Передний край теоретической физики: теплопроводность одномерного кристалла

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика



Передний край теоретической физики: теплопроводность одномерного кристалла

И.П.Иванов

Теоретическая физика, несмотря на многочисленные успехи, до сих пор сталкивается с задачами, которые она должна, но пока не может решить. Многие из таких задач возникают при попытке объяснить макроскопические свойства тел, исходя из их микроскопического строения. В этой заметке рассказывается о том, как выглядят исследования в этой области на примере, казалось бы, безобидной задачи о теплопроводности одномерной цепочки атомов.

Теоретическая физика и проблема микроскопического описания тел

Теоретическая физика интересна и сама по себе, однако, ее красота и сила проявляются в самой полной форме тогда, когда с ее помощью удается описать какое-либо наблюдаемое явления, какой-то кусочек нашего мира. Когда вместо эмпирических полуописательных формул, то работающих, то не работающих в той или другой области параметров, вдруг возникает единое простое уравнение, которое охватывает сразу все случаи. Когда вдруг приходит понимание, что какое-то непонятное ранее явление вовсе не "лишнее", а с необходимостью следует из общих свойств нашего мира. Когда из нескольких утверждений теоретическая физика форсированно выводит все наблюдаемые явления.

Хорошо бы, если бы так было всегда. Но, к сожалению, до сих пор есть много неуклюжих моментов, когда теоретическая физика, стартуя с простых и общих правил, запутывается в дебрях математики и не может "пробиться" к какому-то реально наблюдаемому явлению. В результате ученые временно вынуждены описывать такое явление с помощью мнемонических правил и приближенных формул. Оно может уже даже применяться в науке и в промышленности, но когда теоретик снова возвращается к этому эффекту, внутри него возникает грызущее чувство: приручить-то приручили, а понять толком не можем. Что-то ускользает.

Такие проблемы часто возникают при попытке описать макроскопические тела с микроскопической точки зрения. С одной стороны, мы знаем, что все состоит из атомов и молекул, которые взаимодействуют друг с другом по вполне понятым законам. С другой стороны, с макроскопической точки зрения, мы видим вокруг себя бесконечное разнообразие веществ и материалов с самыми необычными свойствами. Поэтому возникает серьезная задача для теоретической физики - связать эти две картины, вывести макроскопические свойства вещества (например, плотность, теплоемкость, температура плавления и кипения, вязкость, поверхностное натяжение, теплопроводность и многие другие), исходя из его микроскопического строения. То есть, выяснить, как же это так происходит, что движение отдельных атомов, в конце концов, образует некое сплошное вещество с присущими только ему свойствами.

Частично теоретическая физика эту задачу решила. Самый простой пример: свойства разреженных газов. Исходя из очень простой, но достаточно правдоподобной модели (газ - это молекулы, хаотично летающие по сосуду и сталкивающиеся со стенками), теорфизика смогла объяснить, что такое давление газа и чему оно равно. Другими словами, если раньше уравнение состояния газа PV = nRT являлось чисто экспериментальным фактом, то теперь оно было выведено из такой микроскопической картины.

Однако ситуация не столь безоблачна, когда речь о конденсированном состоянии вещества: то есть, о жидкостях и твердых телах. Конденсированное состояние представляет для теории гораздо большую проблему, нежели разреженные газы. Ведь в газах столкновения молекул достаточно редки, так что ими можно или пренебречь совсем, или учесть с хорошей точностью в приближении парных, тройных и т.д. столкновений. В жидкости или в твердом теле все совсем не так. Там каждая молекула постоянно взаимодействует сразу с несколькими соседями, и поэтому поатомное описание такого процесса невозможно.

Здесь приходится прибегать к хитростям: строить точно решаемые модели либо пытаться провести численный анализ. Иногда это работает, иногда нет. Судя по количеству публикаций в этой области, можно с полным на то основанием сказать, что это - один из передних фронтов современной теоретической физики.

Теплопроводность одномерной цепочки: постановка проблемы

Одна из нерешенных проблем в этом направлении - вывести теплопроводность кристаллической решетки хотя бы в одномерном случае, то есть показать, как именно одномерная цепочка атомов проводит "тепло". Казалось бы, что в этом трудного! Рассматриваем одномерную цепочку атомов, связанных некими силами, пишем определенный вид межатомного взаимодействия, и запускаем модель на численный счет. Это, в самом деле, сделать несложно, но вот только результаты получаются крайне неудовлетворительные.

Что значит "неудовлетворительные"? Взгляните на Рис.1, где показан стационарный профиль температуры внутри какого-нибудь макроскопического тела. Если с одной стороны тела поддерживается высокая температура, а с другой - низкая, то в теле возникает поток тепла, который и приводит к возникновению показанного профиля температур. Это и есть явление теплопроводности. Интересно выяснить, будет ли такая же картина получаться и в результате численного моделирования нашей одномерной цепочки.

Оказывается - ничего похожего. На Рис.2 показано, как меняется профиль локальной температуры цепочки в зависимости от количества атомов в ней. Мы видим, что чем больше частиц в цепочке, тем меньше походит результат моделирования на реальное физическое явление. Друг