола окружностСЦ). НарештСЦ, зверхпаралельнСЦ прямСЦ в розглянутСЦй моделСЦ зображуються хордами, якСЦ, будучи продовженСЦ, перетнуться в крапцСЦ, що належить зовнСЦшньоСЧ областСЦ абсолюту.

Неважко переконатися, що пучок прямих першого роду при Даному вСЦдображеннСЦ переходить у сукупнСЦсть хорд, що перетинаються в загальнСЦй крапцСЦ, що належить внутрСЦшностСЦ абсолюту. Пучок прямих другого роду, тобто прямих, паралельних один одному в даному напрямку, переходить у сукупнСЦсть хорд, що перетинаються в деякСЦй крапцСЦ абсолюту. НарештСЦ, пучок прямих третього роду вСЦдображаСФться в сукупнСЦсть хорд, що перетинаються в деякСЦй крапцСЦ поза абсолютом. Крапки абсолюту називаються нескСЦнченно вилученими крапками й крапки поза абсолютом - СЦдеальними крапками площини Лобачевского. Тому пучки прямих другого й третього родСЦв називаються СЦнодСЦ пучками з нескСЦнченно вилученими або вСЦдповСЦдно СЦдеальними центрами.

Неважко переконатися також, що вСЦсь пучка прямих третього роду СФ полярою полюса - свого СЦдеального центра. СправдСЦ, допустимо, що вСЦсь пучка не СФ полярою СЦдеального центра. Припустимо, наприклад, що вона не проходить через крапку перетинання поляри крапки Р с абсолютом. ТодСЦ на площинСЦ Лобачевского буде СЦснувати пряма СС1 одночасно перпендикулярна й паралельна до прямСЦй СВ, що неможливо.

Переносячи по вСЦдображенню у внутрСЦшнСЦсть абсолюту основнСЦ поняття вСЦдображуваноСЧ площини Лобачевского, у пСЦдсумку одержимо так звану модель Бельтрами-Клейна.

Ясно, що до моделСЦ Бельтрами-Клейна можна прийти безпосередньою перевСЦркою аксСЦом Гильберта I-IV СЦ аксСЦоми паралельностСЦ Лобачевского в множинСЦ крапок внутрСЦшностСЦ кола СЦ його хорд, уводячи мСЦж ними вСЦдповСЦдним чином основнСЦ вСЦдносини. Крапками й прямими в цСЦй моделСЦ СФ внутрСЦшнСЦ крапки абсолюту СЦ його хорди без кСЦнцСЦв. тАЮСЦнцСЦдентнСЦсть" крапок СЦ прямих, а також тАЮмежду" для трьох крапок, що належать однСЦй прямСЦй, розумСЦються у звичайному змСЦстСЦ. Два вСЦдрСЦзки (кута) уважаються конгруентними, якщо вони будуть вСЦдповСЦдними при деякому взаСФмно однозначному крапковому вСЦдображеннСЦ розширеноСЧ (за рахунок додавання невласноСЧ прямоСЧ) евклСЦдовоСЧ площини, при якому абсолют залишаСФться незмСЦнними тАЮпрямСЦ" переходять в тАЮпрямСЦ".

У моделСЦ Бельтрами-Клейна довжини й кути спотворюються, якщо малюнки 23, 24 розумСЦти в евклСЦдовому змСЦстСЦ.

У розглянутСЦй моделСЦ через крапку А, дану поза прямСЦй а, можна провести прямСЦ, якСЦ перетинають пряму а; прямСЦ АU, АV, паралельнСЦ а й, нарештСЦ, прямСЦ b - зверх паралельнСЦ, що розташовуються у внутрСЦшностСЦ заштрихованих вертикальних кутСЦв. У цСЦй моделСЦ виконуються всСЦ аксСЦоми Гильберта, у тому числСЦ й аксСЦома Лобачевского. ВСЦдстань d(А, В) мСЦж двома крапками A, У в моделСЦ Бельтрами-Клейна виражаються за допомогою проективних понять. Якщо хорда АВ перетинаСФ абсолют у крапках М, N, то



де (ABMN) позначаСФ подвСЦйне вСЦдношення зазначених чотирьох крапок (АМ: ВМ): (АN: BN). У самому дСЦдСЦ, припустимо, що


(4.1)


СФ рСЦвнянням абсолюту в однорСЦдних координатах. КрСЦм того, за умовою нам данСЦ крапки А(аi) СЦ В(bi). Становлячи рСЦвняння прямСЦй АВ, одержимо


(4.2)


Щоб знайти крапки перетинання М, N, прямСЦй АВ з абсолютом, вирСЦшимо спСЦльно систему рСЦвнянь (4.1) СЦ (4.2) щодо невСЦдомих . Вставляючи з рСЦвностСЦ (4.2) у рСЦвняння (4.1), одержимо


. (4.3)


Розгортаючи бСЦльш докладно лСЦву частину (4.3), будемо мати


.


