Вопросы по предмету Математика и статистика

  • 21. Задачи Циолковского
    Вопросы Математика и статистика

    Современные химические топлива позволяют получать скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2...2,3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позволит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличения скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональной конструкцией ракеты. Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М0р путем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й ракеты, у которой после израсходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели от оставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями уже отработавших ступеней ракеты. Это значительно повышает число Циолковского для каждой последующей ступени, так как уменьшается Мр за iет отброшенных масс баков и двигателей.

  • 22. Комплексный анализ
    Вопросы Математика и статистика

    b<Imz<b+2 - нет ни одной точки с совпадающей действительной частьюCC/{0}Ln(w)=ln|w| +i(argw + 2k )CC/{0}C/{0}Ж(z)=1/2(z+1/z)C/{-1,1}Множество, где для любых z, w, что их произведение по модулю не равно 1.CCЖ-1(w)=w+(w2-1)1/2C/{-1,1}Ветвление в точках [1, 1].CC

  • 23. Контрольные билеты по алгебре
    Вопросы Математика и статистика

    Билет №4.

    1. Функция y = ctg x, ее свойства и график.
    2. Изобразить график логарифмической функции с основанием, меньшим единицы, но большим нуля и описать свойства функции (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
  • 24. Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры
    Вопросы Математика и статистика

    Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) D произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1тАжDn конечным числом произв. кривых. Если S площадь D, то Si площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн . В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (i , Di) Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D 0 , то число n областей Di . Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(i, Di)Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.

  • 25. Лекции по математическому анализу
    Вопросы Математика и статистика

    При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).

  • 26. Математика (билеты)
    Вопросы Математика и статистика

    2)Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус, то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства функции синус 1) Область определения функции синус является множество всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение функции синус. 2) Множеством значений функции синус является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет условию 1 <= Ypx<=1, т.е. 1<=sin x<=1 3)Функция синус является нечётной, т.е. для любого х принадлежащего R выполняется равенство sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх получена при повороте точки Р0 на х радиан, а точка Р-х получена при повороте точки Р0 на х радиан (рис 43). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса угла РхОР-х, значит, ON является медианой и высотой, проведённой к стороне РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN, т.е. ординаты точек Рх и Р-х одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это означает, что sin(-x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с периодом 2ПиR, где R- целое. Кроме 0. Наименьшим положительным периодом синуса является число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где R принадлежит Z, соответствует единственная точка единичной окружности Рх + 2ПиR, получаемая поворотом точки Р0(1;0) на угол x+2ПиR имеет ординату, равную sinx или sin(x+2ПиR). Таким образом, sin(x+2ПиR)=sinx. Этим показано, что числа вида 2ПиR, где R- целое, кроме 0, являются периодом функции. При R=1 имеем sin(x+2Пи)=sinx, следовательно, число 2Пи также является периодом функции синус. Покажем, что 2Пи-наименьшее положительное число, являющееся периодом функции синус. Пусть Т положительный период функции синус; тогда sin(x+T)=sinx при любом х. Это равенство верно и при x= Пи.2, т.е. sin(пи/2 + T)=sin Пи/2 = 1. Но sinx=1,если x= Пи/2 + 2Пиn, где n принадлежит Z. Наименьшее положительное число вида 2Пиn есть 2Пи. 5) Функция синус принимает значение нуль при x=ПиR, где R принадлежит Z. Решением уравнения sinx=0 являются числа x=ПиR, где R принадлежит Z. 6) Функция синус принимает положительные значения при 2ПиR<x<Пи+2ПиR, где R принадлежит Z. Функция синус принимает отрицательные значения при Пи+2ПиR<x<2Пи+2ПиR, где R принадлежит Z. Промежутки знакопостоянства (рис44) следует из определения синуса. 7) Функция синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z, и убывает на промежутках [Пи/2 + 2ПиR; 3Пи/2 + ПиR], где R принадлежит Z Докажем, что функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. Пусть х1принадлежит [-Пи /2; Пи /2] и х2>x1. Сравним два значения функции: sinx2 sinx1 = 2cos x1+x2/2 * sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 <= Пи/2, -Пи/2 < x1+x2/2< Пи/2, поэтому, учитывая промежутки знакопостоянства синуса и косинуса, имеем sin x2-x1/2 > 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8) Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные 1, в точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2 является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2], т.е. sinx<sinПи/2 для любого х принадлежащего [-Пи/2 ; пи/2]. Функция синус убывает на промежутке [Пи/2; 3Пи/2], т.е. sin x < sin Пи/2 для любого х принадлежащего [Пи/2; 3Пи/2]. Ледовательно, х0+Пи/2 является точкой максимума (по определению), а значение sinx=1 является максимумом. В силу периодичности функции синус можно утверждать, что в точках Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z, функция имеет максимум, равный 1. 9) Функции арксинус дифференцируема в каждой точке области определения; производная вычисляется по формуле (sin x)=cosx. (рис 45)

