|
 |
 |
Далее можно дифференцированием по x найти поле Ex и Dx:
 |
Следующий шаг - нахождение поляризованности и ее дивергенции, то есть связанного заряда :
 |
В точках разрыва (x) (на стыке двух диэлектриков) производная (x) обращается в бесконечность, формула для cтановится неприменимой и надо искать поверхностный связанный заряд:
 |
Обязательно проверяются условия на границах (в данном случае x1, x2) на наличие поверхностного связанного заряда:
 |
В сферическом и цилиндрическом случаях надо правильно писать div в соответствующей системе координат. Выражения для (r) принимают вид:
| (r) | = |  |
| (r) | = |  |
после чего Er(r) и связанные заряды находятся аналогично тому, как это было сделано выше для плоскостного (декартового) случая.
Задача. Получить выражения для (r), Er(r), , в случае цилиндрической и сферической симметрии, если заданы зависимость (r), а также потенциалы граничных поверхностей (R1(2)) = 1(2). = 0.
Указание: Для промежуточной проверки использовать вышеприведенные выражения для потенциала.
Задача. Пространство между обкладками плоского конденсатора шириной d заполнено неоднородным диэлектриком c проницаемостью (x) = 1+ x. Найти (x), Ex(x), , на обкладках.
Решение: Будем считать, что конденсатор занимает область координат x = 0... d, причем потенциал одной обкладки (x = 0) равен 1 = 0, а другой 2 = U. Тогда зависимость потенциала от координаты находится как
 |
после чего находим поле Ex(x) дифференцированием:
 |
и далее получаем поляризованность Px:
 |
Взяв дивергенцию, получаем объемный связанный заряд:
 |
и еще проверяем условия на обкладках на наличие поверхностного заряда :
| |x = 0 | = | –Px|x = 0+ = 0 |
| |x = d | = |  |
Как и следовало ожидать, |x = 0 = 0, поскольку у обкладки x = 0 диэлектрическая проницаемость равнa единице. Если U0, то |x = d0, что тоже естественно: у обкладки x = d должен концентрироваться отрицательный связанный заряд. Для проверки найдем суммарный связанный заряд на единицу площали обкладки конденсатора - этот заряд должен оказаться равным нулю. Действительно,
 |
= |  |
| = |  |
|
| = |  |
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.