Тому що крапка А (аi) не належить абсолюту, тобто , те вирСЦшуючи квадратне рСЦвняння



знайдемо наступних значень вСЦдносини , для шуканих крапок:



З СЦншого боку, як вСЦдомо, подвСЦйне вСЦдношення чотирьох крапок А, B, М, N дорСЦвнюСФ подвСЦйному вСЦдношенню, складеному з вСЦдповСЦдних значень параметра , тому


Але ця рСЦвнСЦсть можна переписати у виглядСЦ


(4.4)

Вставляючи в праву частину (4.4) знайденСЦ вираження , СЦ з огляду на (3.21), одержимо



Тому що по визначенню



те попередня рСЦвнСЦсть можна переписати так:



Логарифмуючи цю рСЦвнСЦсть, маСФмо остаточно


(4.5)


Ця формула показуСФ, що вСЦдстань мСЦж двома крапками А и В рСЦвняСФться з точнСЦстю до множника подвСЦйному вСЦдношенню даних крапок А, У и крапок М, N перетинання прямСЦй АВ з абсолютом.

Кут мСЦж двома променями а, b, що виходять СЦз крапки З, також виражаСФться через проективнСЦ поняття комплексноСЧ геометрСЦСЧ, Нехай т, n позначають дотичнСЦ до абсолюту, що проходять через крапку С. ПомСЦтимо, що прямСЦ m, n необхСЦдно комплексно сполученСЦ. АналогСЦчно попереднСЦй формулСЦ маСФмо



Модель Бельтрами-Клейна примСЦтна тим, що прямСЦ площини Лобачевского в нСЦй зображуються у виглядСЦ вСЦдкритих вСЦдрСЦзкСЦв прямих евклСЦдовоСЧ площини. Вона здСЦйснюСФ геодезичне вСЦдображення площини Лобачевского на внутрСЦшнСЦсть кола евклСЦдовоСЧ площини.

Перш нСЦж перейти до СЦнших моделей площини Лобачевского потрСЦбно зробити наступнСЦ два важливих зауваження. По-перше, до моделСЦ Бельтрами-Клейна можна прийти на основСЦ вСЦдображення площини Лобачевского на граничну поверхню, на якСЦй здСЦйснюСФться ЕвклСЦдова геометрСЦя. Тому аксСЦоми геометрСЦСЧ Лобачевского тут виконуються автоматично по вСЦдображенню. Але наведене тут опис по вСЦдображенню основних понять дозволяСФ у свою чергу прийти до цСЦСФСЧ моделСЦ самостСЦйним образом, на основСЦ доказу выполнимости послСЦдовно кожноСЧ аксСЦоми I - IV, V.

По-друге, до цСЦСФСЧ ж моделСЦ Бельтрами-Клейна можна прийти, мабуть, проектуванням у просторСЦ Минковского сфери чисто мнимого радСЦуса з СЧСЧ центра на дотичну до неСЧ площина, наприклад, у пСЦвнСЦчному полюсСЦ.

Припустимо тепер, що абсолют СЦз центром Про модель Бельтрами-Клейна СФ бСЦльшим колом сфери. Ортогональне проектування внутрСЦшностСЦ абсолюту на одну з отриманих пСЦвсфер дозволяСФ одержати нову модель площини Лобачевского на пСЦвсферСЦ. ПотСЦм стереографическое проектування цСЦСФСЧ пСЦвсфери на вихСЦдну площину з полюса S, розташованого в СЦншСЦй пСЦвсферСЦ, де вСЦдрСЦзок OS перпендикулярний площини абсолюту, приводить до моделСЦ Пуанкаре усерединСЦ кола. Отже, у колишньому абсолютСЦ прямими тепер СФ дуги окружностей, що ортогональне перетинають абсолют СЦ дСЦаметри абсолюту. ВСЦдносини СЦнцидентностСЦ, лежати мСЦж СЦ конгруентностСЦ кутСЦв мають звичайний сенс. Поняття конгруентностСЦ вСЦдрСЦзкСЦв також вСЦдповСЦдним чином переноситься з моделСЦ Бельтрами-Клейна.