  • 27. Математика (шпаргалка для экзамена)
    Вопросы Математика и статистика

    Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых С.В. Х1,Х2,Х3,тАж,Xn,тАж имеет конечные мат. ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое С.В. сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий, т.е. если эпселен любое положительное число, то: lim при n стремящемся к бесконечности P(|1/n сумма по i от 1 до n Xi 1/n сумма по i от 1 до n M(Xi)|<эпселен)=1. В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и тоже мат. ожидание а, сходится по вероятности к мат. ожиданию а, т.е. если эпселен любое положительное число, то: lim при n стремящемся к бесконечности P(|1/n сумма по i от 1 до n Xi a|<эпселен)=1. Теорема Маркова. P{|X|>=t}<=1/tM|X| - неравенство Маркова. Док-во: 1) Для Д.С.В. Х. Пусть Х Д.С.В., Р{X=xi}=pi, i=1,2,3,тАж,сумма по i от 1 до бесконечности pi=1. Тогда вероятность события {|X|>=t} равна сумме вероятностей pi, для которых xi находится вне промежутка (-t,t). Очевидно, для всех xi, не принадлежащих промежутку (-t,t), имеет место неравенство |xi|/t>=1. Учитывая это неравенство получаем: P{|X|>=t}=сумма по i: |xi|>=t pi <=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi<=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi+сумма по i:|xi|<t |xi|/t*pi =1/t сумма по i от 1 до бесконечности |xi|*pi=1/t*M|X|. 2) Для Н.С.В. Х. Пусть Х Н.С.В. с плотностью вероятности р(х). Вероятность того, что |X|>=t, равна сумме интегралов от плотности вероятности по промежуткам (-бесконечность, -t) и (t,бесконечность). На этих промежутках |x|/t*t>=1. Так как |x|/t*p(x)>=0, то интеграл от t до t по |x|/t*p(x)dx>=0. Воспользовавшись формулой M|X|=интеграл от бесконечности до бесконечности |x| p(x) dx, в результате преобразований получаем неравенство Маркова.

  • 28. Математика (Шпаргалка)
    Вопросы Математика и статистика
  • 29. Математика. Интегралы
    Вопросы Математика и статистика

    Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x0 слева направо f(x) меняет знак с + на , то точка x0 является точкой максимума, при перемене знака с на + точка x0 является точкой минимума. Док-во: Пусть x(a,b), xx0, (a,b) достаточно малая окрестность точки x0. И пусть, например, производная меняет знак с + на . Покажем что f(x0)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x0] или [x0,x]) f(x)f(x0)=(x- x0)f(), где лежит между x0 или x: а) x< x0x- x0<0, f()>0f(x)f(x0)<0f(x0)>f(x); б) x>x0xx0>0, f()<0f(x)f(x0)<0f(x0)>f(x).

