ПередатнСЦ функцСЦi СЦмпульсних автоматичних систем та оцСЦнка iх якостСЦ

Информация - Компьютеры, программирование

Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование



1. ПередатнСЦ функцСЦi СЦмпульсних автоматичних систем

СтруктурнСЦ зображення СЦ передатнСЦ функцСЦi складають основу для СЦнженерних розрахункСЦв СЦмпульсних автоматичних систем. Вони дозволяють у значнСЦй мСЦрСЦ полегшити рСЦшення задач дослСЦдження.

Для дослСЦдження динамСЦчних властивостей системи в першу чергу необхСЦдно визначити ii передатнСЦ функцСЦi, що, як вСЦдомо, установлюють залежнСЦсть мСЦж вхСЦдним впливом СЦ реакцСЦСФю системи (ланки). Звичайно в розгляд уводять, як СЦ при дослСЦдженнСЦ безупинних систем, такСЦ передатнСЦ функцСЦi: передатну функцСЦю розСЦмкнутоi СЦмпульсноi системи СЦ передатну функцСЦю помилки.

Передатною функцСЦСФю розСЦмкнутоi СЦмпульсноi системи називаСФться вСЦдношення зображень у смислСЦ дискретного перетворення Лапласа вихСЦдного СЦ вхСЦдного СЦмпульсних сигналСЦв при нульових початкових умовах:

АналогСЦчно визначаСФться ця передатна функцСЦя в смислСЦ Z перетворення:

.

Основне завдання полягаСФ в тому, щоб визначити передатну функцСЦю W(z) по вСЦдомСЦй передатнСЦй функцСЦi приведеноi безупинноi частини системи W(p). Цю задачу вирСЦшують у такСЦй послСЦдовностСЦ:

1. По передатнСЦй функцСЦi W(p) у результатСЦ застосування зворотного перетворення Лапласа знаходять функцСЦю ваги ПНЧ:

2. По функцСЦi ваги ПНЧ w(t) визначають аналСЦтичне вираження для вСЦдповСЦдноi дискретноi функцСЦi ваги w(n).

  1. Шукану передатну функцСЦю W(z) одержують як Z - перетворення дискретноi функцСЦi ваги ПНЧ:

Основна передатна функцСЦя замкнутоi СЦмпульсноi системи дозволяСФ обчислити реакцСЦю замкнутоi системи хВИХ(пТ) на вплив, що задаСФ, Хвх(пт). РЗi визначають, як СЦ в безупинних системах, вСЦдповСЦдно до рСЦвняння замикання через дискретну передатну функцСЦю розСЦмкнутоi системи:

. (1)

Передатну функцСЦю замкнутоi системи завжди можна подати у виглядСЦ вСЦдносини двох полСЦномСЦв щодо перемСЦнноi z:

. (2)

Запишемо цей вираз в розгорнутому виглядСЦ:

. (3)

ЛСЦва частина цього рСЦвняння (у дужках) СФ характеристичний полСЦном замкнутоi СЦмпульсноi системи М(z).

У результатСЦ переходу вСЦд зображень до оригСЦналСЦв у формулСЦ (3) легко одержати вСЦдповСЦдне рСЦзницеве рСЦвняння системи М(z).

АналогСЦчно можна одержати рСЦзницеве рСЦвняння розСЦмкнутоi системи по передатнСЦй функцСЦi W(z).

Передатна функцСЦя помилки визначаСФться через передатну функцСЦю розСЦмкнутоi системи за формулою

. (4)

Знаючи вплив, що задаСФться, СЦ цю передатну функцСЦю, можна оцСЦнити динамСЦчну точнСЦсть СЦмпульсноi системи знайти дискретну функцСЦю помилки ?(nT).

Розглянемо конкретний приклад визначення передатних функцСЦй СЦмпульсноi системи. Визначимо передатнСЦ функцСЦi системи, структурна схема якоi зображена на рис. 1.

Рисунок 1 Структурна схема СЦмпульсноi системи

Як видно з рисунка, у прямого ланцюзСЦ системи СФ найпростСЦший СЦмпульсний елемент (фСЦксатор) СЦ безупинна частина (СЦнтегруюча ланка).

Передатна функцСЦя приведеноi безупинноi частини:

.

Дискретну передатну функцСЦю розСЦмкнутоi системи знаходимо вСЦдповСЦдно до методики, викладеноi вище:

. (5)

РСЦзницеве рСЦвняння розСЦмкнутоi системи визначаСФмо, у разСЦ потреби, безпосередньо з (5):

Знаючи W (z), легко знайти основну передатну функцСЦю замкнутоi системи:

. (6)

ДинамСЦчнСЦ процеси в замкнутСЦй СЦмпульснСЦй системСЦ описуються таким рСЦзницевим рСЦвнянням, отриманим з (6) шляхом переходу до оригСЦналСЦв:

.

2. ОцСЦнка стСЦйкостСЦ СЦмпульсноi автоматичноi системи

НеобхСЦдною умовою працездатностСЦ СЦмпульсноi системи СФ ii стСЦйкСЦсть. ВСЦдомСЦ з попереднСЦх лекцСЦй основнСЦ визначення стСЦйкостСЦ безупинних систем застосовнСЦ СЦ до СЦмпульсних систем, але з урахуванням ряду особливостей цих систем.

Звернемося до основного формулювання умови стСЦйкостСЦ: СЦмпульсна система стСЦйка, якщо ii власний рух з часом загасаСФ.

Як уже вСЦдзначалося, на практицСЦ часто обмежуються визначенням дискретноi функцСЦi XВИХ(n) на виходСЦ системи. Це рСЦшення можна одержати, наприклад, з формули (4) у виглядСЦ суми вСЦльноi СЦ змушеноi складовоi:

Таким чином, умову стСЦйкостСЦ системи варто записати так:

ОцСЦнку стСЦйкостСЦ СЦмпульсноi системи, як СЦ безупинноi, звичайно роблять на пСЦдставСЦ дослСЦдження характеристичного рСЦвняння замкнутоi системи, яке одержують з (3):

(7)

Це алгебраiчне рСЦвняння маСФ m коренСЦв zi на площинСЦ z. Але, оскСЦльки перемСЦнна z зявилася в звязку з пСЦдстановкою , то кожен корСЦнь zi звязаний з коренями pi на площинСЦ p залежнСЦстю

Легко помСЦтити, що нульовому кореню, наприклад, p1=0, вСЦдповСЦдаСФ корСЦнь zi=1, а кореням pt з негативними дСЦйсними частинами вСЦдповСЦдають коренСЦ:

Тепер можна дати формулювання математичноi умови стСЦйкостСЦ: СЦмпульсна автоматична система стСЦйка, якщо всСЦ коренСЦ ii характеристичного рСЦвняння (7) лежать усерединСЦ кола одиничного радСЦуса, побудованого на початку координат комплексноi площини z (рис. 1, точки z1,, z2,,z3, z4, z5 ).

Якщо хоча б один з коренСЦв лежить на колСЦ з радСЦусом R = 1, то система знаходиться на межСЦ стСЦйкостСЦ (рис. 2, точка z6).

За наявностСЦ коренСЦв система хитлива (рис. 1, точка z7).

Рисунок 2 Комплексна площина Z

Визначення коренСЦв характеристичного рСЦвняння (7) при m 3 поСФднано з вСЦдомими труднощами. Тому на практицСЦ знах?/p>