Застосовуючи потСЦм дрСЦбно-лСЦнСЦйне вСЦдображення комплексного змСЦнного до внутрСЦшньоСЧ областСЦ абсолюту, одержимо вСЦдому модель Пуанкаре на напСЦвплощинСЦ. У цСЦй моделСЦ "крапками» СФ крапки верхньоСЧ напСЦвплощини, "прямими» - пСЦвкола СЦз центром на граничнСЦй прямСЦй - абсолютСЦ. До "прямих» зараховуються також, напСЦвпрямСЦ верхньоСЧ напСЦвплощини, перпендикулярнСЦ до абсолютноСЧ прямоСЧ. ВСЦдносини СЦнцСЦдентностСЦ й лежати мСЦж розумСЦСФмо у звичайному змСЦстСЦ. КонгруентнСЦсть кутСЦв у цСЦй моделСЦ збСЦгаСФться з евклСЦдовоСЧ конгруентностью. Модель Пуанкаре представляСФ собою конформне вСЦдображення площини Лобачевского на ЕвклСЦдову напСЦвплощина.

Що стосуСФться поняття конгруентностСЦ вСЦдрСЦзкСЦв, то воно визначаСФться через рухи або вСЦдстань мСЦж двома крапками А и В, причому поняття вСЦдстанСЦ мСЦж крапками в останньому випадку не припускаСФ вимСЦру вСЦдрСЦзкСЦв. По визначенню воно означаСФ число.


(*)


якщо крапки A, У лежать на пСЦвкола або число


(**)

якщо крапки лежать на напСЦвпрямСЦй, перпендикулярнСЦй граничнСЦй прямСЦй XX. У цих формулах кути , СЦ ординати в1 , в2 мають звичайний сенс, ясний з малюнка 29,буд.

Очевидно, завжди можемо припускати, що позначення кутСЦв символами , СЦ ординат в1, в2 для даних крапок A, У здСЦйснено так, що правСЦ частини в (*), (**) позитивнСЦ. Тепер неважко визначаСФться конгруентнСЦсть вСЦдрСЦзкСЦв. ВСЦдрСЦзки АВ СЦ СD конгруентнСЦ, якщо вСЦдстань мСЦж кСЦнцями A, В одного вСЦдрСЦзка дорСЦвнюСФ вСЦдстанСЦ мСЦж кСЦнцями З, D СЦншого вСЦдрСЦзка.

ПСЦдкреслимо ще раз, що до моделСЦ Пуанкаре на напСЦвплощинСЦ ми прийшли в результатСЦ вСЦдображення першоСЧ моделСЦ Пуанкаре у внутрСЦшностСЦ кола. Тому аксСЦоми Гильберта геометрСЦСЧ Лобачевского виконуються автоматично по вСЦдображенню.

Опису основних образСЦв, що приводяться тут, СЦ вСЦдносин СЦнцидентностСЦ, лежати мСЦж, конгруентностСЦ вСЦдрСЦзкСЦв СЦ кутСЦв дозволяють прийти до цСЦСФСЧ моделСЦ Пуанкаре на напСЦвплощинСЦ самостСЦйним образом, шляхом доказу кожноСЧ аксСЦоми гильбертовськоСЧ аксСЦоматики.

На закСЦнчення зупинимося на питаннСЦ незалежностСЦ 5-го постулату ЕвклСЦда вСЦд СЦнших аксСЦом Гильберта. ВСЦдповСЦдно до загальноСЧ установки, викладеноСЧ в главСЦ 1, досить побудувати яку-небудь модель, на якСЦй би виконувалися всСЦ аксСЦоми Гильберта I - V за винятком аксСЦоми паралельностСЦ V. АксСЦома ця, еквСЦвалентна щодо аксСЦом I - IV твердженню 5-го постулату, полягаСФ в наступному. Через крапку А, не приналежнСЦй прямСЦй а, можна провести в площинСЦ, обумовленою цСЦСФю крапкою А и прямСЦй а, не бСЦльше однСЦй прямСЦй, що не перетинаСФться з данСЦй прямСЦй a.