  • 30. Математические модели в естествознании
    Вопросы Математика и статистика

    Изучение нейронных систем -одно из самых романтических направлений научных исследований, поскольку нейронные системы присущи как человеку, так и животным. Самая совершенная интеллектуальная система -человеческий мозг. Никакой компьютер в настоящее время не может воспроизвести ее феномен. Более того, даже поведение таких относительно простых организмов, как кальмары, в настоящее время в полной мере невозможно смоделировать на компьютере. Законы функционирования отдельных элементов нервной системы в целом не плохо изучены. Однако, законы функционирования ассоциаций нельзя свести законам поведения отдельных элементов. На самом деле об эффектах, обусловленных коллективным поведением нейронных популяций, известно мало. Понятны некоторые самые общие принципы. Например, нейронные системы способны адаптироваться к меняющимся условиям, т.е. им не нужны жесткие программы. Одновремено, последние, хотя бы в форме рефлексов, присутствуют в нервной системе. Экспериментальное изучение эффектов коллективного поведения нейронных систем затруднено. Эти системы слишком сложно устроены. Так в мозге человека и животных каждый нейрон находится под воздействием тысяч других нейронов и, соответственно, влияет на тысячи нейронов. Всего же по современным оценкам в мозге порядка миллиарда нейронов. Огромное значение имеет математическое моделирование, как метод косвенного исследования. Оно помогает понять, какие процессы могут происходить в нейронных популяциях. Затем уже можно пытаться обнаружить соответствующие явления экспериментально. Модели различаются в зависимости от целей моделирования. Некоторые модели достаточно адекватно в деталях описывают поведение отдельных нейронов и помогают понять закономерности их функционирования. Они же являются базовыми для моделей малых нейронных популяций. Для описания больших популяций используют упрощенные модели нейронов. Упор делается на изучение эффектов коллективного поведения. Результаты моделирования используются как в нейрофизиологии, так и в технике. Уже сейчас выпускаются нейронные платы. Пока их возможности не велики. Они используются, например, в обработке изображений, а также при решении некоторых экономических задач. Следует отметить, что сейчас все задачи, которые можно решить с помощью нейронных плат, в принципе можно решить и с помощью обычного компьютера. Однако, нейронные платы увеличивают быстродействие. Перспективным iитается направление, связанное с использованием нейронной техники для проведения вычислений. Ряд вычислений на нейроподобных системах может проводиться нетрадиционным способом -путем имитации явлений.

  • 31. Математические формулы
    Вопросы Математика и статистика

    Математические формулы

  • 32. Математический анализ
    Вопросы Математика и статистика

    При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).

  • 33. Основные тригонометрические формулы
    Вопросы Математика и статистика

    ?00300450600900/6/4/3/2sin 01/22/23/21cos 13/22/21/20tg 03/313-ctg - 313/30Формулы привидения.x + - ?2 + ?2 - ? /2 + /2 - 3/2 + 3/2 - sin x?- sin ?sin ?sin ?- sin ?cos ?cos ?- cos ?- cos ?cos x- cos ?- cos ?cos ?cos ?- sin ?sin ?sin ?- sin ?tg xtg ?- tg ?tg ?- tg ?- ctg ?ctg ?- ctg ?ctg ?ctg xctg ?- ctg ?ctg ?- ctg ?- tg ?tg ?- tg ?tg ?

  • 34. Основные физические формулы
    Вопросы Математика и статистика

    Файл придуман и сделан Денисом Павлюком (С). Коммерческое распространение без моего согласия не приветствуется и запрещается. Успешно тестировано в МАИ. Mizz@ru..ru , mizz@windoms.sitek.net, Denis_Pavluik@p944.f975.n5020.z2.fidonet.org , 2:5020/975.944@Fidonet

  • 35. Основные формулы тригонометрии
    Вопросы Математика и статистика

    tg(a-b)=tg(a)-tg(b)/1-tg(a)tg(b); |cos(3p/2+-a)=+-sin(a);

  • 36. Основы теории вероятности и математической статистики
    Вопросы Математика и статистика