Очевидно, будь-яка модель геометрСЦСЧ Лобачевского, наприклад, Бельтрами-Клейна дозволяСФ довести незалежнСЦсть аксСЦоми паралельностСЦ вСЦд попереднСЦх аксСЦом I - IV. ДСЦйсно, на цСЦй моделСЦ виконуються всСЦ 19 аксСЦом I - IV, а аксСЦома V не виконуСФться. ЗвСЦдси мСЦстимо, що за допомогою аксСЦом I - IV, Гильберта неможливо довести аксСЦому паралельностСЦ V. РЖнакше кажучи, 5-й постулат ЕвклСЦда не можна вивести як теорему з попереднСЦх аксСЦом I - IV.


Висновок


ВСЦдкриття неевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ, Начало якому поклав Лобачевский, не тСЦльки зСЦграло величезну роль у розвитку нових СЦдей СЦ методСЦв у математицСЦ природознавства, але маСФ й фСЦлософське значення. Панування до Лобачевского думки про непорушнСЦсть геометрСЦСЧ ЕвклСЦда значною мСЦрою ТСрунтувалося на навчаннСЦ вСЦдомого нСЦмецького фСЦлософа РЖ. Канта (1724-1804), родоначальника нСЦмецького класичного СЦдеалСЦзму. Кант затверджував, що людина впорядковуСФ явища реального миру вСЦдповСЦдно до апрСЦорних уявлень, а геометричнСЦ подання й СЦдеСЧ нСЦбито апрСЦорнСЦ (латинське слово aprior означаСФ - споконвСЦчно, заздалегСЦдь), тобто, не вСЦдбивають явищ дСЦйсного миру, не залежать вСЦд практики, вСЦд досвСЦду, а СФ вродженими людському миру, раз СЦ назавжди зафСЦксованому, "астивими людському розуму, його духу. Тому, Кант уважав, що ЕвклСЦдова геометрСЦя непохитна, незмСЦнна, СЦ СФ вСЦчною СЦстиною. Ще до Канта геометрСЦя ЕвклСЦда вважалася непорушноСЧ, як СФдино можливе вчення про реальний простСЦр.

ВСЦдкриття неевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ довело, що не можна абсолютувати уявлення про простСЦр, що "уживана» (як назвав Лобачевский геометрСЦю ЕвклСЦда) геометрСЦя не СФ СФдино можливою, однак це не пСЦдСЦрвало непорушнСЦсть геометрСЦСЧ ЕвклСЦда. Отже, в основСЦ геометрСЦСЧ ЕвклСЦда лежать не апрСЦорному, уродженСЦ розуму поняття й аксСЦоми, а такСЦ поняття, якСЦ пов'язанСЦ з дСЦяльнСЦстю людини, з людською практикою. ТСЦльки практика може вирСЦшити питання про те, яка геометрСЦя вСЦрнСЦше викладаСФ "астивостСЦ фСЦзичного простору. ВСЦдкриття неевклСЦдовоСЧ геометрСЦСЧ дало вирСЦшальний поштовх грандСЦозному розвитку науки, сприяло й понинСЦ сприяСФ бСЦльше глибокому розумСЦнню матерСЦального свСЦту.

Список лСЦтератури


1. Глейзер Г.РЖ. РЖсторСЦя математики в школСЦ IX - X класи. - К., 2004

2. Даан Дальмедино А., Пейффер РЖ. Шляхи й лабСЦринти. Нариси по СЦсторСЦСЧ математики. - К., 2003

3. Егоров РЖ.П. ЛекцСЦСЧ по аксСЦоматицСЦ Вейля й неевклСЦдовим геометрСЦям. - К., 2003

4. Егоров РЖ. П. Основи геометрСЦСЧ. - К., 2003

5. Клайн М., Математика. Втрата визначеностСЦ. - К., 2004

6. ЛаптСФв Б.Л. М.РЖ. Лобачевский СЦ його геометрСЦя. - К., 2006

7. НеевклСЦдовСЦ простори й новСЦ проблеми фСЦзики. - К., 2003

8. Розенфельд Б.А. НеевклСЦдовСЦ простори. - К., 2005

9. Широков П.А. Короткий нарис основ геометрСЦСЧ Лобачевского. - К., 1999.

10. Яглам РЖ.М. Принцип вСЦдносностСЦ ГалСЦлея й неевклСЦдова геометрСЦя. - К., 2000

ЕвклСЦдова СЦ неевклСЦдова геометрСЦСЧ


Страницы: Назад 1 Вперед