    Испытание - это многократное воспроизведение одного и того же комплекса условий, при котором производится наблюдение. Качественный результат испытания - событие. Пример 1: В урне имеются цветные шары. Из урны на удачу берут один шар. Испытание - извлечение шара из урны; Событие - появление шара определенного цвета. О. 2: Множество взаимоисключающих исходов одного испытания называется множеством элементарных событий или элементарных исходов. Пример 2: Игральная кость подбрасывается один раз. Испытание - подбрасывание кости; Событие - выпадение определенного числа очков. Множество элементарных исходов - {1,2,3,4,5,6}. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А1,А2,тАж,А,В,С,тАж Наблюдаемые события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные, случайные. О. 3: Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. О. 4: Событие называется невозможным, если в результате испытания оно никогда не произойдет. О. 5: Событие называется случайным, если в результате испытания оно может либо произойти, либо не произойти. Пример 3: Испытание - мяч подбрасывается вверх. Событие A ={мяч упадет} - достоверное; Событие B={мяч зависнет в воздухе} - невозможное; Событие C={мяч упадет на голову бросавшему} - случайное. Случайные события (явления) можно подразделить на следующие виды: совместные, несовместные, противоположные, равновозможные. О. 6: Два события называются совместными, если при одном испытании, появление одного из них не исключает появление другого. О. 7: Два события называются несовместными, если при одном испытании, появление одного из них исключает появление другого. Пример 4: Монета подбрасывается два раза. Событие A - {Первый раз выпал герб}; Событие B - {Второй раз выпал герб}; Событие C - {Первый раз выпал орел}. События A и B - совместные, A и C - несовместные. О. 8: Несколько событий образуют полную группу в данном испытании, если они попарно несовместны и в результате испытания одно из этих событий обязательно появится. Пример 5: Мальчик бросает монетку в игральный автомат. Событие A ={мальчик выиграет}; Событие B={мальчик не выиграет}; A и B - образуют полную группу событий. О. 9: Два несовместных события, образующих полную группу называются противоположными. Событие противоположное событию A обозначается . Пример 6. Делается один выстрел по мишени. Событие A - попадание; Событие - промах.

  • 37. Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики
    Вопросы Математика и статистика

    Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U1(x)+U2(x)+тАж+Un(x)+тАж Придавая х какое-либо значение х0 из области определения функций Un(x), получим числовой ряд U1(x0)+ U2(x0)+тАж+ Un(x0)+тАж Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х0 называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х0 ряд расходится, то точка х0 называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

  • 38. Ответы на экзаменационные вопросы по теоретической механике
    Вопросы Математика и статистика

    2)Предположим, что к твёрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z, приложены внешние силы . Вычислим сначала элементарную работу отдельной силы , которая приложена в точке , описывающей окружность радиусом . Разложим эту силу на три составляющие, направленные по естественным осям траектории точки . Определим момент силы относительно оси z как сумму моментов её составляющих относительно этой оси. В общем момент силы относительно оси Z равен моменту силы , которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z . При элементарном перемещении тела его угол поворота ? получает приращение d?, а дуговая координата точки - приращение . Вычислим работу силы на этом перемещении как сумму работ трёх её составляющих. Работа сил перпендикулярных вектору скорости точки , равна 0, поэтому элементарная работа силы . Элементарная работа всех сил, приложенных к твёрдому телу , где - Главный момент внешних сил относительно оси вращения z. Таким образом , т.е. элементарная работа сил, приложенных к твёрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота. Мощность вычисляется по следующей формуле:

  • 39. Подсказка по алгебре
    Вопросы Математика и статистика

    град 0 30 45 60 90120135180 -/2-/3-/4-/6 0/6/4/3/22/33/43/6 sin -1-3/2-2/2- 0 2/23/2 1 - 0cos 13/22/2 0 - -2/2- 3/2 -1tg -3 -1-1/3 01/3 1 3 -3 -1 0ctg --- 3 11/3 0-1/3 -1 --

  • 40. Полиномы
    Вопросы Математика и статистика

    ¦ 32 > 27 следует, что ?32 и ? 27 ,и значит, ? 2 > ? 3 ¦